تمارين تفاعلية حول الكسور النسبية

لوحة إدخال للكسور

يساعدك على كتابة الكسور و الإشارات

عند التركيز على أي خانة إدخال، يمكنك استعمال الأزرار التالية لإضافة الرموز الخاصة: الشرطة المائلة للكسور، الإشارات \(+,-,\pm\) و القيمة المطلقة.

ملاحظة: الأعداد والكسور تُكتب بأرقام لاتينية (0-9) في خانة الإدخال.

تقاطع و اجتماع أجزاء من مجموعة الكسور النسبية

الجزء الأول

نعمل داخل مجموعة الأعداد الكسرية النسبية \(\\mathbb{Q}\). في كل تمرين، ندرس أجزاء من هذه المجموعة ثم نبحث عن تقاطعها أو اتحادها أو تصنيف بعض الكسور داخلها.

تمرين 1 : اختيار من متعدّد

تقاطع \(A\) و \(B\)

ليكن \(A\) و \(B\) جزءين من \(\\mathbb{Q}\) مع: \( A = \{ x \in \mathbb{Q} \mid -1 \le x \le \tfrac{1}{2} \} \) و \( B = \{ x \in \mathbb{Q} \mid 0 \le x \le 2 \} \). ما هو الجزء الذي يمثّل \( A \cap B \) ؟

نبحث عن الأعداد الكسرية التي تنتمي في نفس الوقت إلى \(A\) و إلى \(B\).
من التعريفين، يجب أن يكون: \(-1 \le x \le \tfrac{1}{2}\) و \(0 \le x \le 2\). نجمع الشرطين فنحصل على: \(0 \le x \le \tfrac{1}{2}\). إذن: \(A \cap B = \{ x \in \mathbb{Q} \mid 0 \le x \le \tfrac{1}{2} \}\).

تمرين 2 : اختيار من متعدّد

اتحاد \(C\) و \(D\)

ليكن: \( C = \{ x \in \mathbb{Q} \mid x < -\tfrac{1}{2} \} \), \( D = \{ x \in \mathbb{Q} \mid x \ge \tfrac{3}{4} \}. \) ما هو الجزء الذي يمثّل \( C \cup D \) ؟

اتحاد جزأين يعني جميع العناصر التي تنتمي إلى \(C\) أو إلى \(D\) (أو إلى كليهما).
هنا \(C\) يحتوي كل الأعداد الكسرية الأصغر من \(-\tfrac{1}{2}\) و \(D\) يحتوي الأعداد الكسرية الأكبر أو المساوية لـ \(\tfrac{3}{4}\).
إذن الاتحاد هو: \( C \cup D = \{ x \in \mathbb{Q} \mid x < -\tfrac{1}{2} \text{ أو } x \ge \tfrac{3}{4} \} \).

تمرين 3 : سحب و إفلات

تصنيف كسور داخل أجزاء

نعتبر جزءين من \(\\mathbb{Q}\): \( A = \{ x \in \mathbb{Q} \mid x > 0 \} \), \( B = \{ x \in \mathbb{Q} \mid x \le \tfrac{1}{2} \} \). صنّف الكسور التالية إلى: \(A \cap B\)، \(A \\setminus B\)، \(B \\setminus A\)، أو خارج \(A \cup B\).

\(A \cap B\) : موجبة و \(\le \tfrac{1}{2}\)

\(A \\setminus B\) : موجبة و \(> \tfrac{1}{2}\)

\(B \\setminus A\) : \(\le \tfrac{1}{2}\) و غير موجبة

خارج \(A \cup B\)

نحلّل كل كسر:

لو كان الكسر موجبًا وأصغر أو يساوي \(\tfrac{1}{2}\) فهو في \(A\) و \(B\) معًا، أي في \(A \cap B\).
لو كان الكسر موجبًا وأكبر من \(\tfrac{1}{2}\) فهو في \(A\) فقط، أي في \(A \\setminus B\).
لو كان الكسر غير موجب (\(\le 0\)) و في نفس الوقت \(\le \tfrac{1}{2}\) فهو في \(B\) فقط، أي في \(B \\setminus A\).
لو لم يتحقق أي من هذه الشروط فهو خارج \(A \cup B\).

الكسور العشرية

الجزء الثاني

الكسر العشري هو كسر نسبي مقامه عدد من الشكل \(10\) أو \(100\) أو \(1000\) ... أو يمكن تحويله إلى هذا الشكل مثل \(\dfrac{11}{40} = \dfrac{275}{1000}\). يمكن كتابته على شكل عدد عشري برقم محدود من الأرقام بعد الفاصلة.

تمرين 4 : كتابة كسر عشري على شكل عدد عشري

تحويل إلى عدد عشري

اكتب العدد العشري الموافق للكسر التالي (استعمل النقطة . للفاصلة): \( \dfrac{37}{100} \)

الجواب :

الكسر \(\dfrac{37}{100}\) مقامه \(100\) أي عدد من الشكل \(10^2\).
نضع فاصلة عشرية بحيث يكون عدد الأرقام بعد الفاصلة مساويا لعدد الأصفار في المقام (هنا 2 أصفار).
إذن: \( \dfrac{37}{100} = 0.37 \).

تمرين 5 : اختيار الكسر العشري

تمييز الكسور العشرية

أي من الكسور التالية هو كسر عشري (له كتابة عشرية منتهية) ؟

يكون الكسر عشريًا إذا كان مقامه في الصورة المبسطة من الشكل \(2^a 5^b\) (أي جداء قوى للعددين 2 و 5 فقط).
نبحث عن المقام في كل حالة بعد التبسيط:

\(\dfrac{2}{3}\) مقامه \(3\) ليس من الشكل \(2^a 5^b\) ⇒ كتابته العشرية غير منتهية.
\(\dfrac{7}{12}\) مقامه \(12 = 2^2 \cdot 3\) يحتوي العامل \(3\) ⇒ ليست كتابة عشرية منتهية.
\(\dfrac{15}{1000}\) مقامه \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\) من الشكل \(2^a 5^b\) ⇒ كسر عشري.
\(\dfrac{11}{6}\) مقامه \(6 = 2 \cdot 3\) يحتوي العامل \(3\) ⇒ ليست كتابة عشرية منتهية.

تمرين 6 : سحب و إفلات

تصنيف أعداد كسرية

صنّف الأعداد التالية إلى: يمكن كتابته على شكل عدد عشري منتهٍ أو لا يمكن.

أعداد يمكن كتابتها على شكل أعداد عشرية منتهية

أعداد لا يمكن كتابتها على شكل أعداد عشرية منتهية

العدد النسبي يمكن كتابته على شكل عدد عشري منتهٍ إذا وُضع في صورة كسر مبسط مقامه من الشكل \(2^a5^b\).
مثلاً: \( \dfrac{1}{4} = 0.25 \) عدد عشري منتهٍ، بينما \( \dfrac{1}{3} = 0.\overline{3} \) ليس عددًا عشريًا منتهيا.

القيمة المطلقة لكسر نسبي

الجزء الثالث

القيمة المطلقة لعدد كسري نسبي \(x\) هي المسافة بين \(x\) و \(0\) على مستقيم الأعداد، نرمز لها بـ \(|x|\). هي دائمًا عدد غير سالب.

تمرين 7 : كتابة القيمة المطلقة

إدخال مباشر

أحسب القيمة المطلقة للكسر التالي واكتبها على شكل كسر مبسط: \( x = -\dfrac{5}{8} \). ما هي \( |x| \) ؟

الجواب على شكل a/b :

العدد \(x = -\dfrac{5}{8}\) سالب، والمسافة بينه وبين الصفر هي \(\dfrac{5}{8}\).
إذن: \( |x| = \left| -\dfrac{5}{8} \right| = \dfrac{5}{8}. \)

تمرين 8 : اختيار من متعدّد

إشارة القيمة المطلقة

ما هي إشارة القيمة المطلقة لعدد كسري نسبي \(x\) ؟

القيمة المطلقة تمثّل مسافة على مستقيم الأعداد، والمسافة لا يمكن أن تكون سالبة.
إذن: \( |x| \ge 0 \) لكل \( x \in \mathbb{Q} \). قد تكون صفرًا إذا كان \(x = 0\)، أو موجبة إذا كان \(x \neq 0\).

تمرين 9 : سحب و إفلات

مطابقة عدد وقيمته المطلقة

اسحب كل كسر إلى الخانة التي تحمل قيمته المطلقة الصحيحة.

\( \dfrac{2}{3} \)

\( \dfrac{1}{4} \)

\( \dfrac{5}{2} \)

نستعمل تعريف القيمة المطلقة:

\(\left| -\dfrac{2}{3} \right| = \dfrac{2}{3}\)
\(\left| \dfrac{1}{4} \right| = \dfrac{1}{4}\)
\(\left| -\dfrac{5}{2} \right| = \dfrac{5}{2}\)

إذن كل كسر سالب يطابق نفس الكسر لكن بدون إشارة السالب.