\(ABC\) مثلث و \([AH]\) ارتفاعه المنحدر من \(A\). الموازي لـ \((AB)\) المار من \(C\) والعمودي على \((AH)\) المار من \(A\) يتقاطعان في \(D\). ما هي طبيعة الرباعي \(ABCD\)؟
لدينا \((AH) \perp (BC)\) لأن \([AH]\) هو الارتفاع الصادر من \(A\).
لدينا \((AD) \perp (AH)\) حسب المعطيات.
بما أن المستقيمين \((BC)\) و \((AD)\) عموديان على نفس المستقيم \((AH)\)، فهما متوازيان.
بما أن \((AD) \parallel (BC)\) و \((AB) \parallel (CD)\) (معطى)، فإن الرباعي \(ABCD\) متوازي أضلاع.
\(ABCD\) متوازي أضلاع. الموازي لـ \((BD)\) المار من \(C\) يقطع \((AB)\) في \(E\) و \((AD)\) في \(F\).
1) بين أن الرباعيين \(BECD\) و \(BCFD\) هما متوازيا أضلاع. 2) بين أن \(C\) هو منتصف \([EF]\).
1) في الرباعي \(BECD\): لدينا \((BE) \parallel (CD)\) (لأن \(E \in (AB)\) و \((AB) \parallel (CD)\)) و \((BD) \parallel (CE)\) (معطى)، إذن \(BECD\) متوازي أضلاع.
في الرباعي \(BCFD\): لدينا \((DF) \parallel (BC)\) (لأن \(F \in (AD)\) و \((AD) \parallel (BC)\)) و \((BD) \parallel (CF)\) (معطى)، إذن \(BCFD\) متوازي أضلاع.
2) بما أن \(BECD\) متوازي أضلاع فإن \(CE = BD\). وبما أن \(BCFD\) متوازي أضلاع فإن \(CF = BD\).
إذن \(CE = CF\). وبما أن \(E, C, F\) على استقامة واحدة (لأنها تقاطع موازيات)، فإن \(C\) منتصف \([EF]\).
\(ABCD\) و \(BECD\) هما متوازيا أضلاع. بين أن \(B\) هو منتصف القطعة \([AE]\).
بما أن \(ABCD\) متوازي أضلاع فإن \((AB) \parallel (CD)\) و \(AB = CD\).
بما أن \(BECD\) متوازي أضلاع فإن \((BE) \parallel (CD)\) و \(BE = CD\).
نستنتج أن \((AB) \parallel (BE)\) (إذن \(A, B, E\) على استقامة واحدة) و \(AB = BE\).
بما أن \(B\) ينتمي لـ \([AE]\) و \(AB = BE\)، فإن \(B\) هو منتصف \([AE]\).
\(ABCD\) متوازي أضلاع. ارسم موازيا لـ \((AC)\) يقطع \((AB), (BC), (CD), (AD)\) في \(M, N, P, Q\).
1) ماهي طبيعة \(ACNG\) و \(ACPM\)؟ 2) بين أن \(NQ = MP\) و \(NP = MQ\).
1) في الرباعي \(ACNG\): لدينا \((AC) \parallel (NG)\) و \((AN) \parallel (CG)\) (افتراض تسمية النقاط)، فهو متوازي أضلاع.
بالنسبة لـ \(ACPM\): \((AC) \parallel (MP)\) و \((AM) \parallel (CP)\) لأن \((AB) \parallel (CD)\)، فهو متوازي أضلاع.
2) بما أن كل جزء من الرسم هو متوازي أضلاع (أضلاع متوازية)، فإن المسافات بين المتوازيات متساوية.
\(ABCD\) متوازي أضلاع. \(M\) و \(N\) منتصفا \([AB]\) و \([CD]\).
1) بين أن \(MBND\) و \(AMCN\) متوازيا أضلاع. 2) ماهي طبيعة \(IMJN\)؟
1) لدينا \(AB = CD\) و \(M, N\) منتصفاهما، إذن \(AM = MB = CN = ND\).
في الرباعي \(AMCN\): لدينا \(AM = CN\) و \((AM) \parallel (CN)\)، فهو متوازي أضلاع.
في الرباعي \(MBND\): لدينا \(MB = ND\) و \((MB) \parallel (ND)\)، فهو متوازي أضلاع.
2) بما أن \(AMCN\) متوازي أضلاع فإن \((MC) \parallel (AN)\). وبما أن \(MBND\) متوازي أضلاع فإن \((MD) \parallel (NB)\).
الرباعي \(IMJN\) أضلاعه المتقابلة متوازية، إذن هو متوازي أضلاع.
\(ABC\) مثلث و \(I\) منتصف \([BC]\). الارتفاعان من \(B\) و \(C\) يتقاطعان في \(H\). العمودي على \((AB)\) في \(B\) والعمودي على \((AC)\) في \(C\) يتقاطعان في \(D\).
1) بين أن \(BHCD\) متوازي أضلاع. 2) ماذا تقول عن \(I, D, H\)؟
1) لدينا \((CH) \perp (AB)\) (ارتفاع) و \((BD) \perp (AB)\) (معطى)، إذن \((CH) \parallel (BD)\).
لدينا \((BH) \perp (AC)\) (ارتفاع) و \((CD) \perp (AC)\) (معطى)، إذن \((BH) \parallel (CD)\).
الرباعي \(BHCD\) له أضلاع متقابلة متوازية، فهو متوازي أضلاع.
2) في متوازي الأضلاع \(BHCD\)، القطران \([BC]\) و \([HD]\) يتقاطعان في منتصفهما.
بما أن \(I\) هي منتصف القطر \([BC]\)، فإن \(I\) هي أيضاً منتصف \([HD]\)، وبالتالي النقط \(I, D, H\) على استقامة واحدة.
\(PAIN\) و \(LAIT\) هما متوازيا أضلاع. بين أن \((NT) \parallel (PL)\).
في \(PAIN\)، لدينا القطران لهما نفس المنتصف. وفي \(LAIT\) كذلك.
بطريقة أخرى: \(PN = AI\) و \((PN) \parallel (AI)\). وأيضاً \(LT = AI\) و \((LT) \parallel (AI)\).
إذن \(PN = LT\) و \((PN) \parallel (LT)\)، مما يجعل \(PNTL\) متوازي أضلاع.
بالتالي \((NT) \parallel (PL)\).
\(TRUC\) متوازي أضلاع. ليكن \(O\) منتصف \([RU]\) و \(S\) منتصف \([CT]\). بين أن \(SU = TO\).
في متوازي الأضلاع \(TRUC\)، القطران \([RC]\) و \([UT]\) يتقاطعان في منتصفهما \(I\).
بما أن \(O\) منتصف \([RU]\) و \(S\) منتصف \([CT]\)، فإن التناظر المركزي الذي مركزه \(I\) يحول \(R\) إلى \(C\) و \(U\) إلى \(T\).
إذن يحول القطعة \([RU]\) إلى \([CT]\)، ويحول منتصفها \(O\) إلى منتصفها \(S\).
بما أن التناظر المركزي يحفظ المسافات، فإن البعد من المركز \(I\) إلى النقطتين متساوٍ، والرباعي \(TOSU\) يكون متوازي أضلاع أقطاره تتقاطع في \(I\).
إذن \(SU = TO\).
\(ABCD\) متوازي أضلاع. \(M\) منتصف \([AB]\) و \(N\) منتصف \([CD]\).
1) برهن أن \(AMCN\) و \(BMDN\) متوازيا أضلاع. 2) برهن أن \(MPNQ\) متوازي أضلاع.
1) بما أن \(AB = CD\) و \((AB) \parallel (CD)\)، فإن أنصافها \(AM = CN\) و \(MB = DN\) متساوية ومتوازية.
إذن \(AMCN\) و \(BMDN\) متوازيا أضلاع (رباعيات لها ضلعان متقابلان متقايسان ومتوازيان).
2) من متوازي الأضلاع الأول: \((AN) \parallel (MC)\). ومن الثاني: \((MD) \parallel (BN)\).
بما أن كل ضلعين متقابلين في الرباعي \(MPNQ\) ينتميان لهذه المستقيمات المتوازية، فهو متوازي أضلاع.
\(ABCD\) متوازي أضلاع. 1) \(B\) منتصف \([AE]\). 2) برهن أن \(BECD\) متوازي أضلاع. 3) \((AD) \cap (CE) = \{F\}\). برهن أن \(BCFD\) متوازي أضلاع واستنتج أن \(D\) منتصف \([AF]\).
1) و 2) بما أن \(B\) منتصف \([AE]\) فإن \(AB = BE\). وبما أن \(AB = CD\) (متوازي أضلاع)، فإن \(BE = CD\).
بما أن \((AB) \parallel (CD)\) فإن \((BE) \parallel (CD)\). الرباعي \(BECD\) فيه ضلعان متقابلان متقايسان ومتوازيان، فهو متوازي أضلاع.
3) بما أن \(BECD\) متوازي أضلاع فإن \((BC) \parallel (ED)\)، أي \((BC) \parallel (EF)\).
في الرباعي \(BCFD\): لدينا \((BC) \parallel (DF)\) (لأن \(D \in (AF)\)) و \((BD) \parallel (CF)\) هو استنتاج من توازي الأضلاع، إذن \(BCFD\) متوازي أضلاع.
بما أن \(BC = AD\) و \(BC = DF\)، فإن \(AD = DF\). وبما أن \(D \in [AF]\)، فإن \(D\) منتصف \([AF]\).