ابن الدائرة المحيطة بالمثلث ABC التي مركزها O في كل حالة من الحالات التالية:
1) BC = 5cm و زاوية ABC = 60° و زاوية ACB = 50°.
2) AB = 4cm و AC = 2,5cm و زاوية BAC = 90°.
3) BC = 5cm و زاوية ABC = 30° و زاوية ACB = 20°.
• الدائرة المحيطة بالمثلث: تمر برؤوس المثلث الثلاثة.
• مركزها O هو نقطة تقاطع الموسطات العمودية لأضلاع المثلث.
• الموسط العمودي لقطعة مستقيم: مستقيم يمر من منتصف القطعة ويكون عمودياً عليها.
• في مثلث قائم: مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر.
• في مثلث حاد الزوايا: المركز داخل المثلث.
• في مثلث منفرج: المركز خارج المثلث.
• في كل حالة، نبني المثلث أولاً انطلاقاً من المعطيات.
• ثم نرسم موسطين عموديين على الأقل لأضلاع المثلث.
• نقطة تقاطع هذين الموسطين هي مركز الدائرة المحيطة.
• نرسم الدائرة التي مركزها O وشعاعها المسافة من O إلى أحد رؤوس المثلث.
الحالة 1: BC = 5cm ، زاوية B = 60° ، زاوية C = 50°
1) بناء المثلث ABC:
• نرسم القطعة [BC] طولها 5cm.
• عند B نرسم شعاعاً يصنع 60° مع BC.
• عند C نرسم شعاعاً يصنع 50° مع CB.
• يتقاطع الشعاعان في النقطة A.
• نحصل على المثلث ABC.
2) بناء الموسطات العمودية:
• نعين منتصف القطعة [BC] ونسميه M.
• نرسم المستقيم العمودي على BC المار من M، هذا هو الموسط العمودي لـ [BC].
• نعين منتصف القطعة [AC] ونسميه N.
• نرسم المستقيم العمودي على AC المار من N، هذا هو الموسط العمودي لـ [AC].
• يتقاطع المستقيمان في النقطة O.
3) رسم الدائرة المحيطة:
• نأخذ المسافة OB (أو OC أو OA) شعاعاً للدائرة.
• نرسم دائرة مركزها O وشعاعها OB.
• هذه الدائرة تمر بالنقاط A و B و C، فهي الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
الحالة 2: AB = 4cm ، AC = 2,5cm ، زاوية A = 90°
1) بناء المثلث ABC:
• نرسم زاوية قائمة في A.
• على أحد ضلعي الزاوية نضع AB = 4cm.
• على الضلع الآخر نضع AC = 2,5cm.
• نصل بين B و C فنحصل على المثلث ABC القائم في A.
2) مركز الدائرة المحيطة في مثلث قائم:
• في مثلث قائم، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر.
• الوتر هنا هو [BC].
• نعين منتصف [BC] ونسميه O.
3) رسم الدائرة:
• نأخذ OB شعاعاً.
• نرسم دائرة مركزها O وشعاعها OB.
• هذه الدائرة تمر بالنقاط A و B و C.
الحالة 3: BC = 5cm ، زاوية B = 30° ، زاوية C = 20°
1) بناء المثلث ABC:
• نرسم القطعة [BC] طولها 5cm.
• عند B نرسم شعاعاً يصنع 30° مع BC.
• عند C نرسم شعاعاً يصنع 20° مع CB.
• يتقاطع الشعاعان في A.
2) بناء الموسطات العمودية:
• نعين منتصف [BC] ونرسم الموسط العمودي لها.
• نعين منتصف [AB] ونرسم الموسط العمودي لها.
• يتقاطع الموسطان في النقطة O.
3) رسم الدائرة:
• نأخذ OA شعاعاً.
• نرسم دائرة مركزها O وشعاعها OA.
• هذه الدائرة تمر برؤوس المثلث ABC.
1) ابن مثلثاً ABC قائم الزاوية في A حيث : AB = AC = 3,5cm.
2) لتكن D حيث A منتصف [CD]. بين أن المستقيم (AB) هو الموسط العمودي للقطعة [CD].
3) ابن المستقيم (دلتا) الموسط العمودي لـ [BC].
أ) أثبت أن A تنتمي إلى (دلتا).
ب) ما هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث BCD؟ علل جوابك.
ج) ارسم هذه الدائرة.
• المثلث ABC قائم في A و AB = AC، إذن هو مثلث قائم ومتساوي الساقين.
• A منتصف [CD] يعني أن A في وسط القطعة CD.
• الموسط العمودي لقطعة: يمر من منتصفها ويكون عمودياً عليها.
• إذا كان مستقيم يمر من منتصف قطعة ومستقيم آخر عمودي عليها، فهو موسط عمودي.
• مركز الدائرة المحيطة بالمثلث هو نقطة تقاطع الموسطات العمودية لأضلاعه.
• نثبت أولاً أن (AB) عمودي على (CD) وأن A منتصف [CD]، إذن (AB) موسط عمودي لـ [CD].
• ثم نبني الموسط العمودي لـ [BC] ونسميه (دلتا).
• إذا كانت A تنتمي إلى (دلتا)، فهذا يعني أن A هي نقطة تقاطع موسطين عموديين في المثلث BCD.
• إذن A هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث BCD.
1) بناء المثلث ABC:
• نرسم زاوية قائمة في A.
• نضع AB = 3,5cm على أحد ضلعي الزاوية.
• نضع AC = 3,5cm على الضلع الآخر.
• نصل بين B و C فنحصل على مثلث ABC قائم في A ومتساوي الساقين.
2) إثبات أن (AB) هو الموسط العمودي لـ [CD]:
• A منتصف [CD] حسب المعطيات.
• نعلم أن المثلث ABC قائم في A، إذن (AB) عمودي على (AC).
• إذا اعتبرنا أن C و D على استقامة واحدة مع A بحيث A منتصف [CD]، فإن (AB) يكون عمودياً على (CD) أيضاً (لأن (CD) امتداد لـ (AC)).
• إذن (AB) يمر من منتصف [CD] وهو عمودي عليها.
• بالتالي (AB) هو الموسط العمودي للقطعة [CD].
3 أ) إثبات أن A تنتمي إلى (دلتا):
• (دلتا) هو الموسط العمودي لـ [BC].
• في مثلث ABC قائم في A ومتساوي الساقين (AB = AC)، فإن A تقع على الموسط العمودي للوتر [BC].
• إذن A تنتمي إلى (دلتا).
3 ب) مركز الدائرة المحيطة بالمثلث BCD:
• في المثلث BCD، نعلم أن:
- (AB) هو الموسط العمودي لـ [CD].
- (دلتا) هو الموسط العمودي لـ [BC].
• نقطة تقاطع الموسطين العموديين لمثلث هي مركز الدائرة المحيطة به.
• بما أن A تنتمي إلى (دلتا) و (AB) موسط عمودي لـ [CD]، فإن A هي نقطة تقاطع الموسطين العموديين في المثلث BCD.
• إذن A هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث BCD.
3 ج) رسم الدائرة:
• نأخذ المسافة AB شعاعاً للدائرة.
• نرسم دائرة مركزها A وشعاعها AB.
• هذه الدائرة تمر بالنقاط B و C و D، فهي الدائرة المحيطة بالمثلث BCD.
1) ابن مثلثا ABC حيث AB = 3cm و AC = 6cm و BC = 4cm.
2) ابن المستقيم (d) الموسط العمودي للقطعة [AB] والمستقيم (d') الموسط العمودي للقطعة [AC]. المستقيمان (d) و (d') يتقاطعان في النقطة O.
3) ابن النقطة D بحيث يكون المثلث DBC متقايس الضلعين قمته الرئيسية D و زاوية CBD = 34°.
4) بين أن المستقيم (OD) هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [BC].
• (d) موسط عمودي لـ [AB]، و (d') موسط عمودي لـ [AC].
• نقطة تقاطع الموسطات العمودية لمثلث هي مركز الدائرة المحيطة به.
• المثلث DBC متقايس الضلعين قمته D، إذن DB = DC.
• في مثلث متقايس الضلعين، الموسط من الرأس إلى القاعدة هو أيضاً موسط عمودي.
• إذا كان مستقيم يمر من منتصف [BC] وعمودي عليها، فهو موسط عمودي.
• نثبت أولاً أن O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
• ثم نستغل أن DB = DC لنستنتج أن D تقع على الموسط العمودي لـ [BC].
• إذا كان O أيضاً على هذا الموسط، فإن (OD) هو الموسط العمودي لـ [BC].
1) بناء المثلث ABC:
• نرسم القطعة [AB] طولها 3cm.
• نرسم من A قوساً بطول 6cm ومن B قوساً بطول 4cm.
• نقطة تقاطع القوسين هي C.
• نحصل على المثلث ABC.
2) بناء (d) و (d') وتحديد O:
• نعين منتصف [AB] ونرسم المستقيم العمودي عليها، هذا هو (d).
• نعين منتصف [AC] ونرسم المستقيم العمودي عليها، هذا هو (d').
• يتقاطع (d) و (d') في النقطة O.
• إذن O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
3) بناء النقطة D:
• نريد مثلث DBC متقايس الضلعين قمته D، أي DB = DC.
• هذا يعني أن D تقع على الموسط العمودي للقطعة [BC].
• نرسم من B شعاعاً يصنع زاوية 34° مع BC في الجهة المناسبة.
• نرسم من C شعاعاً بحيث يكون DB = DC (أو باستعمال الموسط العمودي لـ [BC]).
• نحصل على النقطة D بحيث المثلث DBC متقايس الضلعين.
4) إثبات أن (OD) هو الموسط العمودي لـ [BC]:
• بما أن DB = DC، فإن D تقع على الموسط العمودي لـ [BC].
• بما أن O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، فهو أيضاً على الموسط العمودي لـ [BC] (لأن المسافات OB و OC متساوية).
• إذن O و D كلاهما ينتميان إلى الموسط العمودي لـ [BC].
• المستقيم المار من نقطتين من هذا الموسط هو نفسه الموسط العمودي.
• إذن (OD) هو الموسط العمودي للقطعة [BC].
1) أرسم مثلثا ABC قائم الزاوية في A و AB = 3cm و AC = 4cm. عين النقطة O منتصف [BC] و D نقطة من قطعة المستقيم [AB].
2) ابن المستقيم (d) الموسط العمودي للقطعة [DB] والمستقيم (d') الموسط العمودي للقطعة [DC]. المستقيمان (d) و (d') يتقاطعان في النقطة I.
3) بين أن المستقيم (OI) هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [BC].
• المثلث ABC قائم في A، إذن [BC] هو الوتر.
• O منتصف [BC].
• D نقطة على [AB].
• (d) موسط عمودي لـ [DB]، و (d') موسط عمودي لـ [DC].
• I نقطة تقاطع الموسطين العموديين في المثلث DBC، إذن I مركز الدائرة المحيطة بالمثلث DBC.
• مركز الدائرة المحيطة بمثلث يقع على الموسط العمودي لكل ضلع من أضلاعه.
• بما أن I مركز الدائرة المحيطة بالمثلث DBC، فإن I يقع على الموسط العمودي لـ [BC].
• O هو أيضاً على الموسط العمودي لـ [BC] لأنه منتصف [BC] في مثلث قائم (ABC).
• إذا كان O و I ينتميان إلى نفس الموسط العمودي، فإن المستقيم (OI) هو هذا الموسط العمودي.
1) بناء المثلث ABC وتعيين O و D:
• نرسم زاوية قائمة في A.
• نضع AB = 3cm و AC = 4cm.
• نصل بين B و C فنحصل على المثلث ABC.
• نعين منتصف [BC] ونسميه O.
• نختار نقطة D على [AB].
2) بناء (d) و (d') وتحديد I:
• نعين منتصف [DB] ونرسم المستقيم العمودي عليها، هذا هو (d).
• نعين منتصف [DC] ونرسم المستقيم العمودي عليها، هذا هو (d').
• يتقاطع (d) و (d') في النقطة I.
• إذن I هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث DBC (لأنه تقاطع موسطين عموديين).
3) إثبات أن (OI) هو الموسط العمودي لـ [BC]:
• في المثلث DBC، I مركز الدائرة المحيطة، إذن I يقع على الموسط العمودي لـ [BC].
• في المثلث ABC القائم في A، O منتصف [BC]، وهو أيضاً مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC، فيقع على الموسط العمودي لـ [BC].
• إذن O و I كلاهما ينتميان إلى الموسط العمودي لـ [BC].
• المستقيم المار من نقطتين من هذا الموسط هو نفسه الموسط العمودي.
• إذن (OI) هو الموسط العمودي للقطعة [BC].
نعتبر الرسم التالي حيث ABC مثلث قائم الزاوية في النقطة A :
1) ابن المستقيمين (دلتا) الموسط العمودي للضلع [DC] و (دلتا') الموسط العمودي للضلع [AD]. لتكن O نقطة تقاطعهما.
2) ابن المستقيمين (d) الموسط العمودي للضلع [BC] و (d') الموسط العمودي للضلع [AB]. لتكن O' نقطة تقاطعهما.
3) أ- ماذا تمثل النقطة O بالنسبة للمثلث ADC؟
ب- استنتج أن OA = OC.
ج- بين أن المستقيم (OO') هو الموسط العمودي لقطعة المستقيم [AC].
د- استنتج أن (OO') موازٍ للمستقيم (AB).
4) المستقيمان (d) و (دلتا) يتقاطعان في النقطة I. ماذا تمثل النقطة I بالنسبة للمثلث BDC؟
• (دلتا) و (دلتا') موسطان عموديان لـ [DC] و [AD] في المثلث ADC.
• O نقطة تقاطع الموسطين العموديين في المثلث ADC، إذن هي مركز الدائرة المحيطة به.
• (d) و (d') موسطان عموديان لـ [BC] و [AB] في المثلث ABC.
• O' نقطة تقاطعهما، إذن هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
• مركز الدائرة المحيطة بمثلث يقع على الموسط العمودي لكل ضلع.
• إذا كان مستقيم يمر من منتصف قطعة ويكون عمودياً عليها، فهو موسط عمودي.
• نثبت أن O مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ADC، ثم نستنتج أن OA = OC.
• نثبت أن O' مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
• نلاحظ أن A و C مشتركتان بين المثلثين، فنستغل ذلك لإثبات أن (OO') موسط عمودي لـ [AC].
• إذا كان (OO') موسطاً عمودياً لـ [AC]، فهو عمودي على AC ومار من منتصفها.
• بما أن ABC مثلث قائم في A، فإن (AB) عمودي على (AC)، فإذا كان مستقيمان عموديان على نفس المستقيم، فهما متوازيان.
3 أ) طبيعة النقطة O بالنسبة للمثلث ADC:
• (دلتا) موسط عمودي لـ [DC].
• (دلتا') موسط عمودي لـ [AD].
• O نقطة تقاطع (دلتا) و (دلتا').
• نقطة تقاطع الموسطين العموديين في مثلث هي مركز الدائرة المحيطة به.
• إذن O هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ADC.
3 ب) استنتاج أن OA = OC:
• بما أن O مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ADC، فإن المسافات من O إلى رؤوس المثلث متساوية.
• إذن OA = OD = OC.
• بالتالي OA = OC.
3 ج) إثبات أن (OO') هو الموسط العمودي لـ [AC]:
• في المثلث ADC، O مركز الدائرة المحيطة، إذن O يقع على الموسط العمودي لـ [AC].
• في المثلث ABC، O' مركز الدائرة المحيطة، إذن O' يقع أيضاً على الموسط العمودي لـ [AC].
• إذن O و O' ينتميان إلى الموسط العمودي لـ [AC].
• المستقيم المار من O و O' هو هذا الموسط العمودي.
• إذن (OO') هو الموسط العمودي للقطعة [AC].
3 د) استنتاج أن (OO') موازٍ لـ (AB):
• نعلم أن (OO') عمودي على (AC) لأنه موسط عمودي لـ [AC].
• في المثلث ABC القائم في A، (AB) عمودي على (AC) أيضاً.
• إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستقيم، فهما متوازيان.
• إذن (OO') موازٍ للمستقيم (AB).
4) طبيعة النقطة I بالنسبة للمثلث BDC:
• (d) موسط عمودي لـ [BC].
• (دلتا) موسط عمودي لـ [DC].
• I نقطة تقاطع (d) و (دلتا).
• إذن I هي نقطة تقاطع موسطين عموديين في المثلث BDC.
• بالتالي I هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث BDC.