في الرسم المقابل \(AECF\) متوازي أضلاع حيث:
\(\widehat{AEC} = 45^\circ\)
و \(D\) منتصف \([EC]\)
و \((AD) \perp (EC)\).
1) بيّن أن \(AE = AC\)
في المثلث \(AEC\)، لدينا المستقيم \((AD)\) يمر من القمة \(A\) وعمودي على الضلع المقابل \([EC]\) في منتصفه \(D\).
إذن \((AD)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([EC]\).
وبما أن \(A\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([EC]\)، فإنها تبعد نفس البعد عن طرفيها.
وبالتالي: \(AE = AC\).
2) أ. أحسب \(\widehat{EAD}\)
ب. استنتج أن \(AD = ED\)
أ. في المثلث \(ADE\) القائم في \(D\)، لدينا مجموع زوايا المثلث يساوي \(180^\circ\).
إذن: \(\widehat{EAD} = 180^\circ - (\widehat{ADE} + \widehat{AED})\) \(\widehat{EAD} = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 45^\circ\).
ب. بما أن \(\widehat{EAD} = \widehat{AED} = 45^\circ\)، فإن المثلث \(ADE\) مثلث قائم وقابل للمطابقة في \(D\).
وبالتالي: \(AD = ED\).
3) أ. عيّن النقطة \(B\) المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AF)\)
ب. بيّن أن \(ABCD\) مربع
ج. استنتج أن \(DB = EA\)
أ. النقطة \(B\) هي نقطة تقاطع العمودي من \(C\) على \((AF)\).
ب. في الرباعي \(ABCD\):
بما أن \(AECF\) متوازي أضلاع، فإن \((AF) \parallel (EC)\).
وبما أن \((AD) \perp (EC)\) و \((BC) \perp (AF)\)، فإن \((AD) \parallel (BC)\).
إذن \(ABCD\) متوازي أضلاع به زاوية قائمة \(\widehat{ADC}=90^\circ\) فهو مستطيل.
ولدينا من السؤال السابق \(AD = ED\) وبما أن \(D\) منتصف \([EC]\) فإن \(ED = DC\)، إذن \(AD = DC\).
مستطيل به ضلعان متتاليان متقايسان هو مربع.
ج. في المربع \(ABCD\)، القطران متقايسان: \(DB = AC\).
وبما أن \(AE = AC\) (من السؤال 1)، فإن \(DB = EA\).
4) بيّن أن \(ABDE\) متوازي أضلاع
لدينا \(ABCD\) مربع، إذن \((AB) \parallel (DC)\) و \(AB = DC\).
وبما أن \(E, D, C\) نقاط على استقامة واحدة، فإن \((AB) \parallel (ED)\).
ولدينا \(D\) منتصف \([EC]\)، إذن \(ED = DC\).
بما أن \(AB = DC\) و \(ED = DC\)، فإن \(AB = ED\).
رباعي به ضلعان متقابلان \([AB]\) و \([ED]\) متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع.