\(ABC\) مثلث و \([AH]\) ارتفاعه المنحدر من \(A\).
1) ابن المستطيلين \(AHCE\) و \(AHBD\).
2) بين أن النقاط \(D\) و \(A\) و \(E\) على استقامة واحدة.
3) نضع \((DH) \cap (AB) = \{I\}\) و \((EH) \cap (AC) = \{J\}\). بين أن \((IJ)\) هو الموسط العمودي للقطعة \([AH]\).
1) البناء يتم برسم الزوايا القائمة والأضلاع المتقابلة المتقايسة.
2) بما أن \(AHBD\) مستطيل، فإن \((DA) // (HB)\) أي \((DA) // (BC)\). وبما أن \(AHCE\) مستطيل، فإن \((AE) // (HC)\) أي \((AE) // (BC)\).
من نقطة واحدة \(A\)، لا يمكن رسم إلا موازٍ واحد لـ \((BC)\)، إذن المستقيمان \((DA)\) و \((AE)\) منطبقان، والنقاط \(D, A, E\) مستقيمة.
3) في المستطيل، القطران يتقاطعان في منتصفهما. إذن \(I\) هي منتصف القطرين \([AH]\) و \([BD]\)، و \(J\) هي منتصف القطرين \([AH]\) و \([CE]\). (تصحيح: القطران في المستطيل \(AHCE\) هما \([AH]\) و \([CE]\)، ومنتصفهما \(J\)). بما أن \(I\) و \(J\) هما نفس النقطة (منتصف \(AH\))، فإن المستقيم \((IJ)\) يمر بمنتصفها.
\(ABCD\) متوازي أضلاع بحيث \(\widehat{ADC} = 60^\circ\).
لتكن \(H\) المسقط العمودي لـ \(C\) على المستقيم \((CD)\) المنحدر من \(A\). (تصحيح: المسقط العمودي لـ \(A\) على \((CD)\)).
بين أن \(ABHK\) مستطيل.
بما أن \(H\) هو المسقط العمودي، فإن \((AH) \perp (CD)\). وبما أن \((AB) // (CD)\)، فإن \((AH) \perp (AB)\).
برسم المسقط الثاني \(K\)، نحصل على رباعي زواياه قائمة، مما يجعله مستطيلاً.
1) ارسم مثلثاً \(ABC\) متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\) بحيث \(\widehat{BAC} = 60^\circ\) وطول \([AB]\) يساوي \(5 \text{ cm}\).
2) بين أن المثلث \(ABC\) متقايس الأضلاع.
3) لتكن \(I\) منتصف \([BC]\) و \(D\) النقطة من \((AI)\) بحيث \(AI = ID\).
أ) بين أن الرباعي \(ABDC\) معين.
ب) بين أن النقاط \(C\) و \(D\) و \(E\) على استقامة واحدة بحيث يكون \(ABED\) متوازي أضلاع.
2) مثلث متقايس الضلعين بإحدى زواياه \(60^\circ\) هو مثلث متقايس الأضلاع (لأن زوايا القاعدة ستكون \((180-60)/2 = 60^\circ\)).
3) أ) في الرباعي \(ABDC\)، القطران \([BC]\) و \([AD]\) يتقاطعان في منتصفهما \(I\)، فهو متوازي أضلاع. وبما أن \(AB = AC\)، فهو معين.
ب) بما أن \(ABDC\) معين، فإن \((AB) // (CD)\). وبما أن \(ABED\) متوازي أضلاع، فإن \((AB) // (DE)\). إذن النقاط \(C, D, E\) مستقيمة.
\(ABC\) مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية \(A\) و \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([BC]\) يمر بـ \(A\).
1) بين أن \(A \in \Delta\).
2) ارسم النقطة \(D\) على \(\Delta\) بحيث \(BD = AB\). بين أن \(ABDC\) معين.
1) بما أن \(AB = AC\)، فإن \(A\) تبعد نفس البعد عن طرفي القطعة \([BC]\)، إذن هي تنتمي للموسط العمودي \(\Delta\).
2) في الرباعي \(ABDC\)، بما أن \(D \in \Delta\)، فإن \(DB = DC\). وبما أن \(AB = AC\)، وحسب المعطى \(BD = AB\)، نستنتج أن \(AB = AC = CD = DB\).
الرباعي الذي كل أضلاعه متقايسة هو معين.
\(\zeta\) دائرة مركزها \(O\) و \(A\) نقطة تنتمي إليها. الموسط العمودي للقطعة \([OA]\) يقطع \(\zeta\) في نقطتين \(B\) و \(C\).
1) بين أن المثلث \(OAB\) متقايس الأضلاع.
2) بين أن الرباعي \(OBAC\) معين.
3) الموازي لـ \((OB)\) المار من \(C\) يقطع \(\zeta\) في نقطة ثانية \(D\) و \((OC)\) يقطع \(\zeta\) في نقطة ثانية \(E\). بين أن \(BCDE\) مستطيل.
1) بما أن \(B\) تنتمي للموسط العمودي لـ \([OA]\)، فإن \(BA = BO\). وبما أن \(B\) و \(A\) على الدائرة، فإن \(BO = OA\) (شعاع). إذن \(BO = OA = AB\)، فالمثلث متقايس الأضلاع.
2) بنفس الطريقة \(CO = CA = OA\). إذن \(OB = BA = AC = CO\)، الرباعي معين.
3) في الرباعي \(BCDE\)، القطران هما قطرا الدائرة يتقاطعان في \(O\)، فهما يتقاطعان في منتصفهما ومتقايسان، مما يجعله مستطيلاً.
ابن مستطيلاً \(ABCD\) في كل حالة من الحالات التالية:
1) \(AB = 6\) و \(AD = 4\) بحساب السنتمتر.
2) \(AB = 5\) و \(\widehat{BAC} = 30^\circ\).
3) \(AC = 7\) و \(\widehat{BAC} = 45^\circ\).
يتم البناء باستخدام المسطرة والكوس (للزوايا القائمة) والمنقلة (للزوايا المعطاة). في الحالة 3، الزاوية \(45^\circ\) مع قطر تجعل المستطيل مربعاً.
ابن معيناً \(ABCD\) في كل حالة من الحالات التالية:
1) \(AC = 4\) و \(BD = 7\) بحساب السنتمتر.
2) \(AB = 5\) و \(BD = 7\) بحساب السنتمتر.
3) \(\widehat{BAD} = 75^\circ\) و \(AB = 6\) بحساب السنتمتر.
1) نرسم قطرين متعامدين يتقاطعان في منتصفهما.
2) نرسم القطر \(BD\) ثم نفتح البركار بفتحة \(5 \text{ cm}\) لنحدد النقطتين \(A\) و \(C\) من موسط \([BD]\).
3) نرسم الزاوية والضلعين المتقايسين.
ابن مربعاً \(ABCD\) في كل من الحالتين التاليتين:
1) \(AB = 6\) بحساب السنتمتر.
2) \(AC = B = 6\) (تصحيح: القطر يساوي 6) بحساب السنتمتر.
1) نرسم ضلعاً طوله \(6 \text{ cm}\) وزاويتين قائمتين عند طرفيه.
2) نرسم قطرين متعامدين ومتقايسين (\(6 \text{ cm}\)) يتقاطعان في منتصفهما.