$ABC$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$ و $[AH]$ ارتفاعه المنحدر من $A$.
1) بين أن $\widehat{BAH} = \widehat{CAH}$. ماذا تستنتج؟
2) ليكن $[Bx)$ نصف المستقيم المار من $A$ و $[Ay]$ منصف الزوايا $[AC, Ax]$.
بين أن $(Ay) // (BC)$.
1) في المثلث المتقايس الضلعين $ABC$ القمة الرئيسية $A$:
الارتفاع $[AH]$ الصادر من القمة الرئيسية هو أيضاً منصف للزاوية $\widehat{BAC}$.
إذن $\widehat{BAH} = \widehat{CAH}$.
الاستنتاج: $[AH]$ هو محور تماثل للمثلث وموسط عمودي للقاعدة $[BC]$.
تمرين رقم 507
$ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ و $[AH]$ ارتفاعه المنحدر من $A$.
بين أن $\widehat{ABH} = \widehat{CAH}$ و $\widehat{BAH} = \widehat{ACH}$.
لدينا المثلث $ABC$ قائم في $A$.
في المثلث $ABH$ القائم في $H$: $\widehat{ABH} + \widehat{BAH} = 90^\circ$.
ونعلم أن $\widehat{CAH} + \widehat{BAH} = \widehat{BAC} = 90^\circ$.
إذن $\widehat{ABH} = \widehat{CAH}$ (زوايا متممة لنفس الزاوية).
بنفس الطريقة: $\widehat{BAH} + \widehat{ACH} = 90^\circ$ في المثلث $ACH$.
إذن $\widehat{BAH} = \widehat{ACH}$.
تمرين رقم 508
$ABC$ مثلث قائم الزاوية في $A$ بحيث $\widehat{ABC} = 60^\circ$ و $\widehat{ACB} = 30^\circ$.
منصف الزاوية $[AB, AC]$ يقطع $(BC)$ في $I$.
احسب $\widehat{BAI}$ و $\widehat{AIB}$ و $\widehat{AIC}$.
بما أن $[AI)$ منصف للزاوية القائمة $\widehat{BAC}$:
$\widehat{BAI} = 90^\circ \div 2 = 45^\circ$.
في المثلث $ABI$: $\widehat{AIB} = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ)$.
$\widehat{AIB} = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.
بما أن $B, I, C$ على استقامة واحدة: $\widehat{AIC} = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.
تمرين رقم 509
$ABC$ مثلث متقايس الضلعين قمته الرئيسية $A$.
ليكن $[Bx)$ نصف المستقيم المار من $A$.
احسب $\widehat{CAx}$ إذا علمت أن $\widehat{ABC} = 51^\circ$.
بما أن المثلث متقايس الضلعين قمته $A$ فإن زوايا القاعدة متقايسة:
$\widehat{ACB} = \widehat{ABC} = 51^\circ$.
زاوية الرأس $\widehat{BAC} = 180^\circ - (51^\circ + 51^\circ) = 78^\circ$.
ملاحظة: المعطى $[Bx)$ قد يحتاج لتوضيح موقعه بدقة (خارجي أم داخلي)، بافتراض الزاوية الخارجية: $\widehat{CAx} = 180^\circ - 78^\circ = 102^\circ$.