📝 تمارين تطبيقية 📝

متوسطات المثلث ومركز الثقل - السنة السابعة أساسي

📌 تعليمات

هذه السلسلة تحتوي على 5 تمارين حول متوسطات المثلث ومركز الثقل. كل تمرين مزود بتطبيق GeoGebra تفاعلي يساعدك على الإنشاء والتحقق من إجاباتك.

💡 تذكر: متوسط المثلث يصل رأساً بمنتصف الضلع المقابل، ومركز الثقل \(G\) يقسم كل متوسط بنسبة \(\frac{2}{3}\).

1
إنشاء المتوسطات الثلاثة
المعطيات:

\(ABC\) مثلث حيث \(AB = 6\,cm\)، \(BC = 7\,cm\)، \(AC = 5\,cm\)

المطلوب:
  • أنشئ المثلث \(ABC\) باستعمال المعطيات
  • حدد منتصف الضلع \([BC]\) وسمّه \(M\)
  • ارسم المتوسط \([AM]\)
  • حدد منتصف الضلع \([AC]\) وسمّه \(N\)
  • ارسم المتوسط \([BN]\)
  • حدد منتصف الضلع \([AB]\) وسمّه \(P\)
  • ارسم المتوسط \([CP]\)
  • حدد نقطة التقاء المتوسطات الثلاثة وسمّها \(G\)
  • ماذا تلاحظ؟ هل المتوسطات الثلاثة تلتقي في نقطة واحدة؟
💡 تذكر: متوسط المثلث هو القطعة المستقيمة التي تصل رأساً بمنتصف الضلع المقابل. استعمل أداة "منتصف" في GeoGebra لتحديد منتصف كل ضلع.
✓ الاستنتاج: نعم، المتوسطات الثلاثة تلتقي دائماً في نقطة واحدة تسمى مركز الثقل \(G\).
2
خاصية الثلثين
المعطيات:

\(DEF\) مثلث، \(M\) منتصف \([EF]\)، \(G\) مركز الثقل

المطلوب:
  • أنشئ مثلثاً \(DEF\) أي
  • أنشئ المتوسطات الثلاثة وحدد مركز الثقل \(G\)
  • قس الطول \(DG\) والطول \(GM\) (حيث \(M\) منتصف \([EF]\))
  • احسب النسبة: \(\frac{DG}{GM}\)
  • قس الطول الكلي \(DM\) وتحقق من العلاقة: \(DG = \frac{2}{3}DM\)
  • كرر نفس القياسات مع المتوسطين الآخرين
  • ماذا تستنتج بخصوص موقع \(G\) على كل متوسط؟
💡 خاصية مهمة: مركز الثقل يقسم كل متوسط إلى قسمين: الجزء من الرأس إلى \(G\) يساوي ضعف الجزء من \(G\) إلى منتصف الضلع المقابل.
✓ الاستنتاج:
$$\frac{DG}{GM} = 2 \quad \text{أي} \quad DG = 2 \times GM$$ $$DG = \frac{2}{3}DM \quad \text{و} \quad GM = \frac{1}{3}DM$$
مركز الثقل يقع على بُعد ثلثي طول المتوسط من الرأس.
3
المثلث القائم الزاوية
المعطيات:

\(ABC\) مثلث قائم الزاوية في \(A\)

\(AB = 6\,cm\) و \(AC = 8\,cm\)

المطلوب:
  • أنشئ المثلث \(ABC\) القائم في \(A\)
  • احسب طول الوتر \(BC\) باستعمال مبرهنة فيثاغورس
  • أنشئ المتوسطات الثلاثة وحدد مركز الثقل \(G\)
  • حدد منتصف الوتر \([BC]\) وسمّه \(M\)
  • قس الطول \(AM\) (المتوسط الصادر من الزاوية القائمة)
  • قارن بين \(AM\) و \(\frac{BC}{2}\). ماذا تلاحظ؟
  • استنتج خاصية المتوسط الصادر من رأس الزاوية القائمة
💡 مبرهنة فيثاغورس: في المثلث القائم: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\)
✓ الحل:

\(BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\) إذن \(BC = 10\,cm\)

\(AM = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5\,cm\)

خاصية مهمة: في المثلث القائم، المتوسط الصادر من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر: $$AM = \frac{BC}{2}$$
4
تقسيم المساحات
الوضعية:

ندرس كيف تقسم المتوسطات المثلث إلى مناطق مختلفة المساحة

المطلوب:
  • أنشئ مثلثاً \(ABC\) أي
  • أنشئ المتوسطات الثلاثة (تلتقي في \(G\))
  • لاحظ أن المتوسطات تقسم المثلث إلى 6 مثلثات صغيرة
  • سمّ هذه المثلثات الستة
  • باستعمال أداة "المساحة" في GeoGebra، احسب مساحة كل مثلث صغير
  • ماذا تلاحظ بخصوص هذه المساحات؟
  • إذا كانت مساحة المثلث \(ABC\) تساوي \(S\)، ما هي مساحة كل مثلث صغير؟
💡 ملاحظة: المثلثات الستة الصغيرة هي: \(AGB\)، \(AGC\)، \(BGC\) وكل منها مقسم إلى مثلثين بواسطة متوسط آخر.
✓ الاستنتاج المذهل:
المتوسطات الثلاثة تقسم المثلث إلى 6 مثلثات متساوية المساحة! $$\text{مساحة كل مثلث صغير} = \frac{S}{6}$$ حيث \(S\) هي مساحة المثلث الأصلي.

هذه خاصية رائعة تثبت أن مركز الثقل يوزع المساحة بشكل متساوٍ تماماً!

5
مسألة تطبيقية: توازن مثلث من الكرتون
الوضعية:

لديك مثلث من الكرتون المقوى على شكل \(ABC\) حيث:

\(AB = 9\,cm\)، \(BC = 12\,cm\)، \(AC = 15\,cm\)

تريد وضع هذا المثلث على رأس قلم رصاص بحيث يبقى في حالة توازن. أين يجب أن تضع القلم بالضبط؟

المطلوب:
  • تحقق أولاً من أن المثلث \(ABC\) قائم الزاوية (استعمل مبرهنة فيثاغورس)
  • أنشئ المثلث \(ABC\) باستعمال المعطيات
  • أنشئ المتوسطات الثلاثة
  • حدد مركز الثقل \(G\)
  • قس المسافة من \(G\) إلى كل رأس من رؤوس المثلث
  • حدد منتصف \([BC]\) وسمّه \(M\)، ثم قس \(AG\) و \(GM\)
  • تحقق من خاصية الثلثين: \(AG = 2 \times GM\)
  • إذا وضعت القلم عند النقطة \(G\)، لماذا سيبقى المثلث في حالة توازن؟
💡 للتحقق من المثلث القائم: نتحقق هل: \(AB^2 + BC^2 = AC^2\) أو أي ترتيب آخر للأضلاع.
\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\) ✓
✓ الحل الكامل:

1) التحقق:

\(AB^2 + BC^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2 = AC^2\)

إذن المثلث قائم الزاوية في \(B\) (مبرهنة فيثاغورس)

2) نقطة التوازن:

يجب وضع القلم عند النقطة \(G\) (مركز الثقل)

3) لماذا التوازن؟

لأن مركز الثقل هو النقطة التي يتمركز عندها كل وزن المثلث. هذه النقطة تقسم كل متوسط بنسبة \(\frac{2}{3}\) من الرأس، مما يضمن توزيعاً متساوياً للكتلة في جميع الاتجاهات.

خلاصة فيزيائية: مركز الثقل \(G\) هو نقطة التوازن الفيزيائية للمثلث. إذا علقنا أو أسندنا المثلث عند هذه النقطة، فإنه يبقى في حالة توازن تام!