تمرين الهندسة: متوازي الأضلاع ومركز الثقل

خطوات البناء:
1. نرسم الضلع $[AB]$ بطول 4 سم.
2. نرسم نصف مستقيم صادر من $B$ يعامد $(AB)$.
3. نرسم نصف مستقيم صادر من $A$ يكوّن زاوية $45^\circ$ مع $[AB]$.
4. نقطة تقاطع هذين النصفين هي $O$.
5. بما أن $O$ مركز متوازي الأضلاع، نبني $C$ و $D$ بالتناظر المركزي بالنسبة لـ $O$.

في المثلث $OAB$:
لدينا $\widehat{AOB} = 180^\circ - (\widehat{OBA} + \widehat{OAB})$
$\widehat{AOB} = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 45^\circ$
بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع، فإن $(AB) // (DC)$ و القاطع لهما $(BD)$ يحدد زاويتين متبادلتين داخلياً:
$\widehat{ODC} = \widehat{OBA} = 90^\circ$
بما أن كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متقايسان، فإن:
$DC = AB = 4$
في المثلث $OAB$ القائم في $B$، لدينا $\widehat{OAB} = \widehat{AOB} = 45^\circ$.
إذن هو مثلث متساوي الساقين قمة رأسه $B$، مما يعني $OB = AB = 4$.
بما أن $O$ منتصف $[BD]$، فإن:
$BD = 2 \times OB = 8$

لدينا في الرباعي $AEDC$:
$(AC) // (DE)$ (من المعطيات)
بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع فإن $(AB) // (DC)$.
وبما أن $E \in (AB)$ فإن $(AE) // (DC)$.
رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان هو متوازي أضلاع.
إذن $AEDC$ متوازي أضلاع.

بما أن $AEDC$ متوازي أضلاع، فإن $AE = DC$.
وبما أن $ABCD$ متوازي أضلاع، فإن $AB = DC$.
إذن $AE = AB$.
بما أن $A$ تنتمي إلى القطعة $[EB]$ (لأن $E$ تنتمي إلى المستقيم $(AB)$ من الجهة المقابلة لـ $B$) و $AE = AB$.
فإن $A$ هي منتصف $[BE]$.

في متوازي الأضلاع $AEDC$، القطران هما $[AD]$ و $[EC]$.
نعلم أن قطري متوازي الأضلاع يتقاطعان في منتصفهما.
بما أن $I$ هي منتصف القطر $[AD]$، فإن $I$ هي بالضرورة منتصف القطر الثاني $[EC]$.
إذن النقط $E, I, C$ على استقامة واحدة.

في المثلث $ABD$ لدينا:
$O$ هي منتصف $[BD]$ (لأن $O$ مركز متوازي الأضلاع $ABCD$).
إذن $[AO]$ هو الموسط الصادر من $A$.
$I$ هي منتصف $[AD]$ (معطى).
إذن $[BI]$ هو الموسط الصادر من $B$.
بما أن $G$ هي نقطة تقاطع الموسطين $[AO]$ و $[BI]$،
فإن $G$ هي مركز ثقل المثلث $ABD$.