تمارين: منصفات زوايا المثلث والدائرة الداخلية

📌 تعليمات

هذه السلسلة تحتوي على 5 تمارين حول منصفات زوايا المثلث والدائرة الداخلية (المحاطة). كل تمرين مزود بتطبيق GeoGebra تفاعلي يساعدك على الإنشاء والتحقق من إجاباتك.

💡 تذكر: منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متقايستين، والمنصفات الثلاثة تلتقي في مركز الدائرة الداخلية $I$.

إنشاء المنصفات الثلاثة

المعطيات:

$ABC$ مثلث حيث $AB = 7\,cm$، $BC = 8\,cm$، $AC = 6\,cm$

المطلوب:

أنشئ المثلث $ABC$ باستعمال المعطيات
أنشئ منصف الزاوية $\widehat{A}$ (يقسمها إلى زاويتين متساويتين)
أنشئ منصف الزاوية $\widehat{B}$
أنشئ منصف الزاوية $\widehat{C}$
حدد نقطة التقاء المنصفات الثلاثة وسمّها $I$
اختر نقطة $P$ على منصف الزاوية $\widehat{A}$
قس المسافة من $P$ إلى الضلع $[AB]$ والمسافة من $P$ إلى الضلع $[AC]$
ماذا تلاحظ؟

💡 تذكر: منصف الزاوية هو نصف المستقيم الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متقايستين. استعمل أداة "منصف زاوية" في GeoGebra.

المسافة من نقطة إلى مستقيم هي طول العمود من النقطة على المستقيم.

✓ الاستنتاج:

• المنصفات الثلاثة تلتقي في نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة الداخلية $I$

• كل نقطة على منصف زاوية تبعد نفس المسافة عن ضلعي تلك الزاوية

إذا كانت $P$ على منصف الزاوية $\widehat{A}$، فإن: $$d(P, [AB]) = d(P, [AC])$$

إنشاء الدائرة الداخلية

المعطيات:

$DEF$ مثلث أي

المطلوب:

أنشئ مثلثاً $DEF$ أي
أنشئ منصفات الزوايا الثلاثة
حدد مركز الدائرة الداخلية $I$
من النقطة $I$، ارسم العمود على أحد الأضلاع (مثلاً $[DE]$)
سمّ نقطة تقاطع هذا العمود مع الضلع $T_1$
المسافة $IT_1$ هي نصف قطر الدائرة الداخلية $r$
ارسم الدائرة التي مركزها $I$ ونصف قطرها $r = IT_1$
تحقق من أن هذه الدائرة تمس الأضلاع الثلاثة للمثلث
حدد نقاط التماس الثلاث وسمّها $T_1$، $T_2$، $T_3$

⭕ الدائرة الداخلية: هي الدائرة الوحيدة التي تقع داخل المثلث وتمس أضلاعه الثلاثة. مركزها هو نقطة التقاء منصفات الزوايا.

✓ الخلاصة:

• مركز الدائرة الداخلية $I$ يبعد نفس المسافة عن الأضلاع الثلاثة

$$d(I, [DE]) = d(I, [EF]) = d(I, [DF]) = r$$

• نقاط التماس هي أقدام الأعمدة النازلة من $I$ على كل ضلع

• الدائرة الداخلية تمس كل ضلع في نقطة واحدة فقط

المثلث القائم الزاوية

المعطيات:

$ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$

$AB = 3\,cm$ و $AC = 4\,cm$

المطلوب:

احسب طول الوتر $BC$ باستعمال مبرهنة فيثاغورس
أنشئ المثلث $ABC$ القائم في $A$
أنشئ الدائرة الداخلية وحدد نصف قطرها $r$
حدد نقاط التماس الثلاث وسمّها $D$ على $[BC]$، $E$ على $[AC]$، $F$ على $[AB]$
قس الأطوال: $AF$، $AE$، $BF$، $BD$، $CD$، $CE$
تحقق من أن: $AF = AE$، $BF = BD$، $CD = CE$
احسب نصف قطر الدائرة $r$ باستعمال الصيغة الخاصة بالمثلث القائم

💡 للمثلث القائم: في المثلث القائم الزاوية، نصف قطر الدائرة الداخلية يُعطى بالصيغة: $$r = \frac{a + b - c}{2}$$ حيث $a$ و $b$ ضلعا الزاوية القائمة و $c$ هو الوتر.

✓ الحل الكامل:

1) حساب الوتر:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

إذن $BC = 5\,cm$

2) نصف القطر:

$$r = \frac{AB + AC - BC}{2} = \frac{3 + 4 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\,cm$$

3) القطع المماسة:

$AF = AE = r = 1\,cm$

$BF = BD = AB - AF = 3 - 1 = 2\,cm$

$CE = CD = AC - AE = 4 - 1 = 3\,cm$

تحقق: $BF + CD = 2 + 3 = 5 = BC$ ✓

خاصية القطع المماسة

الوضعية:

مثلث $LMN$ محيطه $P = 24\,cm$

القطعة المماسة من الرأس $L$ إلى نقطة التماس تساوي $6\,cm$

المطلوب:

أنشئ مثلثاً $LMN$ في GeoGebra
أنشئ الدائرة الداخلية
سمّ نقاط التماس: $A$ على $[MN]$، $B$ على $[LN]$، $C$ على $[LM]$
إذا كان $LB = LC = 6\,cm$، احسب مجموع $MB + NC$
إذا كان $LM = 9\,cm$، احسب $MC$ ثم $MA$
احسب $LN$ و $MN$

💡 خاصية القطع المماسة: القطعتان المماستان الصادرتان من نقطة خارجية إلى دائرة متساويتان:
$LA = LB$، $MB = MC$، $NA = NC$

المحيط: $P = LM + MN + NL = 2(LA + MB + NC)$

✓ الحل التفصيلي:

1) حساب مجموع القطع الأخرى:

المحيط: $P = 2(LA + MB + NC) = 24\,cm$

إذن: $LA + MB + NC = 12\,cm$

بما أن $LA = LB = LC = 6\,cm$:

$MB + NC = 12 - 6 = 6\,cm$

2) حساب $MC$:

$LM = LC + MC = 9\,cm$

$MC = 9 - 6 = 3\,cm$

بما أن $MB = MC$، فإن $MB = 3\,cm$

3) حساب $MA$:

$MA = MB = 3\,cm$

4) حساب $NC$:

$MB + NC = 6\,cm$ و $MB = 3\,cm$

إذن $NC = 3\,cm$

وبالتالي $NA = NC = 3\,cm$

5) حساب الأضلاع:

$$LN = LB + BN = 6 + 3 = 9\,cm$$ $$MN = MA + AN = 3 + 3 = 6\,cm$$

التحقق: $LM + MN + NL = 9 + 6 + 9 = 24\,cm$ ✓

مسألة تطبيقية: حديقة مثلثية

الوضعية:

حديقة على شكل مثلث $ABC$ حيث: $AB = 40\,m$، $BC = 50\,m$، $AC = 30\,m$

نريد حفر بئر دائري في وسط الحديقة بحيث يكون على نفس البعد من الأسوار الثلاثة.

المطلوب:

مثّل الحديقة بمثلث $ABC$ (استعمل سلم $1\,cm = 5\,m$)
ما هي النقطة التي تبعد نفس المسافة عن الأسوار الثلاثة؟
كيف يمكن تحديد موقع البئر هندسياً؟
أنشئ منصفات الزوايا وحدد موقع البئر (النقطة $I$)
احسب نصف قطر البئر (المسافة من $I$ إلى أي سور)
ارسم شكل البئر (دائرة مركزها $I$)
هل يمكن حفر بئر بنصف قطر $15\,m$ يحترم الشرط المطلوب؟ لماذا؟

💡 مفتاح الحل: النقطة التي تبعد نفس المسافة عن الأسوار الثلاثة هي مركز الدائرة الداخلية.

نصف قطر الدائرة الداخلية هو المسافة من هذه النقطة إلى أي سور.

✓ الحل الكامل:

1) تحديد الموقع:

موقع البئر هو مركز الدائرة الداخلية $I$

يتم تحديده بإنشاء منصفات الزوايا الثلاثة ونقطة تقاطعها

2) حساب نصف القطر:

أولاً نحسب المحيط: $P = 40 + 50 + 30 = 120\,m$

نصف المحيط: $p = 60\,m$

باستعمال صيغة هيرون للمساحة:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$ $$S = \sqrt{60 \times 20 \times 10 \times 30}$$ $$S = \sqrt{360000} = 600\,m^2$$

نصف قطر الدائرة الداخلية:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{600}{60} = 10\,m$$

3) الإجابة عن السؤال الأخير:

لا، لا يمكن حفر بئر بنصف قطر $15\,m$ يبعد نفس المسافة عن الأسوار الثلاثة، لأن نصف قطر الدائرة الداخلية المحدد رياضياً هو $10\,m$ فقط. أي بئر بنصف قطر أكبر سيتجاوز حدود الحديقة!

📝 تمارين تطبيقية 📝

📌 تعليمات