القاسم المشترك الأكبر

PGCD - Plus Grand Commun Diviseur

📹 شاهد الفيديو التعليمي

المستوى 1: اكتشاف القواسم المشتركة

انقر على الأزرار لإكمال عناصر التقاطع بين $D 12$ و $D 18$

D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

انقر على القواسم المشتركة بين 12 و 18:

المستوى 2: إيجاد القواسم المشتركة

انقر على الأعداد الصحيحة لتحديد القواسم المشتركة بين 16 و 24:

المستوى 3: حساب القاسم المشترك الأكبر

حدد القاسم المشترك الأكبر (PGCD) للأزواج التالية:

PGCD(12, 16) = ?

PGCD(18, 24) = ?

PGCD(36, 32) = ?

PGCD(25, 15) = ?

PGCD(8, 9) = ?

المستوى 4: استخدام التحليل إلى جداء عوامل أولية

معطى:

18 = 2 × 3²
27 = 3³

انقر على أكبر قاسم مشترك بين 18 و 27:

🔍 التصحيح والمساعدة

📹 الفيديو التعليمي

⚠️ استغلال الأخطاء الشائعة

خطأ شائع: اختيار جميع العوامل المشتركة

❌ بعض التلاميذ يختارون 2×3² لأن كلا العددين يحتويان على 2 و 3

✅ الصحيح: نأخذ فقط العوامل الأولية المشتركة بأصغر أس

🔍 التحليل:

18 = 2 × 3² (يحتوي على 2 و 3²)
27 = 3³ (يحتوي فقط على 3³)
العامل المشترك الوحيد هو: 3
نأخذ أصغر أس: min(2, 3) = 2
إذن: PGCD = 3² = 9

💡 المنهجية الكاملة

الخطوة 1: حلل كل عدد إلى جداء عوامل أولية

الخطوة 2: حدد العوامل الأولية المشتركة

الخطوة 3: خذ كل عامل مشترك بأصغر أس له

الخطوة 4: اضرب هذه العوامل للحصول على PGCD

📝 التصحيح الكامل

18 = 2 × 3²
27 = 3³

العوامل الأولية المشتركة: {3}
أصغر أس للعامل 3: min(2, 3) = 2

PGCD(18, 27) = 3² = 9

المستوى 5: تطبيقات متقدمة

معطى:

36 = 2² × 3²
24 = 2³ × 3

انقر على أكبر قاسم مشترك بين 36 و 24:

🔍 التصحيح التفصيلي

📹 شاهد الفيديو

⚠️ الأخطاء الشائعة

خطأ 1: اختيار أكبر أس

❌ بعض التلاميذ يختارون 2³ × 3²

✅ الصحيح: نأخذ أصغر أس لكل عامل مشترك

خطأ 2: نسيان ضرب العوامل

❌ الإجابة 2² أو 3 فقط

✅ الصحيح: نضرب جميع العوامل المشتركة: 2² × 3 = 12

📝 الحل التفصيلي

36 = 2² × 3²

24 = 2³ × 3

الخطوة 1: تحديد العوامل المشتركة

العوامل المشتركة: {2, 3}

الخطوة 2: أخذ أصغر أس

للعامل 2: min(2, 3) = 2 → 2²

للعامل 3: min(2, 1) = 1 → 3¹

الخطوة 3: الحساب النهائي

PGCD(36, 24) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

الدرس الكامل: القاسم المشترك الأكبر

📚 1. التعريف

تعريف القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعيين هو أكبر عدد صحيح طبيعي يقسم هذين العددين معا.

Si a et b sont deux entiers naturels non nuls, on note PGCD(a, b) le plus grand diviseur commun de a et b.

🔍 2. الخصائص الأساسية

الخاصية 1: PGCD(a, b) يقسم a و يقسم b

الخاصية 2: إذا كان d قاسما مشتركا لـ a و b، فإن d يقسم PGCD(a, b)

الخاصية 3: PGCD(a, b) ≥ 1

الخاصية 4: PGCD(a, a) = a

الخاصية 5: PGCD(a, 1) = 1

🧮 3. طرق حساب PGCD

الطريقة 1: القواسم المشتركة

مثال: حساب PGCD(12, 18)

D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D₁₂ ∩ D₁₈ = {1, 2, 3, 6}
PGCD(12, 18) = 6

الطريقة 2: التحليل إلى جداء عوامل أولية

مثال: حساب PGCD(36, 60)

36 = 2² × 3²
60 = 2² × 3 × 5

العوامل المشتركة: 2 و 3
نأخذ أصغر أس:
- للعامل 2: min(2, 2) = 2 → 2²
- للعامل 3: min(2, 1) = 1 → 3

PGCD(36, 60) = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

الطريقة 3: خوارزمية إقليدس

سنتعلم هذه الطريقة لاحقا في دروس متقدمة

💡 4. حالات خاصة

أعداد أولية فيما بينها

عددان يسميان أوليين فيما بينهما إذا كان PGCD(a, b) = 1

مثال

PGCD(8, 9) = 1
إذن 8 و 9 أوليان فيما بينهما

عدد يقسم آخر

إذا كان b يقسم a، فإن PGCD(a, b) = b