إصلاح هندسة شامل

$ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ و $[AH]$ ارتفاعه المنحدر من $A$.
بين أن $\widehat{ABH} = \widehat{CAH}$ و $\widehat{BAH} = \widehat{ACH}$.

الخطوة 1: المثلث $ABC$ قائم في $A$ يعني $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90^\circ$.
الخطوة 2: في المثلث $ABH$ القائم في $H$: $\widehat{ABH} + \widehat{BAH} = 90^\circ$.
الخطوة 3: بما أن $\widehat{BAH} + \widehat{CAH} = \widehat{BAC} = 90^\circ$، فإن $\widehat{ABH} = \widehat{CAH}$ (لأن كلاهما متمم لـ $\widehat{BAH}$).
الخطوة 4: وبنفس الطريقة نجد أن $\widehat{BAH} = \widehat{ACH}$.

$\mathcal{C}$ دائرة مركزها $O$ و $[BC]$ قطر لها. لتكن $A$ نقطة من $\mathcal{C}$ مخالفة لـ $B$ و $C$.
1) برهن أن المثلثين $OAB$ و $OAC$ متقايسا الضلعين.
2) برهن أن $\widehat{BAC} = \widehat{ABC} + \widehat{ACB}$ ثم استنتج أن المثلث $ABC$ قائم في $A$.

الخطوة 1: لدينا $OA = OB = OC$ (أنصاف أقطار الدائرة $\mathcal{C}$).
الخطوة 2: إذن المثلث $OAB$ متقايس الضلعين في $O$ والمثلث $OAC$ متقايس الضلعين في $O$.
الخطوة 3: في $OAB$: $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$. وفي $OAC$: $\widehat{OAC} = \widehat{OCA}$.
الخطوة 4: بما أن $\widehat{BAC} = \widehat{OAB} + \widehat{OAC}$، فإن $\widehat{BAC} = \widehat{ABC} + \widehat{ACB}$.
الخطوة 5: مجموع زوايا المثلث $ABC$ هو $180^\circ$: $\widehat{BAC} + (\widehat{ABC} + \widehat{ACB}) = 180^\circ$.
الخطوة 6: إذن $2 \times \widehat{BAC} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{BAC} = 90^\circ$. المثلث $ABC$ قائم في $A$.

1) ارسم مثلثاً $ABC$ بحيث $\widehat{ABC}=45^\circ$ و $\widehat{BCA}=120^\circ$. احسب $\widehat{BAC}$.
2) ارسم الارتفاع $[AH]$ والعمودي $(Ax)$ على $(AB)$ في $A$.
3) منصف الزاوية $[BA, BC]$ يقطع $[AH]$ في $I$ و $(Ax)$ في $D$.
أ) احسب $\widehat{IAB}$ و $\widehat{AID}$ و $\widehat{ADI}$.
ب) ما هي طبيعة المثلث $IAD$؟ علل إجابتك.

الخطوة 1: $\widehat{BAC} = 180^\circ - (120^\circ + 45^\circ) = 15^\circ$.
الخطوة 2: في المثلث $ABH$ القائم في $H$: $\widehat{BAH} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. إذن $\widehat{IAB} = 45^\circ$.
الخطوة 3: المنصف يقطع $\widehat{ABC}$ في نصفين، إذن $\widehat{ABI} = 22.5^\circ$.
الخطوة 4: $\widehat{AID} = \widehat{ABI} + \widehat{BAH} = 22.5^\circ + 45^\circ = 67.5^\circ$ (زاوية خارجية لـ $ABI$).
الخطوة 5: في المثلث القائم $ABD$ في $A$: $\widehat{ADI} = 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ$.
الخطوة 6: المثلث $IAD$ متقايس الضلعين في $A$ لأن له زاويتي قاعدة متقايستين ($67.5^\circ$).

$\mathcal{C}$ دائرة مركزها $O$ و $[BC]$ قطر لها. خذ نقطة $A$ من $\mathcal{C}$ بحيث $AC=AB$.
1) برهن أن $(OA) \perp (BC)$.
2) ارسم المماس $\Delta$ في النقطة $B$. برهن أن $(AC)$ يقطع $\Delta$ في $P$ بحيث $\widehat{BPC} = \widehat{OAC}$ و $\widehat{OAB} = \widehat{ABP}$.
3) برهن أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $A$ ومتقايس الضلعين.

الخطوة 1: بما أن $AB=AC$ فإن النقطة $A$ تنتمي للموسط العمودي لـ $[BC]$.
الخطوة 2: المركز $O$ هو منتصف $[BC]$، إذن $O$ ينتمي للموسط العمودي. بالتالي $(OA) \perp (BC)$.
الخطوة 3: المثلث $ABC$ مرسوم في نصف دائرة قطرها $[BC]$، فهو قائم في $A$. وبما أن $AB=AC$ فهو متقايس الضلعين وقائم.
الخطوة 4: في المثلث $ABC$ القائم والمتقايس الضلعين، زوايا القاعدة هي $45^\circ$.

$ABC$ مثلث متقايس الضلعين رأسه $A$. لتكن $[Bx)$ و $[Cy)$ نصفي مستقيمين...
1) بين أن $\widehat{ABy} = \widehat{ACx}$.
2) بين أن المثلث $OBC$ متقايس الضلعين.
3) بين أن النقاط $A$ و $H$ و $O$ على استقامة واحدة.

الخطوة 1: بما أن $ABC$ متقايس الضلعين في $A$ فإن $\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$.
الخطوة 2: التناظر حول الموسط العمودي لـ $[BC]$ (الذي يمر من $A$) يحول نصف المستقيم $[Bx)$ إلى $[Cy)$.
الخطوة 3: نقطة تقاطع المنصفات $O$ تنتمي لمحور التناظر $(AH)$، إذن $A$ و $H$ و $O$ على استقامة واحدة.

المدونة الكاملة لإصلاح التمارين