في الرسم الموالي $EFH$ مثلث قائم الزاوية في $H$ حيث:
$EF = 5cm$ و $I$ مركز الدائرة المحيطة به.
1) أ- ابن النقطة $G$ بحيث $EFGH$ متوازي أضلاع.
بما أن $EFGH$ متوازي أضلاع، فإننا نبني النقطة $G$ بحيث يكون القطران $[EG]$ و $[FH]$ لهما نفس المنتصف.
أو باستعمال البركار بحيث $HG = EF$ و $FG = EH$.
1) ب- استنتج $GH$.
لدينا $EFGH$ متوازي أضلاع.
في متوازي الأضلاع، كل ضلعين متقابلين متقايسان.
إذن $GH = EF$.
وبما أن $EF = 5cm$، فإن $GH = 5cm$.
2) أ- ما هي طبيعة المثلث $HIF$؟ علل جوابك.
لدينا $EFH$ مثلث قائم في $H$ و $I$ مركز دائرته المحيطة.
في المثلث القائم، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر.
إذن $I$ هي منتصف $[EF]$.
وبالتالي $IF = IH$ (لأنهما شعاعان لنفس الدائرة).
إذن المثلث $HIF$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $I$.
2) ب- ليكن $[IK]$ ارتفاع المثلث $HIF$. بين أن $E$ و $K$ و $G$ على استقامة واحدة.
في المثلث المتقايس الضلعين $HIF$، الارتفاع $[IK]$ الصادر من القمة $I$ هو أيضاً الموسط العمودي للقاعدة $[HF]$.
إذن $K$ هي منتصف $[HF]$.
بما أن $EFGH$ متوازي أضلاع، فإن قطريه $[EG]$ و $[HF]$ يتقاطعان في منتصفهما.
إذن $K$ هي أيضاً منتصف $[EG]$.
بما أن $K \in [EG]$، فإن النقاط $E$ و $K$ و $G$ على استقامة واحدة.
3) أ- المستقيم $(IK)$ يقطع $(HG)$ في $L$. بين أن $EHLI$ متوازي أضلاع.
لدينا $EFGH$ متوازي أضلاع، إذن $(EH) // (FG)$ و $(EF) // (HG)$.
بما أن $L \in (HG)$ و $I \in (EF)$، فإن $(EI) // (HL)$.
بما أن $(IK) \perp (HF)$ و $(EH) \perp (HF)$ (لأن المثلث قائم في $H$)، فإن $(IK) // (EH)$.
بما أن $L \in (IK)$، فإن $(IL) // (EH)$.
في الرباعي $EHLI$، كل ضلعين متقابلين متوازيان، إذن $EHLI$ متوازي أضلاع.
3) ب- استنتج أن $FIHL$ معين.
لدينا $EHLI$ متوازي أضلاع، إذن $IL = EH$ و $EH = FG$ (من متوازي الأضلاع الأول).
القطران $[IL]$ و $[HF]$ متعامدان في $K$.
وبما أن $K$ منتصف $[HF]$ و $K$ منتصف $[IL]$ (خاصية التناظر المركزي أو توازي الأضلاع)، فإن الرباعي $FIHL$ قطراه متعامدان ويتقاطعان في منتصفهما.
إذن $FIHL$ معين.