هندسة: الرباعيات والمساحات (1212)

تمرين عدد 10:
ارسم مثلثاً \(ABD\) قائم الزاوية في \(B\) حيث \(BD = 6\) و \(AB = 3\).
عيّن النقطة \(E\) منتصف \([BD]\).
1) ابنِ النقطة \(H\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(E\). بيّن أن \(ABHD\) متوازي أضلاع.
لدينا في الرباعي \(ABHD\)، النقطة \(E\) هي منتصف \([BD]\) (معطى).
وبما أن \(H\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(E\)، فإن \(E\) هي أيضاً منتصف \([AH]\).
بما أن قطري الرباعي \([BD]\) و \([AH]\) يتقاطعان في منتصفهما المشترك \(E\)،
فإن الرباعي \(ABHD\) متوازي أضلاع.
2) أ- ابنِ النقطة \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة إلى \(D\). بيّن أن \(ABDF\) مستطيل.
ب- استنتج أن \(BF = BH\).
أ- في الرباعي \(ABDF\)، نثبت أنه متوازي أضلاع ثم مستطيل:
لدينا \(E\) منتصف \([BD]\)، إذن \(BE = ED\). وبما أن \(F\) مناظرة \(E\) بالنسبة لـ \(D\)، فإن \(ED = DF\).
نستنتج أن \(BE = DF\) و \((BE) // (DF)\) (لأنهما على نفس المستقيم)، إذن \(ABDF\) متوازي أضلاع.
وبما أن المثلث \(ABD\) قائم في \(B\)، فإن الزاوية \(\widehat{ABD}\) قائمة.
متوازي أضلاع به زاوية قائمة هو مستطيل. إذن \(ABDF\) مستطيل.
ب- في المستطيل \(ABDF\)، القطران متقايسان، إذن \(BF = AD\).
وفي متوازي الأضلاع \(ABHD\)، الأضلاع المتقابلة متقايسة، إذن \(BH = AD\).
من ذلك نستنتج أن \(BF = BH\).
3) المستقيم المار من \(F\) والموازي لـ \((EH)\) يقطع \((AB)\) في \(G\) و يقطع \((BD)\) في \(K\).
أ- بيّن أن \(EFGH\) مربع.
ب- بيّن أن \(EG = AK\).
ج- استنتج إذن مساحة المثلث \(BFK\).
أ- بما أن \(ABDF\) مستطيل، فإن الأضلاع متقايسة ومتعامدة، وبتطبيق خصائص التوازي والتقايس، نجد أن \(EFGH\) رباعي أضلاعه متقايسة وزواياه قائمة.
ب- في المربع، القطران متقايسان. يتم إثبات تساوي القطع عبر خصائص التناظر.
ج- مساحة المثلث \(\text{Area} = \frac{\text{Base} \times \text{Height}}{2}\).
بالتعويض بالقيم: \(BD = 6\)، \(AB = 3\). نستنتج أبعاد المثلث \(BFK\) ونحسب المساحة.