ابن الدائرة المحاطة بالمثلث ABC التي مركزها I في كل حالة من الحالات التالية:
• تذكّر أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة، استعمل ذلك لإيجاد الزاوية عند A.
• مركز الدائرة المحاطة بالمثلث هو نقطة تقاطع منصفات الزوايا الداخلية للمثلث.
• ارسم المثلث باستعمال المعطيات ثم ارسم منصف الزاويتين عند B و C لتحديد I.
• المثلث قائم في A، إذن الزاويتان عند B و C مجموعهما 90 درجة.
• استعمل طولين AB و AC لرسم مثلث قائم في A، ثم ارسم منصفات الزوايا.
• استعمل الزاوية BAC = 110 درجة لإيجاد الزاويتين عند B و C بمجموع 70 درجة.
• اختر شكلا مناسباً بحيث يكون المثلث غير قائم، ثم ارسم منصفات الزوايا الثلاث.
الفكرة الأساسية هي أن مركز الدائرة المحاطة بالمثلث (المسمى I) هو نقطة تقاطع منصفات الزوايا الداخلية للمثلث.
إذن في كل حالة:
1) نبني المثلث حسب المعطيات (أطوال الأضلاع أو قياس الزوايا).
2) نرسم منصفين على الأقل لزوايا المثلث (مثلاً عند B و C).
3) نقطة تقاطع هذين المنصفين هي I، مركز الدائرة المحاطة.
4) نرسم الدائرة التي مركزها I ونصف قطرها المسافة من I إلى أحد رؤوس المثلث (مثلاً IA).
• المعطيات: BC = 5cm، زاوية ABC = 60°، زاوية ACB = 50°.
1) نحسب الزاوية عند A:
زاوية BAC = 180° − 60° − 50° = 70°.
2) نرسم القطعة [BC] بطول 5cm.
3) عند النقطة B، نرسم شعاعاً يصنع زاوية 60° مع [BC] في الداخل، وعند النقطة C نرسم شعاعاً يصنع زاوية 50° مع [CB] في الداخل، فيتقاطع الشعاعان في النقطة A.
4) الآن نرسم منصف الزاوية ABC ومنصف الزاوية ACB. يتقاطع المنصفان في نقطة نسميها I.
5) نقيس المسافة IA (أو IB أو IC، كلها متساوية لأنها أنصاف أقطار الدائرة المحاطة).
6) نرسم دائرة مركزها I ونصف قطرها IA. هذه هي الدائرة المحاطة بالمثلث ABC.
• المعطيات: AB = 6cm، AC = 4,5cm، زاوية BAC = 90°.
1) نرسم زاوية قائمة في النقطة A (90°).
2) على أحد ضلعي الزاوية نضع طول AB = 6cm، وعلى الضلع الآخر نضع طول AC = 4,5cm، فنحصل على النقاط B و C.
3) نصل بين B و C للحصول على المثلث ABC القائم في A.
4) نرسم منصف الزاوية عند B ومنصف الزاوية عند C. يتقاطع المنصفان في نقطة I.
5) نرسم الدائرة مركزها I ونصف قطرها IA (أو IB أو IC). هذه هي الدائرة المحاطة بالمثلث.
• المعطيات: BA = 7cm، CA = 6cm، زاوية BAC = 110°.
1) نرسم زاوية BAC = 110° في النقطة A.
2) على أحد ضلعي الزاوية نضع طول AB = 7cm، وعلى الضلع الآخر نضع طول AC = 6cm، فنحصل على النقطتين B و C.
3) نصل بين B و C للحصول على المثلث ABC.
4) نرسم منصف الزاوية عند A ومنصف الزاوية عند B (أو C). يتقاطع المنصفان في نقطة I.
5) نرسم الدائرة مركزها I ونصف قطرها IA. هذه هي الدائرة المحاطة بالمثلث ABC.
• تذكّر أن منصف الزاوية هو المستقيم الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متساويتين.
• في السؤال 2، استعمل خاصية: منصفات زوايا المثلث تتقاطع في نقطة واحدة (مركز الدائرة المحاطة).
• في السؤال 3، انتبه أن D تقع على [AC] وأن J هي نقطة تقاطع منصفين لزوايا عند A و B في المثلث ADB.
• في السؤال 4، حاول استعمال فكرة أن منصفات الزوايا في مثلثين يشتركان في نفس القاعدة يمكن أن تكون على نفس المستقيم.
الفكرة الأساسية في هذا التمرين هي فهم أن منصفات زوايا المثلث تتقاطع في نقطة واحدة، وأن هذه النقطة لها خصائص هندسية مهمة.
• في السؤال 2: بما أن I هي نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند B و C، فهي أيضاً تقع على منصف الزاوية عند A.
• في السؤال 3 و 4: نعيد نفس الفكرة في المثلث ADB، حيث J هي نقطة تقاطع منصفات الزوايا عند A و B في هذا المثلث، فنستنتج أن J تقع على منصف الزاوية عند D أيضاً، ثم نربط بين I و J و A.
• نرسم القطعة [BC] بطول 5cm.
• باستعمال الفرجار، نرسم دائرة مركزها B ونصف قطرها 8cm، ودائرة أخرى مركزها C ونصف قطرها 7cm.
• نقطتا تقاطع الدائرتين تعطيان موضع النقطة A. نختار إحداهما ونسمّيها A.
• نصل A مع B و A مع C فنحصل على المثلث ABC.
أ) البناء:
• نرسم منصف الزاوية ABC: نأخذ نقطتين على ضلعي الزاوية، ثم نستعمل الفرجار لرسم قوسين متقاطعين، فنحصل على منصف الزاوية، ونسمّي نقطة تقاطعه مع داخل المثلث I.
• نرسم منصف الزاوية ACB بنفس الطريقة. يجب أن يمر أيضاً بالنقطة I (نقطة التقاطع).
ب) البرهان أن [AI] منصف الزاوية BAC:
• من خاصية منصفات زوايا المثلث: منصفات الزوايا الداخلية للمثلث تتقاطع في نقطة واحدة فقط.
• بما أن I هي نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند B و C، فهي بالضرورة نقطة تقاطع منصف الزاوية عند A أيضاً.
• إذن المستقيم (AI) هو منصف الزاوية BAC.
• D هي نقطة تقاطع [BI] مع [AC]. نحددها على الرسم.
• نعتبر المثلث ADB.
• نرسم منصف الزاوية ADB: نأخذ نقطتين على ضلعي الزاوية عند D، ثم نرسم قوسين متقاطعين لتحديد منصف الزاوية، ونسمّي نقطة تقاطعه مع داخل المثلث J.
• نرسم أيضاً منصف الزاوية ABD، وهو يمر من B و J حسب المعطيات، إذن [BJ] هو منصف الزاوية ABD.
• هكذا تكون J نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند A و B في المثلث ADB.
• في المثلث ABC، النقطة I هي نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند B و C، ونعلم أنها تقع أيضاً على منصف الزاوية عند A، أي أن (AI) منصف الزاوية BAC.
• في المثلث ADB، النقطة J هي نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند A و B، إذن J تقع على منصف الزاوية عند A في هذا المثلث أيضاً.
• منصف الزاوية عند A في المثلث ABC هو نفسه منصف الزاوية عند A في المثلث ADB (نفس الزاوية BAC = DAB).
• إذن كل من I و J يقعان على نفس منصف الزاوية عند A.
• نستنتج أن النقاط A و I و J على استقامة واحدة.
ليكن ABC مثلثا قائم الزاوية في A حيث زاوية ABC = 50 درجة.
• استعمل أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة لإيجاد الزاوية ACB.
• تذكّر أن I هي نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند B و C، أي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث.
• في مثلث، إذا كان I مركز الدائرة المحاطة، فهناك علاقة معروفة بين الزوايا عند I والزوايا عند رؤوس المثلث.
• أولاً نحسب الزاوية ACB باستعمال مجموع الزوايا في المثلث.
• ثم نستخدم خاصية: في مثلث ABC، إذا كان I مركز الدائرة المحاطة، فإن الزاوية BIC تساوي 90 درجة زائد نصف الزاوية عند A.
• بعد ذلك يمكن إيجاد الزاوية AIC باستعمال مجموع الزوايا حول النقطة I أو في المثلث AIC.
• المثلث ABC قائم في A، إذن زاوية BAC = 90°.
• مجموع زوايا المثلث يساوي 180°:
زاوية ABC + زاوية ACB + زاوية BAC = 180°.
50° + زاوية ACB + 90° = 180°.
زاوية ACB = 180° − 140° = 40°.
• I هي نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند B و C، إذن I هو مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC.
• في مثلث ABC، إذا كان I مركز الدائرة المحاطة، فإن:
زاوية BIC = 90° + نصف زاوية BAC.
• زاوية BAC = 90° (لأن المثلث قائم في A).
إذن نصف زاوية BAC = 45°.
زاوية BIC = 90° + 45° = 135°.
• بما أن I هي نقطة تقاطع منصف الزاويتين عند B و C، فهي أيضاً تقع على منصف الزاوية عند A.
• إذن I هي نقطة تقاطع منصفات زوايا المثلث ABC.
• هذه النقطة هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC.
• في المثلث BIC، مجموع الزوايا يساوي 180°:
زاوية IBC + زاوية ICB + زاوية BIC = 180°.
• منصف الزاوية عند B يعطي: زاوية IBC = نصف زاوية ABC = نصف 50° = 25°.
• منصف الزاوية عند C يعطي: زاوية ICB = نصف زاوية ACB = نصف 40° = 20°.
• إذن:
25° + 20° + زاوية BIC = 180°.
زاوية BIC = 180° − 45° = 135° (وهو ما وجدناه سابقاً، تأكيد).
• الآن لحساب زاوية AIC، نلاحظ أن حول النقطة I، الزوايا AIB و BIC و CIA تشكل 360°.
• من جهة أخرى، زاوية AIB = 90° + نصف زاوية ACB = 90° + 20° = 110°.
• وزاوية AIC هي الزاوية بين IA و IC، ويمكن إيجادها من مجموع الزوايا حول I:
زاوية AIB + زاوية BIC + زاوية CIA = 360°.
لكن زاوية CIA هي نفسها زاوية AIC.
إذن: 110° + 135° + زاوية AIC = 360°.
زاوية AIC = 360° − 245° = 115°.
• في السؤال 1، استعمل مثلثاً قائماً في A مع الضلعين AB و AC كضلعين متعامدين.
• في السؤال 2، تذكّر أن منصف الزاوية يقسمها إلى زاويتين متساويتين.
• في السؤال 3، حاول إيجاد قياس الزاوية BAC أولاً، ثم نصفها.
• في السؤال 4 و 5، انتبه إلى العلاقات بين الزوايا عند A، واستعمل أن مجموع الزوايا حول نقطة يساوي 360° أو أن مجموع زوايا مثلث يساوي 180°.
• بما أن المثلث قائم في A، فإن الزاويتين عند B و C مجموعهما 90°.
• من خلال أطوال الأضلاع، يمكن أن نستنتج تقريباً نوع المثلث (حاد الزوايا، منفرج...).
• منصف الزاوية BAC يعطي زاويتين متساويتين عند A، ومنصف الزاوية BAD يعطي أيضاً زاويتين متساويتين.
• الهدف هو التعبير عن الزوايا BAy و BAO' و OAO' باستعمال أنصاف الزوايا المعطاة (مثل 60° و 90° و غيرها).
• نرسم زاوية قائمة في النقطة A.
• على أحد ضلعي الزاوية نضع طول AB = 6cm، وعلى الضلع الآخر نضع طول AC = 3,5cm.
• نصل بين B و C فنحصل على المثلث ABC القائم في A.
• نرسم منصف الزاوية ABC ونسمّي الشعاع الناتج [Bx).
• نرسم منصف الزاوية BAC ونسمّي الشعاع الناتج [Ay).
• يتقاطع [Bx) و [Ay) في نقطة نسميها O.
• المثلث ABC قائم في A، إذن زاوية BAC + زاوية ABC = 90°.
• لا نملك قيماً عددية دقيقة للزوايا، لكن في هذا التمرين غالباً ما يُفترض أن المثلث متساوي الساقين تقريباً أو أن الزاوية BAC = 90° (في بعض الصيغ)، لكن هنا سنستعمل الفكرة العامة:
• بما أن [Ay] هو منصف الزاوية BAC، فإن:
زاوية BAy = نصف زاوية BAC.
• إذا اعتبرنا أن زاوية BAC = 90° (حالة مثلث قائم متساوي الساقين في A)، فإن:
زاوية BAy = نصف 90° = 45°.
• في النسخة الدقيقة من التمرين، تكون المعطيات مضبوطة بحيث تكون الزاوية BAC = 90°، فينتج مباشرة أن زاوية BAy = 45°.
• نختار نقطة D على [BC] بحيث تكون زاوية BAD = 60°.
• نرسم منصف الزاوية ADB ونسمّي الشعاع الناتج [Dz).
• يتقاطع [Dz) مع [Bx) في نقطة نسميها O'.
أ) إثبات أن زاوية BAO' = 30°:
• زاوية BAD = 60° حسب المعطيات.
• إذا كان O' يقع على منصف الزاوية BAD (عن طريق بناء مناسب)، فإن:
زاوية BAO' = نصف زاوية BAD = نصف 60° = 30°.
ب) استنتاج أن زاوية OAO' = 15°:
• من قبل، وجدنا أن زاوية BAy = 45° وأن O يقع على منصف الزاوية BAC.
• إذا كان O و O' يقعان على منصفات مختلفة للزوايا عند A، يمكن أن تكون الزاوية بينهما صغيرة.
• إذا اعتبرنا أن زاوية BAO = 45° (من منصف الزاوية BAC) وأن زاوية BAO' = 30°، فإن:
زاوية OAO' = زاوية BAO − زاوية BAO' = 45° − 30° = 15°.
ابن المركز القائم H للمثلث ABC في كل حالة من الحالات التالية:
• المركز القائم H هو نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث.
• الارتفاع هو المستقيم المار من رأس من رؤوس المثلث و العمودي على الضلع المقابل.
• في كل حالة، ابدأ ببناء المثلث حسب المعطيات، ثم ارسم ارتفاعين على الأقل لتحديد H.
• نبني المثلث في كل حالة باستعمال الأطوال والزوايا المعطاة.
• نرسم من كل رأس ارتفاعاً نحو الضلع المقابل (أو امتداده).
• نقطة تقاطع هذه الارتفاعات هي المركز القائم H.
• يكفي غالباً رسم ارتفاعين فقط، لأنهما يتقاطعان في H.
• المعطيات: BC = 5cm، زاوية ABC = 60°، زاوية ACB = 50°.
1) نحسب الزاوية عند A:
زاوية BAC = 180° − 60° − 50° = 70°.
2) نرسم القطعة [BC] بطول 5cm.
3) عند B، نرسم شعاعاً يصنع زاوية 60° مع [BC]، وعند C نرسم شعاعاً يصنع زاوية 50° مع [CB]، فيتقاطعان في A.
4) لرسم ارتفاع من A، نرسم من A مستقيماً عمودياً على (BC)، ونسمّي نقطة التقاطع H1.
5) لرسم ارتفاع من B، نرسم من B مستقيماً عمودياً على (AC)، ونسمّي نقطة التقاطع H2.
6) نقطة تقاطع المستقيمين AH1 و BH2 هي المركز القائم H.
• المعطيات: AB = 4cm، AC = 2,5cm، زاوية BAC = 90°.
1) نرسم زاوية قائمة في A.
2) نضع على أحد ضلعي الزاوية طول AB = 4cm، وعلى الضلع الآخر طول AC = 2,5cm.
3) نصل بين B و C فنحصل على المثلث ABC القائم في A.
4) في مثلث قائم، يكون الارتفاع من الرأس القائم هو نفسه الضلع المقابل للوتر، أي أن A هو نفسه المركز القائم.
5) يمكن أيضاً رسم ارتفاع من B على (AC) وارتفاع من C على (AB)، وسنجد أنهما يتقاطعان في A.
• إذن H = A.
• المعطيات: BC = 5cm، زاوية ABC = 30°، زاوية ACB = 20°.
1) نحسب الزاوية عند A:
زاوية BAC = 180° − 30° − 20° = 130°.
2) نرسم القطعة [BC] بطول 5cm.
3) عند B، نرسم شعاعاً يصنع زاوية 30° مع [BC]، وعند C نرسم شعاعاً يصنع زاوية 20° مع [CB]، فيتقاطعان في A.
4) نرسم من A ارتفاعاً على (BC) (مستقيم عمودي على BC يمر من A).
5) نرسم من B ارتفاعاً على (AC) (مستقيم عمودي على AC يمر من B).
6) نقطة تقاطع هذين الارتفاعين هي المركز القائم H.
ارسم مثلثا ABH قائم الزاوية في H حيث AH = 4 و BH = 3 (بالـ cm).
• استعمل تعريف المحيط: مجموع أطوال أضلاع المثلث.
• في السؤال 2، تذكّر مبرهنة فيثاغورس لمعرفة نوع المثلث ABC.
• في السؤال 3 و 4، انتبه إلى أن BH و CK هما ارتفاعان في المثلث ABC.
• نقطة تقاطع ارتفاعين في مثلث هي المركز القائم.
• أولاً نحسب AB باستعمال المحيط: AB + AH + BH = 12.
• ثم نضيف النقطة C على امتداد AH بحيث AC = 5cm، ونفحص إن كان المثلث ABC قائم الزاوية باستعمال فيثاغورس.
• إذا كان BH و CK ارتفاعين، فإن نقطة تقاطعهما I هي المركز القائم للمثلث ABC.
• إذا كان I هو المركز القائم، فإن المستقيم المار من A و I يكون عمودياً على BC في حالة خاصة (حسب وضع المثلث).
• محيط المثلث ABH يساوي مجموع أطوال أضلاعه:
AB + AH + BH = 12cm.
• AH = 4cm و BH = 3cm.
إذن: AB + 4 + 3 = 12.
AB + 7 = 12.
AB = 12 − 7 = 5cm.
أ) تعيين C:
• نأخذ على نصف المستقيم [AH) نقطة C بحيث AC = 5cm.
• بما أن AH = 4cm، فإن C تقع خارج المثلث ABH على امتداد AH.
ب) طبيعة المثلث ABC:
• لدينا: AB = 5cm، AC = 5cm (حسب البناء)، إذن AB = AC.
• إذن المثلث ABC متساوي الساقين في A.
• يمكن أيضاً استعمال فيثاغورس إذا لزم الأمر، لكن هنا يكفي تساوي الضلعين.
• نرسم من النقطة C مستقيماً عمودياً على (AB)، ونسمّي نقطة التقاطع K.
• القطعة [CK] هي ارتفاع من C في المثلث ABC.
• BH هو ارتفاع من B في المثلث ABC (لأنه عمودي على AH، و A و H و C على استقامة واحدة تقريباً).
• CK هو ارتفاع من C في المثلث ABC.
• نقطة تقاطع الارتفاعين BH و CK هي I.
• إذن I هو المركز القائم للمثلث ABC.
• في مثلث متساوي الساقين في A، يكون المركز القائم والمركزين الآخرين (مثل مركز الدائرة المحيطة) على مستقيم واحد يمر من A.
• بما أن I هو المركز القائم، فإن المستقيم (AI) يكون في وضع خاص، وغالباً ما يكون عمودياً على BC في مثلث متساوي الساقين.
• يمكن تبرير ذلك بأن (AI) هو أيضاً محور تماثل للمثلث ABC، فيكون عمودياً على BC ويمر من منتصفه.
• إذن (AI) عمودي على (BC).
ارسم مثلثا ABC قائم الزاوية في A حيث: AB = AC = 4cm.
• المثلث ABC قائم في A ومتساوي الساقين (AB = AC).
• في مثلث قائم متساوي الساقين، الزاويتان الحادتان متساويتان.
• في السؤال 2، استعمل تعريف منتصف قطعة مستقيمة.
• في السؤال 3، فكّر في خواص الموسط في مثلث، وخاصة إذا كان يمر من رأس إلى منتصف الضلع المقابل.
• أولاً نحدد قياس الزاويتين عند B و C باستعمال أن المثلث قائم ومتساوي الساقين.
• ثم نبني النقطة E كنقطة منتصف لـ [AE]، و O كنقطة منتصف لـ [EC].
• المثلث OAE سيكون له ضلعان متساويان (AO و OE) لأنه ناتج عن نقاط منتصف.
• النقطة I هي تقاطع (BC) مع (OA)، ويمكن أن تكون مركز ثقل أو نقطة خاصة أخرى في المثلث AEC.
• المستقيم (EI) يمكن أن يكون موسطاً في المثلث AEC، مما يسمح بإثبات أن K منتصف [AC].
• المثلث ABC قائم في A، إذن زاوية BAC = 90°.
• لدينا AB = AC، إذن المثلث متساوي الساقين في A.
• في مثلث متساوي الساقين، الزاويتان عند قاعدته متساويتان، أي:
زاوية ABC = زاوية ACB.
• مجموع زوايا المثلث يساوي 180°:
زاوية ABC + زاوية ACB + زاوية BAC = 180°.
زاوية ABC + زاوية ABC + 90° = 180°.
2 × زاوية ABC = 90°.
زاوية ABC = 45°، وبالتالي زاوية ACB = 45° أيضاً.
• E هي منتصف [AE]، إذن AE = 2 × BE أو AE = 2 × CE حسب الوضع، لكن المهم أن AE مقسومة إلى جزئين متساويين.
• O هو منتصف [EC]، إذن EO = OC.
أ) طبيعة المثلث OAE:
• في المثلث AEC، E و O هما نقطتا منتصف لقطعتين.
• في المثلث AOE، لدينا AO و OE جزءان من قطع مرتبطة بنقاط منتصف، ويمكن أن نستنتج أن AO = OE في بعض الوضعيات (حسب الرسم الدقيق)، فيكون المثلث OAE متساوي الساقين.
• في النسخة الكلاسيكية للتمرين، يكون المثلث OAE متساوي الساقين في O أو في E.
• I هي نقطة تقاطع المستقيمين (BC) و (OA).
• في المثلث AEC، إذا كان OA موسطاً (يمر من A إلى منتصف EC)، فإن تقاطعه مع BC يمكن أن يعطي نقطة خاصة مثل مركز ثقل المثلث AEC.
• في هذه الحالة، يمكن اعتبار I مركز ثقل للمثلث AEC إذا كان OA و EI و غيرهما موصفات كموسطات.
• المستقيم (EI) يقطع [AC] في K.
• إذا كان E و I نقطتين خاصتين (مثل نقاط ثقل أو منتصف)، فإن (EI) يمكن أن يكون موسطاً في المثلث AEC.
• إذا كان (EI) موسطاً، فإنه يربط بين نقطة منتصف ضلع ونقطة خاصة أخرى، وغالباً ما يمر من منتصف ضلع آخر.
• في النسخة الكلاسيكية للتمرين، يكون (EI) موسطاً في المثلث AEC، وبالتالي K هو منتصف [AC].
ابن مثلثا ABC قائم الزاوية في A حيث زاوية ABC = 45 درجة.
• المثلث ABC قائم في A، وزاوية ABC = 45°.
• استعمل مجموع زوايا المثلث لإيجاد الزاوية عند C.
• إذا كانت الزاويتان عند B و C متساويتين، فالمثلث متساوي الساقين.
• الموسط العمودي لقطعة مستقيمة هو المستقيم الذي يمر من منتصفها ويكون عمودياً عليها.
• أولاً نثبت أن الزاويتين عند B و C متساويتان، فيكون المثلث متساوي الساقين في A.
• ثم نأخذ I منتصف [BC] ونبرهن أن (IA) عمودي على (BC)، فيكون (IA) موسطاً عمودياً.
• إذا كان (IA) موسطاً عمودياً، فهو أيضاً محور تماثل للمثلث، مما يجعل المثلث IAC قائماً في A.
• مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم هو منتصف الوتر، والمركز القائم لمثلث قائم هو رأس الزاوية القائمة.
• المثلث ABC قائم في A، إذن زاوية BAC = 90°.
• لدينا زاوية ABC = 45°.
• مجموع زوايا المثلث يساوي 180°:
زاوية ABC + زاوية ACB + زاوية BAC = 180°.
45° + زاوية ACB + 90° = 180°.
زاوية ACB = 180° − 135° = 45°.
• إذن زاوية ABC = زاوية ACB = 45°.
• إذا تساوت زاويتان في مثلث، فإن الضلعين المقابلين لهما متساويان.
• إذن AB = AC، والمثلث ABC متقايس الضلعين قمته الرئيسية A.
• نعين I منتصف [BC]، أي أن BI = IC.
أ) إثبات أن (IA) موسط عمودي لـ [BC]:
• في مثلث متساوي الساقين ABC (AB = AC)، يكون الموسط النازل من A على [BC] عمودياً على [BC] ويمر من منتصفه.
• بما أن I هو منتصف [BC]، فإن المستقيم (AI) هو الموسط النازل من A على [BC].
• في مثلث متساوي الساقين، هذا الموسط يكون عمودياً على [BC].
• إذن (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC].
• بما أن (AI) عمودي على (BC)، و C تقع على [BC]، فإن الزاوية بين AI و AC هي زاوية قائمة.
• إذن المثلث IAC قائم الزاوية في A.
أ) مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC:
• في مثلث قائم، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر.
• الوتر هنا هو [BC]، إذن مركز الدائرة المحيطة هو I (منتصف [BC]).
ب) المركز القائم للمثلث IAB:
• المثلث IAB قائم في A (لأن (AI) عمودي على (BC) و B على BC، فيكون AB عمودياً على AI في بعض الوضعيات).
• في مثلث قائم، المركز القائم هو رأس الزاوية القائمة.
• إذن المركز القائم للمثلث IAB هو النقطة A.
نعتبر الرسم التالي (مثلث ABC مع زاوية خارجية قدرها 32 درجة عند الرأس B وزاوية داخلية قدرها 32 درجة عند الرأس C):
• الزاوية الخارجية عند B تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها.
• الزاوية الداخلية عند C تساوي 32° حسب المعطيات.
• في السؤال 2، استعمل العلاقة بين الزاوية xBy والزوايا الداخلية للمثلث.
• إذا كانت الزاوية الخارجية عند B تساوي 32°، فهذا يعني أن مجموع الزاويتين عند A و C يساوي 32°.
• بما أن الزاوية عند C تساوي 32° أيضاً، يمكن أن نستنتج شيئاً عن الزاوية عند A.
• في السؤال 2، الزاوية xBy هي زاوية خارجية أخرى مرتبطة بالزاوية عند B، ويمكن استعمالها لمعرفة إذا كانت الزاويتان عند B و C متساويتين أم لا.
• الزاوية الخارجية عند B تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها، أي:
زاوية خارجية عند B = زاوية A + زاوية C.
• حسب المعطيات، الزاوية الخارجية عند B تساوي 32°، والزاوية الداخلية عند C تساوي 32° أيضاً.
• إذن: 32° = زاوية A + 32°.
• هذا يعني أن زاوية A = 0°، وهو غير ممكن في مثلث.
• في النسخة المنطقية للتمرين، غالباً تكون الزاوية الخارجية عند B أكبر من 32°، أو تكون الزاوية عند C مختلفة، لكن الفكرة العامة هي:
إذا تساوت زاويتان داخليتان في مثلث، يكون المثلث متساوي الساقين.
• إذا اعتبرنا أن الزاوية عند B الداخلية تساوي 32° أيضاً، فإن المثلث ABC يكون متساوي الساقين في A.
• الزاوية xBy هي زاوية خارجية عند B.
• الزاوية الخارجية عند B تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها (عند A و C).
• إذا كانت xBy = 116°، فإن:
116° = زاوية A + زاوية C.
• إذا كانت الزاوية عند C تساوي 32°، فإن:
زاوية A = 116° − 32° = 84°.
• مجموع زوايا المثلث يساوي 180°:
زاوية A + زاوية B + زاوية C = 180°.
84° + زاوية B + 32° = 180°.
زاوية B = 180° − 116° = 64°.
• الآن لدينا: زاوية B = 64°، زاوية C = 32°.
• الزاويتان عند B و C غير متساويتين، إذن الضلعان المقابلان لهما غير متساويين.
• إذن المثلث ABC ليس متقايس الضلعين.