المستوى: السابعة والثامنة والتاسعة أساسي (نظام تونسي)
تمرين رقم 506
$ABC$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$ و $[AH]$ ارتفاعه المنحدر من $A$.
1) بين أن $\widehat{BAH} = \widehat{CAH}$. ماذا تستنتج؟
2) بين أن $(Ay) // (BC)$ (حيث $[Ay]$ منصف الزاوية الخارجية).
1) بما أن $ABC$ مثلث متقايس الضلعين في $A$ فإن الارتفاع $[AH]$ الصادر من القمة الرئيسية هو أيضاً منصف للزاوية $\widehat{BAC}$.
إذن $\widehat{BAH} = \widehat{CAH}$.
الاستنتاج: $[AH]$ هو محور تماثل للمثلث $ABC$.
2) بما أن $(AH) \perp (BC)$ و $(AH)$ هو منصف للزاوية $\widehat{BAC}$ فإن المنصف الخارجي $(Ay)$ يكون عمودياً على المنصف الداخلي $(AH)$.
بما أن $(Ay) \perp (AH)$ و $(BC) \perp (AH)$ فإن $(Ay) // (BC)$.
تمرين رقم 519
$ABC$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$.
ارسم الموسط العمودي $\Delta$ للقطعة $[BC]$ وبين أنه يمر من $A$.
عين $M$ و $N$ من $(BC)$ بحيث يكون للمقطعين $[MN]$ و $[BC]$ نفس المنتصف. بين أن $\widehat{AMB} = \widehat{ANC}$.
1) بما أن $ABC$ متقايس الضلعين في $A$ فإن $AB = AC$.
إذن $A$ تبعد نفس المسافة عن طرفي القطعة $[BC]$.
وبالتالي $A$ تنتمي إلى الموسط العمودي $\Delta$ للقطعة $[BC]$.
2) ليكن $I$ منتصف $[BC]$ و $[MN]$. بما أن $A$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[BC]$ فإن $(AI) \perp (BC)$.
بما أن $I$ هو أيضاً منتصف $[MN]$ فإن $(AI)$ هو الموسط العمودي لـ $[MN]$.
إذن المثلث $AMN$ متقايس الضلعين في $A$ (لأن $AM=AN$).
وبالتالي $\widehat{AMN} = \widehat{ANM}$ أي $\widehat{AMB} = \widehat{ANC}$.
تمرين رقم 520
$\mathcal{C}$ دائرة مركزها $O$ و $[BC]$ قطر لها. $A$ نقطة من $\mathcal{C}$ مخالفة لـ $B$ و $C$.
1) برهن أن المثلثين $OAB$ و $OAC$ متقايسا الضلعين.
2) برهن أن $\widehat{BAC} = \widehat{ABC} + \widehat{ACB}$ ثم استنتج أن $ABC$ قائم في $A$.
1) لدينا $OA$ و $OB$ و $OC$ أنصاف أقطار في الدائرة $\mathcal{C}$.
إذن $OA = OB$ مما يعني أن المثلث $OAB$ متقايس الضلعين في $O$.
وكذلك $OA = OC$ مما يعني أن المثلث $OAC$ متقايس الضلعين في $O$.
2) من السؤال السابق: $\widehat{OAB} = \widehat{ABC}$ و $\widehat{OAC} = \widehat{ACB}$.
نعلم أن $\widehat{BAC} = \widehat{OAB} + \widehat{OAC}$.
بالتعويض نجد: $\widehat{BAC} = \widehat{ABC} + \widehat{ACB}$.
في المثلث $ABC$: مجموع الزوايا هو $180^\circ$.
$\widehat{BAC} + (\widehat{ABC} + \widehat{ACB}) = 180^\circ$.
$\widehat{BAC} + \widehat{BAC} = 180^\circ \Rightarrow 2 \times \widehat{BAC} = 180^\circ$.
إذن $\widehat{BAC} = 90^\circ$ والمثلث $ABC$ قائم في $A$.
تمرين رقم 521
$ABC$ مثلث بحيث $\widehat{ABC} = 68^\circ$ و $\widehat{ACB} = 42^\circ$.
1) احسب $\widehat{BAC}$.
2) $[AH]$ الارتفاع و $[Ax)$ منصف $\widehat{BAC}$. احسب $\widehat{HAx}$.
1) في المثلث $ABC$: $\widehat{BAC} = 180^\circ - (68^\circ + 42^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
2) بما أن $[Ax)$ منصف للزاوية $\widehat{BAC}$ فإن $\widehat{BAx} = 70^\circ \div 2 = 35^\circ$.
في المثلث $ABH$ القائم في $H$: $\widehat{BAH} = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$.
إذن: $\widehat{HAx} = \widehat{BAx} - \widehat{BAH} = 35^\circ - 22^\circ = 13^\circ$.