أرسم مثلثاً $ABC$ قائم الزاوية في $A$ وغير متقايس الضلعين. عين نقطة $D$ على $[BC]$ بحيث $BA=BD$. المستقيم المار من $D$ والعمودي على $(BC)$ يقطع $(AB)$ في $E$.
1) بين تقايس المثلثين $ABC$ و $BDE$.
2) استنتج أن المثلث $BCE$ متقايس الضلعين.
الإصلاح:
1) لنقارن المثلثين $ABC$ و $BDE$ القائمين في $A$ و $D$:
لدينا $BA = BD$ (معطى).
لدينا الزاوية $\widehat{ABC}$ زاوية مشتركة بين المثلثين.
بما أن المثلثين قائمان ولهما وتر و زاوية حادة متقايسان (أو ضلع وزاوية حادة)، فهما متقايسان حسب حالة تقايس المثلثات القائمة.
2) بما أن المثلثين $ABC$ و $BDE$ متقايسان، فإن العناصر المتناظرة متقايسة.
بالتالي $BC = BE$.
بما أن $BC = BE$ في المثلث $BCE$، فإن المثلث $BCE$ متقايس الضلعين قمته الرئيسية $B$.
تمرين 3
أرسم زاوية حادة $\widehat{xOy}$. عين على $[Ox)$ نقطة $A$ وعلى $[Oy)$ نقطة $B$ بحيث $OA=OB$. أرسم المستقيم العمودي على $(Ox)$ المار من $A$ ويقطع $(Oy)$ في $C$. أرسم المستقيم العمودي على $(Oy)$ في $B$ ويقطع $(Ox)$ في $D$.
1) بين تقايس المثلثين $OAC$ و $OBD$.
2) $(AC)$ و $(BD)$ يتقاطعان في $M$. بين تقايس المثلثين $AMD$ و $BMC$.
3) بين أن $[OM)$ هو منصف الزاوية $\widehat{xOy}$.
الإصلاح:
1) في المثلثين $OAC$ و $OBD$ القائمين في $A$ و $B$:
لدينا $OA = OB$ (معطى).
لدينا الزاوية $\widehat{xOy}$ زاوية مشتركة.
إذن يتساوى المثلثان القائمان $OAC$ و $OBD$ حسب حالة (ضلع وزاوية حادة مجاورة).
2) من التقايس السابق نستنتج أن $OC = OD$ و $\widehat{OCA} = \widehat{ODB}$.
بما أن $OA = OB$ و $OD = OC$ فإن $OD - OA = OC - OB$ أي $AD = BC$.
في المثلثين $AMD$ و $BMC$:
$\widehat{MAD} = \widehat{MBC} = 90^\circ$.
$AD = BC$.
$\widehat{ADM} = \widehat{BCM}$ (متممة لنفس الزاوية أو من تقايس سابق).
إذن المثلثان $AMD$ و $BMC$ متقايسان.
3) من تقايس $AMD$ و $BMC$ نستنتج أن $MA = MB$.
في المثلثين $OAM$ و $OBM$:
$OA = OB$ (معطى).
$MA = MB$ (مستنتجة).
$OM$ ضلع مشترك.
إذن المثلثان $OAM$ و $OBM$ متقايسان، مما يعني $\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$.
وبالتالي $[OM)$ هو منصف الزاوية $\widehat{xOy}$.