1) ابنِ معيناً $ATEF$ مركزه $O$ حيث $AE = 5$ و $TF = 4$. ثم ارسم المستقيم $\Delta$ المار من $A$ والموازي لـ $(TF)$ وأخيراً ارسم المستقيم $\Delta'$ المار من $F$ والموازي لـ $(AE)$. سمِّ $I$ نقطة تقاطع $\Delta$ و $\Delta'$.
نرسم القطر $[AE]$ بطول $5$ سم ونحدد منتصفه $O$.بما أن $ATEF$ معين، فإن قطريه متعامدان، إذن نرسم المستقيم العمودي على $(AE)$ في $O$.نحدد النقطتين $T$ و $F$ على هذا العامد بحيث $OT = OF = 2$ سم (لأن $TF = 4$).نرسم الموازي لـ $(TF)$ من $A$ والموازي لـ $(AE)$ من $F$ لتحديد نقطة التقاطع $I$.
2) بيّن أنّ الرباعي $AOFI$ مستطيل ثم اذكر المستقيمين اللذين يمثلان محورَيْ تناظر له.
لدينا $(AI) \parallel (OF)$ لأن $\Delta \parallel (TF)$.ولدينا $(FI) \parallel (AO)$ لأن $\Delta' \parallel (AE)$.إذن الرباعي $AOFI$ هو متوازي أضلاع (لأن كل ضلعين متقابلين متوازيان).بما أن القطرين $(AE)$ و $(TF)$ متعامدان في المعين $ATEF$، فإن الزاوية $\widehat{AOF}$ قائمة.متوازي أضلاع به زاوية قائمة هو مستطيل، إذن $AOFI$ مستطيل.محورا تناظر المستطيل هما الموسط العمودي لـ $[AO]$ والموسط العمودي لـ $[OF]$.
3) أ- أثبت أنّ $AT = OI$ وأنّ الرباعي $ATOI$ متوازي أضلاع.
ب- احسب قيس مساحة $ATOI$.
أ- بما أن $AOFI$ مستطيل، فإن قطريه متقايسان، إذن $OI = AF$.وبما أن $ATEF$ معين، فإن أضلاعه متقايسة، إذن $AT = AF$.من هاتين العلاقتين نستنتج أن $AT = OI$.في الرباعي $ATOI$: لدينا $(AI) \parallel (OT)$ (لأن $\Delta \parallel (TF)$).ولدينا $AI = OF$ (ضلعان متقابلان في مستطيل) و $OF = OT$ ($O$ منتصف القطر)، إذن $AI = OT$.رباعي به ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع، إذن $ATOI$ متوازي أضلاع.ب- مساحة $ATOI = \text{Base} \times \text{Hauteur} = OT \times AO$ (لأن $AO \perp OT$).المساحة $= 2 \times 2.5 = 5$ سم².
4) سمِّ $R$ مركز المستطيل $AOFI$ ثم ابنِ النقطة $P$ مناظرة $R$ بالنسبة إلى $(IF)$. برهن أنّ الرباعي $FRIP$ معين.
بما أن $P$ مناظرة $R$ بالنسبة للمستقيم $(IF)$، فإن $(IF)$ هو الموسط العمودي لـ $[RP]$.إذن $FR = FP$ و $IR = IP$ (كل نقطة من الموسط العمودي تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة).بما أن $R$ هو مركز المستطيل $AOFI$، فإن $R$ هي منتصف القطرين، إذن $RF = RI$.بالتالي $FR = FP = IR = IP$.رباعي أضلاعه الأربعة متقايسة هو معين، إذن $FRIP$ معين.