🔺 ارتفاعات المثلث ونقطة التقائها 🔺

مقاربة هندسية تفاعلية - السنة السابعة أساسي

📚 تقديم
في هذا الدرس، سنتعرف على مفهوم جديد ومهم في الهندسة: ارتفاعات المثلث. سنكتشف معاً كيف يمكن رسم الارتفاعات انطلاقاً من كل رأس من رؤوس المثلث، وسنتعلم خاصية مدهشة: أن هذه الارتفاعات الثلاثة تلتقي دائماً في نقطة واحدة تسمى نقطة الالتقاء (مركز الارتفاعات) أو النقطة القائمة.

🎯 استكشاف أولي تفاعلي

قبل البدء، جرّب التطبيق التفاعلي لاكتشاف ارتفاعات المثلث بنفسك!

📖 التعاريف الأساسية

ارتفاع المثلث: هو المستقيم الذي يمر من أحد رؤوس المثلث ويكون عمودياً على الضلع المقابل (أو امتداده).

في كل مثلث، يمكن رسم ثلاثة ارتفاعات، واحد انطلاقاً من كل رأس.

خاصية مهمة: ارتفاعات المثلث الثلاثة تلتقي دائماً في نقطة واحدة تسمى مركز الارتفاعات أو النقطة القائمة ويرمز لها بالحرف \(H\).

📐 نشاط 1: المثلث القائم الزاوية
1

الهدف: اكتشاف خصوصية ارتفاعات المثلث القائم الزاوية

المعطيات:

\(ABC\) مثلث قائم الزاوية في \(A\)

المطلوب:

  • ارسم الارتفاع الصادر من الرأس \(A\) على الضلع \([BC]\)
  • ارسم الارتفاع الصادر من الرأس \(B\)
  • ارسم الارتفاع الصادر من الرأس \(C\)
  • ماذا تلاحظ بالنسبة لارتفاعين من الارتفاعات الثلاثة؟
  • أين تقع النقطة \(H\) (مركز الارتفاعات)؟
💡 ملاحظة: استعمل التطبيق التفاعلي على اليسار لإنجاز هذا النشاط. يمكنك تحريك النقاط لتغيير شكل المثلث ومراقبة التغييرات.
🔷 نشاط 2: المثلث المتساوي الأضلاع
2

الهدف: دراسة ارتفاعات المثلث المتساوي الأضلاع

المعطيات:

\(DEF\) مثلث متساوي الأضلاع

المطلوب:

  • أنشئ الارتفاعات الثلاثة للمثلث
  • حدد النقطة \(H\) (نقطة التقاء الارتفاعات)
  • قس المسافة من \(H\) إلى كل ضلع من أضلاع المثلث
  • ماذا تستنتج؟
  • هل هناك علاقة بين الارتفاعات ومتوسطات المثلث؟
🔍 للتفكير: في المثلث المتساوي الأضلاع، النقطة \(H\) هي أيضاً مركز الثقل ومركز الدائرة المحيطة!
📊 نشاط 3: المثلث الحاد الزوايا
3

الهدف: تحديد موقع مركز الارتفاعات في مثلث حاد الزوايا

المعطيات:

\(LMN\) مثلث حاد الزوايا (جميع زواياه حادة)

المطلوب:

  • أنشئ الارتفاع من \(L\) وسمّ نقطة تقاطعه مع \([MN]\) بـ \(P\)
  • أنشئ الارتفاع من \(M\) وسمّ نقطة تقاطعه مع \([LN]\) بـ \(Q\)
  • أنشئ الارتفاع من \(N\) وسمّ نقطة تقاطعه مع \([LM]\) بـ \(R\)
  • حدد النقطة \(H\) (نقطة التقاء الارتفاعات الثلاثة)
  • هل النقطة \(H\) داخل المثلث أم خارجه؟
📌 استنتاج: في المثلث الحاد الزوايا، مركز الارتفاعات يقع دائماً داخل المثلث.
📏 نشاط 4: المثلث المنفرج الزاوية
4

الهدف: اكتشاف موقع مركز الارتفاعات في مثلث منفرج

المعطيات:

\(PQR\) مثلث منفرج الزاوية في \(P\) (الزاوية \(\widehat{P}\) منفرجة)

المطلوب:

  • حاول رسم الارتفاع من \(Q\) على الضلع \([PR]\)
  • هل تحتاج إلى رسم امتداد للضلع؟
  • ارسم الارتفاع من \(R\) على الضلع \([PQ]\) (أو امتداده)
  • ارسم الارتفاع من \(P\)
  • حدد موقع النقطة \(H\) بالنسبة للمثلث
⚠️ ملاحظة مهمة: في المثلث المنفرج، مركز الارتفاعات \(H\) يقع خارج المثلث! وقد نحتاج إلى رسم امتدادات للأضلاع.
✏️ نشاط 5: تمرين بناء
5

الهدف: إنجاز بناء هندسي كامل

المطلوب:

  • ارسم مثلثاً \(ABC\) حيث: \(AB = 6\,cm\)، \(BC = 7\,cm\)، \(AC = 5\,cm\)
  • أنشئ الارتفاع من \(A\) على \([BC]\) وسمّه \((h_A)\)
  • أنشئ الارتفاع من \(B\) على \([AC]\) وسمّه \((h_B)\)
  • أنشئ الارتفاع من \(C\) على \([AB]\) وسمّه \((h_C)\)
  • حدد النقطة \(H\) (نقطة التقاء الارتفاعات)
  • تحقق من أن الارتفاعات الثلاثة تمر بالنقطة \(H\)
🛠️ نصيحة: استعمل المسطرة والكوس لضمان دقة الإنشاء. في التطبيق التفاعلي، يمكنك استعمال أدوات GeoGebra للإنشاء الدقيق.
💡 ما يجب تذكره
  • لكل مثلث ثلاثة ارتفاعات، واحد من كل رأس عمودياً على الضلع المقابل
  • الارتفاعات الثلاثة تلتقي دائماً في نقطة واحدة تسمى مركز الارتفاعات \(H\)
  • في المثلث القائم، النقطة \(H\) تقع على رأس الزاوية القائمة
  • في المثلث الحاد الزوايا، النقطة \(H\) تقع داخل المثلث
  • في المثلث المنفرج، النقطة \(H\) تقع خارج المثلث
  • في المثلث المتساوي الأضلاع، \(H\) هو أيضاً مركز الثقل ومركز الدائرة المحيطة