تمارين الهندسة المفصلة

1) ارسم دائرة $\mathcal{C}$ مركزها $O$ وشعاعها $2,5$ وقطرها $[AB]$.

2) عين على الدائرة $\mathcal{C}$ نقطة $D$ حيث $AD = 2$ سم.

3) ماذا تمثل القطعة $[OD]$ بالنسبة إلى المثلث $ABD$؟

لدينا المثلث $ABD$. بما أن $[AB]$ هو قطر للدائرة $\mathcal{C}$ التي مركزها $O$، فإن النقطة $O$ هي منتصف القطعة $[AB]$. بما أن القطعة $[OD]$ تصل الرأس $D$ بمنتصف الضلع المقابل $[AB]$، فإن $[OD]$ هو الموسط الصادر من $D$ في المثلث $ABD$.

1) ارسم نصف مستقيم $[Ix)$. ابن $I$ منتصف $[BC]$ حيث $BC = 6$ سم. ارسم قطعة مستقيمة $[AD]$.

2) أ) ارسم الموسط $[BI]$ الصادر من $B$ للمثلث $ABD$.

ب) أثبت أن $(OI)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[AD]$.

3) أ) أثبت أن النقطة $J$ هي منتصف الضلع $[AB]$. يقطع المستقيم $(CG)$ المستقيم $(AB)$ في $J$.

ب) استنتج أن $(IJ) \perp (AB)$.

2) ب) لإثبات أن $(OI)$ هو الموسط العمودي لـ $[AD]$، يجب إثبات أن $O$ و $I$ يبعدان نفس البعد عن طرفي القطعة. 3) أ) في المثلث $ABC$، بما أن $G$ هي نقطة تقاطع الموسطين، فهي مركز ثقل المثلث. بما أن المستقيم $(CG)$ يمر بمركز الثقل $G$، فهو يحمل الموسط الثالث الصادر من $C$. إذن نقطة تقاطع هذا المستقيم مع $[AB]$ (وهي النقطة $J$) هي بالضرورة منتصف $[AB]$.

ارسم مثلثاً $ABC$ قائم الزاوية في $A$.

1) أ) ابن النقطة $D$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $(AB)$.

ب) ما هي مناظرة الزاوية $\widehat{ACB}$ بالنسبة لـ $(AB)$؟

2) أ) بين أن المثلث $BCD$ متقايس الضلعين.

ب) استنتج أن المثلث $BCD$ متقايس الأضلاع في حالة خاصة.

1) أ) بما أن $D$ مناظرة $C$ بالنسبة لـ $(AB)$، فإن $(AB)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[CD]$. 2) أ) بما أن النقطة $B$ تنتمي إلى الموسط العمودي $(AB)$ للقطعة $[CD]$، فإن $BC = BD$. بما أن المثلث له ضلعان متقايسان ($BC=BD$)، فهو مثلث متقايس الضلعين قمة رأسه $B$.

1) ارسم مثلثاً $ABC$ قائماً في $A$ ومتقايس الضلعين.

أ) ابن $H$ في $[BC]$ الذي يقطع المنصف للزاوية $\widehat{BAC}$.

ب) بين أن المثلث $ABH$ متقايس الضلعين.

2) أ) عين النقطة $D$ بحيث تكون $A$ منتصف $[BD]$.

ب) ماذا يمثل المستقيم $(AC)$ بالنسبة إلى القطعة $[BD]$؟

ج) استنتج أن المثلث $BCD$ متقايس الضلعين.

2) ب) لدينا $A$ منتصف $[BD]$ ومعطى أن المثلث $ABC$ قائم في $A$، إذن $(AC) \perp (BD)$. بما أن $(AC)$ عمودي على $[BD]$ في منتصفها $A$، فإن $(AC)$ هو الموسط العمودي للقطعة $[BD]$. ج) بما أن $C$ نقطة من الموسط العمودي لـ $[BD]$، فإن $CB = CD$. إذن المثلث $BCD$ متقايس الضلعين قمة رأسه $C$.

سلسلة تمارين الهندسة: الموسطات والارتفاعات والتناظر