هندسة في الفضاء: الهرم \(SABCD\)

تمرين تقييمي:
ليكن الهرم \(SABCD\) قاعدته المعين \(ABCD\).
نعلم أن \(J \in [SC]\)، \(L \in [SD]\)، و \(IJ = IL\).
المستوي \((IJL) // (ABC)\) و \(O\) منتصف \([JL]\).
1) لتكن \(K\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \(O\). بيّن أن \(IJKL\) معين.
بما أن \(O\) هي منتصف \([JL]\) (معطى) و \(O\) هي أيضاً منتصف \([IK]\) (لأن \(K\) مناظرة \(I\) بالنسبة لـ \(O\)).
فإن القطران يتقاطعان في منتصفهما، مما يجعل الرباعي متوازي أضلاع.
وحيث أن \(IJ = IL\) (ضلعان متجاوران متقايسان)، فإن متوازي الأضلاع يصبح **معيناً**.
2) استنتج أن \((IJ) // (BKL)\).
في المعين \(IJKL\)، لدينا الضلعان المتقابلان متوازيان، إذن \((IJ) // (LK)\).
وبما أن المستقيم \((LK)\) محتوى في المستوي \((BKL)\)، فإن المستقيم \((IJ)\) يوازي المستوي \((BKL)\).
3) إذا علمت أن المثلث \(ABC\) هو تكبير للمثلث \(IJL\) بنسبة \( \frac{5}{2} \):
أ- مساحة القاعدة \(ABCD\): عند تكبير الأطوال بنسبة \(k\)، تضرب المساحة في \(k^2\).
ب- حجم الهرم: \(V = \frac{1}{3} \times \text{Area}(ABCD) \times \text{Height}(SO)\).
4) المستقيم \((SO)\) يقطع المستوي \((ABC)\) في نقطة \(M\). بيّن أن \(M \in (AC)\).
نعلم أن المستقيم \((SO)\) محتوى في المستوي القطري \((SAC)\).
تقاطع المستويين \((SAC)\) و \((ABC)\) هو المستقيم \((AC)\).
بما أن النقطة \(M\) هي تقاطع \((SO)\) مع مستوي القاعدة، فلا بد أن تنتمي لخط التقاطع \((AC)\).