هندسة: الزوايا والمنصفات (1212)

تمرين عدد 9:
ابنِ زاوية \(\widehat{xAy} = 60^{\circ}\) وليكن \([Az)\) منصفها.
عيّن على \([Az)\) نقطة \(B\) حيث \(AB = 8\).
1) ابنِ المسقط العمودي لـ \(B\) على \((Ax)\) ولتكن \(K\). احسب \(BK\).
بما أن \([Az)\) هو منصف الزاوية \(\widehat{xAy}\)، فإن \(\widehat{BAK} = 30^{\circ}\).
في المثلث القائم \(ABK\) في \(K\)، لدينا الضلع المقابل للزاوية \(30^{\circ}\) يساوي نصف طول الوتر.
بما أن الوتر \(AB = 8\)، فإن \(BK = \frac{AB}{2} = 4\).
2) لتكن \(E\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(A\). ماهي طبيعة الرباعي \(ACDE\)؟ علل جوابك.
بما أن \(E\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(A\)، فإن \(A\) هي منتصف \([BE]\).
بالاعتماد على التناظر وخصائص منصف الزاوية، إذا كان الرباعي \(ACDE\) يمتلك أقطاراً تتقاطع في منتصفها \(A\)، فهو متوازي أضلاع.
يجب التحقق من تعامد الأقطار أو تقايس الأضلاع لتحديد ما إذا كان معيناً أو مستطيلاً (حسب معطيات الرسم المتمم).
3) المستقيم \((AC)\) يقطع \((BH)\) في \(I\) ويقطع \((DK)\) في \(F\). بيّن أن \(BIDF\) معين.
لدينا \((BH) \perp (Ax)\) و \((DK) \perp (Ax)\)، إذن \((BH) // (DK)\).
وبما أن النقطتين \(I\) و \(F\) تنتميان لهذين المستقيمين وللمستقيم القاطع \((AC)\)، فإن الرباعي \(BIDF\) متوازي أضلاع.
بما أن القطرين متعامدان (حسب وضعية المنصفات والمساقط)، فإن \(BIDF\) هو معين.