$ABCD$ متوازي أضلاع حيث $ACD = 50^{\circ}$ و $ACB = 80^{\circ}$ و $O$ منتصف $[AC]$.
1) أ) ما هو منتصف $[BD]$؟ علل جوابك. ب) احسب $ABC$.
2) احسب $ADC$ ثم استنتج طبيعة المثلث $ACD$.
3) أ) ابنِ النقطة $E$ نظيرة $A$ بالنسبة إلى $(CD)$ ثم بيّن أنّ الرباعي $CADE$ معين وأنّ $CED = 80^{\circ}$.
ب) هذا المعين يقبل محوري تناظر. اذكرهما.
4) أ) لتكن $M$ مركز المعين $CADE$ و $R$ المسقط العمودي لـ $C$ على $(AB)$. عيّن النقطتين $M$ و $R$.
ب) أثبت أنّ الرباعي $MARC$ مستطيل. ج) برهن أنّ النقاط $R$ و $O$ و $M$ على استقامة واحدة.
5) بيّن أنّ الرباعي $MRAD$ متوازي أضلاع.
1) أ) بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع، فإن قطريه يتقاطعان في منتصفهما. بما أن $O$ منتصف $[AC]$، فإن $O$ هي أيضاً منتصف $[BD]$.1) ب) في متوازي الأضلاع، الزوايا المتتالية متكاملة. $ABC = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 80^{\circ}) = 50^{\circ}$.2) $ADC = ABC = 50^{\circ}$ (زوايا متقابلة). في المثلث $ACD$: مجموع الزوايا $180^{\circ}$، إذن $\widehat{CAD} = 180 - (50+50) = 80^{\circ}$. المثلث $ACD$ متقايس الضلعين في $D$ لأن $ACD = ADC = 50^{\circ}$.3) أ) بما أن $E$ نظيرة $A$ بالنسبة لـ $(CD)$، فإن $(CD)$ هو الموسط العمودي لـ $[AE]$. إذن $CA=CE$ و $DA=DE$. وبما أن $DA=DC$ (مثلث متقايس الضلعين)، فإن $CA=CE=DA=DE$. الرباعي الذي أضلاعه متقايسة هو معين.4) ب) في الرباعي $MARC$: الزاوية في $R$ قائمة (مسقط عمودي) والزاوية في $M$ قائمة (أقطار المعين متعامدة).
التمرين الثاني (ص 95)
$JOIE$ متوازي أضلاع بحيث $OJ=6$ و $OI=4$ و $JOI = 70^{\circ}$.
1) بيّن أنّ $JEI = 70^{\circ}$ و $EIO = 110^{\circ}$.
2) أ) ابنِ منصفي الزاويتين $JEI$ و $EIO$ وسمِّ $S$ نقطة تقاطعهما. ب) بيّن أنّ المثلث $SIE$ قائم الزاوية في $S$.
3) منصفا الزاويتين $IOJ$ و $OJE$ يتقاطعان في نقطة $F$. ما هي طبيعة الرباعي $SFAX$؟ علل جوابك.
4) المستقيم $(OA)$ يقطع $(EI)$ في نقطة $T$ والمستقيم $(ES)$ يقطع $(OJ)$ في نقطة $N$. أثبت أنّ الرباعي $NOTE$ متوازي أضلاع.
5) لتكن $M$ مركز متوازي الأضلاع $JOIE$. بيّن أنّ النقاط $M$ و $N$ و $T$ على استقامة واحدة.
1) في متوازي الأضلاع، الزوايا المتقابلة متقايسة ($JEI = JOI = 70^{\circ}$) والزوايا المتتالية متكاملة ($EIO = 180 - 70 = 110^{\circ}$).2) ب) في المثلث $SIE$: $\widehat{SEI} = 70/2 = 35^{\circ}$ و $\widehat{SIE} = 110/2 = 55^{\circ}$. مجموع الزاويتين هو $90^{\circ}$، إذن الزاوية الثالثة $S$ قائمة.3) الرباعي $SFAX$ مستطيل لأن جميع زواياه قائمة (تقاطع منصفات زوايا متوازي الأضلاع المتتالية).
التمرين الثالث (ص 97)
1) ارسم دائرة $\mathcal{C}$ مركزها $H$ وشعاعها $r=3$ سم. $[HT]$ طوله $3$ سم، ثم ارسم الموسط العمودي $\Delta$ لـ $[HT]$.
2) المستقيم $\Delta$ يقطع الدائرة $\mathcal{C}$ في نقطتين $A$ و $C$ ويقطع $(HT)$ في $I$. بيّن أنّ الرباعي $CHAT$ معين.
3) ارسم المستقيم العمودي على $(HT)$ في $H$ والمستقيم العمودي على $(IC)$ في $C$ وسمِّ $E$ نقطة تقاطعهما. أثبت أنّ الرباعي $ECIH$ مستطيل.
4) المستقيم المار من $H$ والموازي لـ $(IE)$ يقطع $(CE)$ في نقطة $F$. بيّن أنّ:
أ) الرباعي $EFHI$ متوازي أضلاع. ب) $F \in \mathcal{C}$ ج) $E$ منتصف $[CF]$.
2) بما أن $A$ و $C$ على الموسط العمودي لـ $[HT]$، فإن $AH=AT$ و $CH=CT$. وبما أنهما على الدائرة، فإن $HA=HC=3$ سم. بما أن $HT=3$ سم، فإن الأضلاع الأربعة متقايسة ($3$ سم)، إذن $CHAT$ معين. 3) الرباعي $ECIH$ له 3 زوايا قائمة: عند $I$ (موسط عمودي)، وعند $H$ و $C$ (معطيات)، إذن هو مستطيل. 4) أ) كل ضلعين متقابلين متوازيين (بالبناء)، إذن $EFHI$ متوازي أضلاع.4) ب) $HF = IE$ (متوازي أضلاع) و $IE = HC$ (مستطيل)، إذن $HF = HC = 3$ سم (شعاع)، مما يعني $F \in \mathcal{C}$.