هندسة في الفضاء: المكعب (1212)

تمرين عدد 3:
ليكن \(ABCDEFGH\) مكعباً حيث \(M\) منتصف \([AD]\) و \(N\) منتصف \([DC]\) و \(P\) منتصف \([EF]\).
1) أتمم بالرمز المناسب \(\in\) أو \(\notin\) أو \(\subset\) أو \(\not\subset\):
\(P \dots (DCG)\)
\((MN) \dots (ABE)\)
\(M \dots (AFG)\)
\((NP) \dots (ABC)\)
  • \(P \notin (DCG)\): النقطة \(P\) في الوجه الأمامي العلوي والمستوي \(DCG\) هو الوجه الخلفي.
  • \((MN) \not\subset (ABE)\): المستقيم \((MN)\) يقع في قاعدة المكعب السفلية بينما \((ABE)\) هو الوجه الجانبي.
  • \(M \notin (AFG)\): النقطة \(M\) لا تنتمي للمستوي المائل المار بـ \(A, F, G\).
  • \((NP) \not\subset (ABC)\): النقطة \(P\) خارج مستوي القاعدة السفلية.
2) حدد عناصر المجموعات التالية (تقاطع المستويات والمستقيمات):
  • \((MNP) \cap (ABC) = (MN)\): لأن النقطتين \(M\) و \(N\) تنتميان لكلا المستويين.
  • \((MP) \cap (ABE) = \{A\}\): المستقيم \((MP)\) يقطع الوجه الجانبي في النقطة \(A\) (أو نقطة أخرى حسب الرسم).
  • \((MN) \cap (EFG) = \emptyset\): المستقيم \((MN)\) يوازي مستوي القاعدة العلوية \((EFG)\).
3) ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين \((EH)\) و \((MP)\)؟ علل جوابك.
المستقيمان \((EH)\) و \((MP)\) هما مستقيمان **غير مستويين**.
التعليل: المستقيم \((EH)\) يقع في الوجه العلوي الخلفي، بينما \((MP)\) يربط بين منتصف ضلع في القاعدة السفلية ومنتصف ضلع في الوجه العلوي. لا يوجد مستوٍ واحد يحتويهما معاً.
4) بيّن أن \((MN)\) و \((BFG)\) متقاطعان ثم عين نقطة تقاطعهما.
المستقيم \((MN)\) محتوى في مستوي القاعدة السفلية \((ABC)\).
المستوي \((BFG)\) هو الوجه الجانبي الأيمن للمكعب.
بما أن \((MN)\) ليس موازياً للوجه الجانبي (لأنه يقطع امتداد الضلع \(BC\))، فإنهما يتقاطعان في نقطة تقع على امتداد الحرف \(BC\).