1) أ) ارسم مثلثاً $ABC$ متقايس الضلعين في $A$ بحيث $AB = 3$ وارسم $\Delta$ محور تناظره، $\Delta$ يقطع $(BC)$ في $H$. ابنِ النقطة $D$ بحيث يكون $ABDC$ معيناً.
ب) بيّن أن $H$ منتصف $[AD]$.
2) أ) ابنِ النقطة $K$ بحيث يكون $AKBH$ مستطيلاً.
ب) لنبين أن $H$ منتصف $[AD]$:
بما أن $ABDC$ معين، فإن قطريه $[AD]$ و $[BC]$ يتقاطعان في منتصفهما.
وبما أن $\Delta$ هو محور تناظر المثلث المتقايس الضلعين $ABC$ المار من $A$، فإنه يمثل الموسط العمودي للقاعدة $[BC]$.
إذن $H$ هي نقطة تقاطع القطرين، وهي بالتالي منتصف القطر الأول $[AD]$ ومنتصف القطر الثاني $[BC]$.
1) أ) ارسم مستطيلاً $ABCD$ مركزه $O$ بحيث $AB = 5$ و $BC = 3$ و $H$ منتصف $[CD]$.
ب) بيّن أن $OC = OD$.
ج) بيّن أن $C$ و $D$ متناظرتان بالنسبة لـ $(OH)$.
ب) لنبين أن $OC = OD$:
في المستطيل، القطران متقايسان ويتقاطعان في منتصفهما (المركز $O$).
بما أن $AC = BD$، فإن أنصاف الأقطار متقايسة أيضاً، أي $OA = OB = OC = OD$.
ج) تناظر $C$ و $D$ بالنسبة لـ $(OH)$:
بما أن $OC = OD$، فإن المثلث $OCD$ متقايس الضلعين في $O$.
بما أن $H$ هي منتصف القاعدة $[CD]$، فإن المستقيم المار من الرأس $O$ والمنتصف $H$ هو الموسط العمودي لـ $[CD]$.
بما أن $(OH)$ هو الموسط العمودي لـ $[CD]$، فإن $C$ و $D$ متناظرتان بالنسبة لهذا المستقيم.
1) ارسم مثلثاً $ABC$ قائم الزاوية في $A$ بحيث $AB = 3$ و $AC = 5,6$. ابنِ $\Delta$ الموسط العمودي لـ $[AB]$ الذي يقطع $(AB)$ في $M$ و $\Delta'$ الموسط العمودي لـ $[AC]$ الذي يقطع $(AC)$ في $N$.
$\Delta$ و $\Delta'$ يتقاطعان في $I$. تحقق أن $I$ منتصف $[BC]$.
ب) ما هي طبيعة الرباعي $AMIN$؟ علل جوابك.
ب) طبيعة الرباعي $AMIN$:
لدينا $(IM) \perp (AB)$ لأن $\Delta$ موسط عمودي لـ $[AB]$.
لدينا $(IN) \perp (AC)$ لأن $\Delta'$ موسط عمودي لـ $[AC]$.
لدينا المثلث قائم في $A$ أي $(AB) \perp (AC)$.
الرباعي $AMIN$ يمتلك 3 زوايا قائمة (في $M$ و $N$ و $A$).
الاستنتاج: كل رباعي له 3 زوايا قائمة هو مستطيل.
1) ارسم مثلثاً $EFG$ بحيث $EF = 3$ و $E\hat{F}G = 50^\circ$ و $F\hat{E}G = 100^\circ$. احسب $E\hat{G}F$.
2) أ) ابنِ النقطة $D$ بحيث يكون الرباعي $EFGH$ متوازي أضلاع.
حساب الزاوية $E\hat{G}F$:
مجموع زوايا أي مثلث يساوي $180^\circ$.
$E\hat{G}F = 180^\circ - (E\hat{F}G + F\hat{E}G)$.
$E\hat{G}F = 180^\circ - (50^\circ + 100^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.