1) ابنِ معيناً $ATEF$ مركزه $O$ حيث $AE=5$ و $TF=4$. ارسم المستقيم $\Delta$ المار من $A$ والموازي لـ $(TF)$ و $\Delta'$ المار من $F$ والموازي لـ $(AE)$. سمِّ $I$ نقطة تقاطعهما.
2) بيّن أنّ الرباعي $AOFI$ مستطيل.
3) أ) أثبت أنّ $AT = OI$. ب) احسب مساحة $ATOI$.
4) سمِّ $R$ مركز المستطيل $AOFI$ وابنِ $P$ مناظرة $R$ بالنسبة إلى $(IF)$. برهن أنّ $FRIP$ معين.
1) الرسم: نعتمد تعامد الأقطار في منتصفها $O$.2) بما أن $(AI) \parallel (OF)$ و $(FI) \parallel (AO)$، فإن $AOFI$ متوازي أضلاع. وبما أن قطريه متعامدان ($\widehat{AOF}=90^\circ$ لأن $ATEF$ معين)، فإن $AOFI$ مستطيل.3) أ) في المستطيل $AOFI$ القطران متقايسان ($OI=AF$). في المعين $ATEF$ الأضلاع متقايسة ($AT=AF$). إذن $AT=OI$.4) بما أن $P$ مناظرة $R$ بالنسبة إلى $(IF)$ فإن $(IF)$ موسط عمودي لـ $[RP]$. إذن $FR=FP$ و $IR=IP$. وبما أن $R$ مركز المستطيل فإن $RF=RI$. إذن $FR=FP=IR=IP$ فهو معين.
تمرين ص 94: زوايا متوازي الأضلاع والتناظر
$ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$ حيث $\widehat{ACD}=50^\circ$ و $\widehat{ACB}=80^\circ$.
1) ما هو منتصف $[BD]$؟ علل جوابك.
2) احسب $\widehat{ADC}$ ثم استنتج طبيعة المثلث $ACD$.
3) ابنِ $E$ نظيرة $A$ بالنسبة إلى $(CD)$. بيّن أنّ الرباعي $CADE$ معين.
1) بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع، فإن قطريه يتقاطعان في منتصفهما. إذن $O$ هي منتصف $[BD]$.2) $\widehat{ABC} = 180 - (50+80) = 50^\circ$. إذن $\widehat{ADC} = \widehat{ABC} = 50^\circ$ (زوايا متقابلة). المثلث $ACD$ متقايس الضلعين في $D$ لأن $\widehat{ACD}=\widehat{ADC}=50^\circ$.3) بما أن $E$ نظيرة $A$ بالنسبة إلى $(CD)$ فإن $CD$ موسط عمودي لـ $[AE]$، إذن $CA=CE$ و $DA=DE$. وبما أن $DA=DC$ فإن الأضلاع الأربعة متقايسة، فهو معين.
تمرين ص 91: متوازي الأضلاع والمستطيل
1) ارسم متوازي أضلاع $ABCD$ مركزه $O$ ($AB=7, BC=4, \widehat{ABC}=60^\circ$).
2) احسب $\widehat{ADC}$ و $\widehat{DCB}$ و $\widehat{BAD}$.
3) ارسم المسقط العمودي $M$ لـ $A$ على $(DC)$ و $N$ لـ $C$ على $(AB)$. بيّن أنّ $AMCN$ مستطيل.
4) أ) بيّن أنّ $ACED$ متوازي أضلاع. ب) استنتج أنّ $O$ منتصف $[MN]$.
2) $\widehat{ADC} = 60^\circ$ (متقابلة مع $B$). $\widehat{DCB} = 180 - 60 = 120^\circ$ (متتالية). $\widehat{BAD} = 120^\circ$.3) بما أن $(AB) \parallel (DC)$ و $(AM) \perp (DC)$ و $(CN) \perp (AB)$ فإن الرباعي له زوايا قائمة وكل ضلعين متقابلين متوازيين، فهو مستطيل.4) ب) $O$ هي منتصف القطر $[AC]$ للمستطيل $AMCN$. وبما أن قطري المستطيل يتقاطعان في منتصفهما، فإن $O$ هي أيضاً منتصف $[MN]$.
تمرين: المستطيل والتناظر المركزي
$ABCD$ مستطيل مركزه $O$ حيث $AB=6$ و $AD=4$.
1) بيّن أنّ المثلث $OAB$ متقايس الضلعين.
2) ارسم الموازي لـ $(BD)$ من $A$ والموازي لـ $(AC)$ من $B$. يتقاطعان في $M$. بيّن أنّ $AMBD$ متوازي أضلاع.
3) بيّن أنّ الرباعي $AIBO$ معين.
1) في المستطيل، القطران متقايسان ويتقاطعان في منتصفهما. إذن $OA = OB = OC = OD$. بما أن $OA=OB$ فالمثلث $OAB$ متقايس الضلعين في $O$. 2) الرباعي $AMBD$ فيه $(AM) \parallel (BD)$ و $(BM) \parallel (AD)$ (من البناء)، إذن هو متوازي أضلاع.3) نثبت أن أضلاعه متقايسة أو أقطاره متعامدة بناءً على خصائص متوازي الأضلاع الناتج عن الموازيات.