📝 تمارين تطبيقية 📝

محاور المثلث والدائرة المحيطة - السنة السابعة أساسي

📌 تعليمات

هذه السلسلة تحتوي على 5 تمارين حول المحاور المتوسطة والدائرة المحيطة. كل تمرين مزود بتطبيق GeoGebra تفاعلي يساعدك على الإنشاء والتحقق من إجاباتك.

💡 نصيحة: استعمل الأدوات الهندسية في GeoGebra للإنشاءات الدقيقة.

1
إنشاء المحور المتوسط لقطعة
المعطيات:

\([AB]\) قطعة مستقيمة حيث \(AB = 8\,cm\)

المطلوب:
  • أنشئ القطعة \([AB]\) بطول \(8\,cm\)
  • حدد منتصف القطعة \([AB]\) وسمّه \(M\)
  • أنشئ المحور المتوسط \((d)\) للقطعة \([AB]\)
  • اختر نقطة \(P\) على المحور \((d)\)
  • قس المسافتين \(PA\) و \(PB\). ماذا تلاحظ؟
  • حرّك النقطة \(P\) على المحور. هل تبقى الخاصية صحيحة؟
💡 تذكر: المحور المتوسط لقطعة هو المستقيم الذي يمر من منتصف القطعة ويكون عمودياً عليها. استعمل أداة "عمودي" في GeoGebra.
✓ الإجابة المتوقعة: \(PA = PB\) لأن كل نقطة على المحور المتوسط تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة.
2
الدائرة المحيطة بمثلث متساوي الساقين
المعطيات:

\(ABC\) مثلث متساوي الساقين في \(A\)

\(AB = AC = 5\,cm\) و \(BC = 6\,cm\)

المطلوب:
  • أنشئ المثلث \(ABC\) باستعمال المعطيات
  • أنشئ المحور المتوسط للضلع \([BC]\)
  • أنشئ المحور المتوسط للضلع \([AB]\)
  • حدد نقطة التقاء المحورين وسمّها \(O\)
  • قس المسافات: \(OA\)، \(OB\)، \(OC\). ماذا تستنتج؟
  • أنشئ الدائرة التي مركزها \(O\) ونصف قطرها \(OA\)
  • تحقق من أن الدائرة تمر بالرؤوس الثلاثة
  • هل النقطة \(O\) تقع على محور التناظر للمثلث؟ لماذا؟
💡 ملاحظة: في المثلث المتساوي الساقين، المحور المتوسط للقاعدة هو أيضاً محور التناظر للمثلث!
✓ الاستنتاج: \(OA = OB = OC = R\) (نصف قطر الدائرة المحيطة). نعم، \(O\) يقع على محور التناظر لأن المحور المتوسط للقاعدة في المثلث المتساوي الساقين يمر أيضاً من الرأس الرئيسي.
3
المثلث القائم والدائرة المحيطة
المعطيات:

\(DEF\) مثلث قائم الزاوية في \(E\)

\(DE = 6\,cm\) و \(EF = 8\,cm\)

المطلوب:
  • احسب طول الوتر \(DF\) باستعمال مبرهنة فيثاغورس
  • أنشئ المثلث \(DEF\) باستعمال المعطيات
  • أنشئ المحاور المتوسطة للأضلاع الثلاثة
  • حدد مركز الدائرة المحيطة \(O\)
  • أين يقع \(O\) بالنسبة للمثلث؟
  • قس نصف قطر الدائرة المحيطة \(R\)
  • تحقق من العلاقة: \(R = \frac{DF}{2}\)
  • ماذا تستنتج عن موقع مركز الدائرة المحيطة في المثلث القائم؟
💡 مبرهنة فيثاغورس: في المثلث القائم: \(DF^2 = DE^2 + EF^2\)
✓ الحل: \(DF^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\) إذن \(DF = 10\,cm\)
\(O\) يقع على منتصف الوتر \([DF]\)
\(R = \frac{DF}{2} = \frac{10}{2} = 5\,cm\)
الاستنتاج: في المثلث القائم، مركز الدائرة المحيطة يقع دائماً على منتصف الوتر.
4
موقع المركز حسب نوع المثلث
الجزء الأول: مثلث حاد الزوايا
  • أنشئ مثلثاً \(ABC\) حيث \(AB = 5\,cm\)، \(BC = 6\,cm\)، \(AC = 7\,cm\)
  • أنشئ الدائرة المحيطة وحدد مركزها \(O_1\)
  • هل \(O_1\) داخل أم خارج المثلث؟
الجزء الثاني: مثلث منفرج
  • أنشئ مثلثاً \(DEF\) حيث \(DE = 3\,cm\)، \(EF = 4\,cm\)، \(DF = 8\,cm\)
  • أنشئ الدائرة المحيطة وحدد مركزها \(O_2\)
  • هل \(O_2\) داخل أم خارج المثلث؟
الجزء الثالث: استنتاج
  • أكمل الجدول التالي:
نوع المثلث موقع مركز الدائرة المحيطة
حاد الزوايا ................
قائم الزاوية ................
منفرج الزاوية ................
✓ الإجابة:
  • • حاد الزوايا → \(O\) داخل المثلث
  • • قائم الزاوية → \(O\) على منتصف الوتر
  • • منفرج الزاوية → \(O\) خارج المثلث
5
مسألة تطبيقية: تحديد موقع هوائي
الوضعية:

تريد شركة اتصالات تركيب هوائي (antenne) يخدم ثلاث قرى \(A\)، \(B\)، \(C\). يجب أن يكون الهوائي على نفس البعد من القرى الثلاث لضمان تغطية متساوية.

المسافات بين القرى هي: \(AB = 12\,km\)، \(BC = 16\,km\)، \(AC = 20\,km\)

المطلوب:
  • مثّل القرى الثلاث برؤوس مثلث \(ABC\) (استعمل سلم \(1\,cm = 2\,km\))
  • تحقق من أن المثلث \(ABC\) قائم الزاوية (استعمل مبرهنة فيثاغورس)
  • أنشئ المحاور المتوسطة للأضلاع
  • حدد الموقع الأمثل للهوائي (النقطة \(O\))
  • أين يقع الهوائي بالنسبة للقرى الثلاث؟
  • احسب المسافة من الهوائي إلى كل قرية (نصف قطر التغطية)
  • أنشئ دائرة التغطية للهوائي
  • إذا كان مدى الهوائي \(12\,km\)، هل يغطي القرى الثلاث؟
💡 تذكر: النقطة التي تبعد نفس المسافة عن ثلاث نقاط هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث المشكل من هذه النقاط.
✓ الحل التفصيلي:

1) التحقق: \(12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2\)

إذن المثلث قائم الزاوية في \(B\) (مبرهنة فيثاغورس)

2) الموقع: بما أن المثلث قائم، فإن \(O\) يقع على منتصف الوتر \([AC]\)

3) المسافة: \(R = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10\,km\)

4) التغطية: نعم، لأن مدى الهوائي (\(12\,km\)) أكبر من نصف قطر الدائرة المحيطة (\(10\,km\))

الاستنتاج: يجب وضع الهوائي على منتصف المسافة بين القرية \(A\) والقرية \(C\).