نعتبر الرسم المقابل:
1) أ) ارسم محور تناظر \(\Delta\) للمثلث \(ABC\).
ب) \(\Delta\) يقطع \((BC)\) في \(M\). ماذا يمثل \([AM]\) بالنسبة للزاوية \(\widehat{BAC}\)؟
2) أ) ابن \([Ay)\) منصف الزاوية \(\widehat{CAx}\).
ب) ارسم \(\Delta'\) المستقيم المار من \(C\) والعمودي على \((BC)\). \(\Delta'\) يقطع \([Ay)\) في \(N\). احسب \(\widehat{MAN}\).
ج) ما هي طبيعة الرباعي \(MANC\)؟ علل جوابك.
1) أ) بما أن المثلث متقايس الضلعين (\(AB=AC\))، فإن \(\Delta\) هو الموسط العمودي للقاعدة \([BC]\) وهو أيضاً محور تناظر المثلث.
ب) الموسط العمودي في مثلث متقايس الضلعين هو أيضاً منصف لزاوية القمة، إذن \([AM]\) هو منصف الزاوية \(\widehat{BAC}\).
2) ج) بما أن \((AM)\) و \((AN)\) هما منصفا زاويتين متجاورتين ومكملتين، فإن \(\widehat{MAN} = 90^\circ\).
بما أن \((CN) \perp (BC)\) و \((AM) \perp (BC)\)، فإن \((AM) // (CN)\). الرباعي الذي فيه زوايا قائمة وأضلاع متوازية هو شبه منحرف قائم أو مستطيل حسب الحالة.
ارسم \(\zeta\) دائرة مركزها \(O\) وقطر لها \([AB]\) بحيث \(AB = 4\). الموسط العمودي لـ \([AB]\) يقطع الدائرة \(\zeta\) في نقطتين إحداهما نسميها \(E\). ارسم \(\Delta\) المماس لـ \(\zeta\) في \(A\) و \(\Delta'\) المماس لـ \(\zeta\) في \(B\).
1) أثبت أن \((OE) // \Delta\) وأن \(\Delta // \Delta'\).
2) المماس لـ \(\zeta\) في \(E\) يقطع \(\Delta\) في \(C\) و \(\Delta'\) في \(D\). ما هي طبيعة الرباعي \(OECA\)؟ علل جوابك.
3) أثبت أن \(ABDC\) مستطيل واحسب قيس مساحته.
1) المماس \(\Delta\) عمودي على القطر \([AB]\) في \(A\). وبما أن \(OE\) هو الموسط العمودي لـ \([AB]\)، فإن \((OE) \perp (AB)\). مستقيمان عموديان على نفس المستقيم متوازيان، إذن \((OE) // \Delta\). وبما أن \(\Delta'\) مماس في \(B\)، فهي أيضاً عمودية على \([AB]\)، إذن \(\Delta // \Delta'\).
2) الرباعي \(OECA\) فيه \((OA) // (EC)\) و \((OE) // (AC)\) وزاوية قائمة في \(A\)، فهو مستطيل. وبما أن \(OA = OE\) (شعاع)، فهو مربع.
3) الرباعي \(ABDC\) يتكون من مربعين متلاصقين (\(OECA\) و \(OEDB\))، فهو مستطيل طوله \(AB = 4\) وعرضه \(AC = 2\). المساحة = \(4 \times 2 = 8\).
ارسم مستطيلاً \(ABCD\) بحيث \(AD = 3\) و \(AB = 5\) وعين النقطة \(E\) على \([AB]\) بحيث \(AE = 2\) وعين النقطة \(F\) على \([BC]\) بحيث \(BF = 2\). احسب قيس مساحة المثلث \(DEF\).
مساحة المستطيل \(ABCD = 5 \times 3 = 15\).
مساحة المثلث القائم \(AED = (2 \times 3) / 2 = 3\).
مساحة المثلث القائم \(EBF = (3 \times 2) / 2 = 3\) (لأن \(EB = AB - AE = 3\)).
مساحة المثلث القائم \(FCD = (5 \times 1) / 2 = 2.5\) (لأن \(FC = BC - BF = 1\)).
مساحة المثلث \(DEF = 15 - (3 + 3 + 2.5) = 6.5\).
ارسم شبه منحرف \(EFGH\) قائماً في \(E\) و \(H\) بحيث: \(EF = 3\) و \(EF = 2\) و \(GH = 5\). ارسم \(K\) المسقط العمودي لـ \(F\) على \((HG)\).
1) ما هي طبيعة الرباعي \(EFKH\)؟ علل جوابك.
2) أثبت أن المثلث \(FGK\) قائم ومتقايس الضلعين.
1) الرباعي \(EFKH\) فيه ثلاث زوايا قائمة (في \(E\) و \(H\) و \(K\))، إذن هو مستطيل.
2) بما أنه مستطيل، فإن \(HK = EF = 3\). إذن \(KG = HG - HK = 5 - 3 = 2\).
لدينا \(FK = EH = 2\). في المثلث \(FGK\)، الزاوية في \(K\) قائمة و \(FK = KG = 2\)، إذن هو قائم ومتقايس الضلعين.
1) ارسم مستطيلاً \(ABCD\) و \(U\) منتصف \([BD]\). بين أن النقاط \(U\) و \(A\) و \(C\) على استقامة واحدة.
2) ارسم \(E\) المسقط العمودي لـ \(U\) على \((AB)\) و \(F\) المسقط العمودي لـ \(U\) على \((BC)\). بين أن الرباعي \(BEUF\) مستطيل.
1) في المستطيل، القطران \([AC]\) و \([BD]\) يتقاطعان في منتصفهما. بما أن \(U\) هي منتصف القطر \([BD]\)، فهي بالضرورة تنتمي للقطر \([AC]\)، إذن \(U, A, C\) مستقيمة.
2) في الرباعي \(BEUF\)، الزاوية في \(B\) قائمة (زاوية المستطيل)، والزوايا في \(E\) و \(F\) قائمة (بسبب المسقط العمودي). رباعي بثلاث زوايا قائمة هو مستطيل.
ابن مستطيلاً \(MNPK\) مركزه \(O\) وقيس طول قطره \(5\) وعين منتصف \([PK]\) و منتصف \([NP]\).
1) ما هي طبيعة كل من المثلثين \(ONP\) و \(OKP\)؟ علل جوابك.
2) بين أن الرباعي \(JOIP\) مستطيل.
3) بين أن \(IJ = 2.5\).
1) في المستطيل، أنصاف الأقطار متساوية: \(OM = ON = OP = OK\). المثلثان \(ONP\) و \(OKP\) متقايسا الضلعين قمتهما الرئيسية \(O\).
2) بما أن \(I\) و \(J\) منتصفات أضلاع المثلثات متقايسة الضلعين، فإن \((OI) \perp (NP)\) و \((OJ) \perp (PK)\). الرباعي \(JOIP\) فيه ثلاث زوايا قائمة، فهو مستطيل.
3) في المستطيل \(JOIP\)، القطران متساويان، إذن \(IJ = OP\). بما أن \(OP\) هو نصف القطر \(NP\)، وقطر المستطيل \(5\)، فإن \(OP = 2.5\)، ومنه \(IJ = 2.5\).
ارسم مثلثاً \(ABD\) قائم الزاوية في \(A\) بحيث \(AB = 6\) و \(AD = 4\). عين \(I\) منتصف \([BD]\) و \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BD)\).
1) أ) أثبت أن قيس مساحة المثلث \(ADI\) مساوية لقيس مساحة المثلث \(ABI\).
ب) احسب قيس مساحة المثلث \(ABD\) واستنتج قيس مساحة كل من المثلثين \(ADI\) و \(ABI\).
2) ابن النقطة \(C\) بحيث يكون الرباعي \(ABCD\) مستطيل.
أ) أثبت أن النقاط \(C\) و \(I\) و \(A\) على استقامة واحدة.
ب) استنتج أن قيس مساحة كل من المثلثات \(ADI\) و \(BIC\) و \(DIC\) متساوية.
1) أ) المثلثان \(ADI\) و \(ABI\) لهما نفس الارتفاع المنحدر من \(A\) وقاعدتاهما \(DI\) و \(IB\) متساويتان لأن \(I\) منتصف، إذن لهما نفس المساحة.
ب) مساحة \(ABD = (6 \times 4) / 2 = 12\). مساحة كل منهما هي \(12 / 2 = 6\).
2) أ) في المستطيل، القطران يتقاطعان في منتصفهما، وبما أن \(I\) منتصف القطر \([BD]\)، فهي تقع على القطر \([AC]\).
ب) القطران يقسمان المستطيل إلى 4 مثلثات لها نفس المساحة (لأن لها نفس القاعدة ونفس الارتفاع بالنسبة للمركز).
1) ارسم مستطيلاً \(ABCD\) بحيث \(AB = 3\) و \(AD = 2\).
أ) ابن النقطة \(E\) صورة النقطة \(B\) بالتناظر المحوري الذي محوره \((CD)\).
ب) أثبت أن \(AC = DE\).
2) ابن النقطة \(F\) صورة النقطة \(C\) بالتناظر المحوري الذي محوره \((AB)\).
أ) تحقق أن النقاط \(E\) و \(C\) و \(B\) و \(F\) على استقامة واحدة.
ب) أثبت أن الرباعي \(ADEF\) شبه منحرف متقايس الضلعين واحسب قيس مساحته.
1) ب) التناظر المحوري يحفظ المسافات، وصورة \(AC\) هي \(DE\) لأن محور التناظر \((CD)\) يعامد الأضلاع.
2) أ) بما أن التناظر تم حول مستقيمات متوازية (\(AB\) و \(CD\)) عمودية على الضلع \(BC\)، فإن الصور ستبقى على نفس الاستقامة.
ب) المساحة = مساحة المستطيل الأصلي + مساحتي المثلثين الناتجين عن التناظر.
1) ارسم مثلثاً \(EFG\) قائم الزاوية في \(E\) و \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([EF]\). \(\Delta\) يقطع \([EG]\) في \(O\) و \([EF]\) في \(I\).
2) أ) ابن النقطة \(H\) صورة النقطة \(G\) بالتناظر المحوري الذي محوره \(\Delta\). \(\Delta\) يقطع \([HG]\) في \(K\).
ب) ما هي طبيعة الرباعي \(IEGK\)؟ علل جوابك.
ج) استنتج أن \(EF = HG\).
3) ما هي صورة الزاوية \(\widehat{FEG}\) بالتناظر المحوري الذي محوره \(\Delta\).
4) بين أن الرباعي \(EFHG\) مستطيل.
2) ب) الرباعي \(IEGK\) فيه زوايا قائمة في \(I\) و \(K\)، و \((IE) // (KG)\) لأنهما عموديان على نفس المحور، فهو شبه منحرف قائم أو مستطيل.
ج) بما أن التناظر يحول \(E\) إلى \(F\) و \(G\) إلى \(H\)، فإن صورة القطعة \([EG]\) هي \([FH]\)، وبما أن التناظر يحفظ المسافة فإن المسافات متساوية.
4) الرباعي \(EFHG\) أقطاره متناظرة حول الموسط العمودي، وزواياه قائمة، فهو مستطيل.