تمارين في المثلثات المتقايسة الضلعين والأضلاع[span_0](end_span)[span_1](end_span)[span_2](end_span)
استخراج دقيق وإصلاح مفصل (Ulysse)
[span_3](start_span)
التمرين رقم 1[span_3](end_span)
ABC مثلث متقايس الضلعين بحيث \(AB = AC\) و \([AH]\) ارتفاعه الموافق للقاعدة \([BC]\). ارسم مستقيمين متوازيين يمران من B و C يقطعان \((AH)\) في D و E.
(1) بين أن H هي منتصف \([DE]\).
المرحلة 1: مقارنة المثلثين القائمين BHD و CHE
- لدينا \(\widehat{BHD} = \widehat{CHE} = 90^\circ\) (بالتقابل بالرأس لأن H تنتمي لارتفاع المثلث).
- لدينا \(BH = CH\) (لأن الارتفاع الصادر من القمة الرئيسية في مثلث متقايس الضلعين هو أيضاً موسط عمودي).
- لدينا \(\widehat{HBD} = \widehat{HCE}\) (زوايا متبادلة داخلياً بما أن المستقيمين المارين من B و C متوازيان). المرحلة 2: الاستنتاج
إذن يتقايس المثلثان BHD و CHE حسب حالة (ضلع وزاويتان مجاورتان). المرحلة 3: النتيجة
ينتج عن التقايس أن \(HD = HE\)، وبما أن D و H و E على استقامة واحدة، فإن H منتصف \([DE]\).
[span_4](start_span)
التمرين رقم 3[span_4](end_span)
ABC مثلث متقايس الأضلاع. عين على الأضلاع \([AB]\) و \([BC]\) و \([AC]\) النقاط E و F و G على التوالي بحيث \(AE = BF = CG\). برهن على أن المثلث EFG متقايس الأضلاع.
المرحلة 1: مقارنة المثلثات ABE و BCF و CAG
- لدينا \(AE = BF = CG\) (معطى).
- لدينا \(AB = BC = CA\) (لأن المثلث ABC متقايس الأضلاع).
- بما أن \(AE = BF = CG\)، فإن بقية الأجزاء متساوية أيضاً: \(EB = FC = GA\).
- لدينا \(\widehat{A} = \widehat{B} = \widehat{C} = 60^\circ\). المرحلة 2: البرهنة على التقايس
نلاحظ المثلثات ABE و BCF و CAG: يتقايسون حسب حالة (ضلعان والزاوية المحصورة بينهما). المرحلة 3: الاستنتاج النهائي
من تقايس هذه المثلثات ينتج أن \(EF = FG = GE\).
بما أن أضلاعه الثلاثة متقايسة، فإن المثلث EFG متقايس الأضلاع.
[span_5](start_span)
التمرين رقم 4[span_5](end_span)
ABC مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية A. منصف الزاوية \([BA, BC]\) يقطع الضلع \([AC]\) في D والارتفاع \([AH]\) في I.
(1) ما هي طبيعة المثلث IBC؟ علل إجابتك.
بما أن المثلث ABC متقايس الضلعين قمته A، فإن الارتفاع \([AH]\) هو أيضاً الموسط العمودي للقاعدة \([BC]\).
بما أن النقطة I تنتمي إلى الموسط العمودي \((AH)\)، فإنها تبعد نفس البعد عن طرفي القطعة \([BC]\).
إذن \(IB = IC\)، وبالتالي المثلث IBC متقايس الضلعين قمته الرئيسية I.
[span_6](start_span)
التمرين رقم 6[span_6](end_span)
ABC مثلث بحيث \(AB = AC\) و M نقطة من \([BC]\). المستقيم المار من M والموازي لـ \((AB)\) يقطع \((AC)\) في D.
(1) بين أن \(DM = DC\).
- في المثلث ABC، لدينا \(AB = AC\)، إذن زوايا القاعدة متقايسة: \(\widehat{ABC} = \widehat{ACB}\).
- بما أن \((DM) // (AB)\)، فإن الزاويتين \(\widehat{DMC}\) و \(\widehat{ABC}\) متماثلتان، إذن \(\widehat{DMC} = \widehat{ABC}\).
- بالتعويض، نجد أن \(\widehat{DMC} = \widehat{ACB}\) (أو \(\widehat{DCM}\)).
- المثلث DMC له زاويتان متقايستان، فهو متقايس الضلعين قمته D، ومنه \(DM = DC\).