السؤال 1:
• استعمل مجموع زوايا المثلث لإيجاد الزاوية عند G.
• ارسم أولا القطعة [EF]، ثم الزاويتين عند E و F للحصول على G.
السؤال 2 و 3:
• زاوية مجاورة ومقايسة تعني: لها نفس القياس وتشارك نفس الضلع.
• عند F: نبني زاوية GFx تساوي 20° (نفس قياس EFG) ومجاورة لها.
• عند E: نبني زاوية GEy تساوي 30° (نفس قياس FEG) ومجاورة لها.
السؤال 4:
• لاحظ أن (Fx) هو منصف للزاوية بين FG و امتداد FE، و (Ey) منصف للزاوية بين EG و امتداد EF.
• نريد إثبات أن G هو مركز الدائرة المحاطة بالمثلث EFH، أي أن G تقاطع منصفات زوايا المثلث EFH.
• الفكرة الأساسية: مركز الدائرة المحاطة بمثلث هو نقطة تقاطع منصفات زواياه الداخلية.
• عندما نبني زوايا مجاورة ومقايسة، نحصل على زوايا متساوية على جانبي ضلع مشترك، وهذا يعطينا منصفات زوايا في مثلث جديد.
• نريد أن نبرهن أن G تنتمي إلى منصف الزاوية عند F في المثلث EFH، وكذلك إلى منصف الزاوية عند E في المثلث EFH.
• إذا تحقق ذلك، فإن G هي تقاطع منصفين في المثلث EFH، إذن هي مركز الدائرة المحاطة به.
1) بناء المثلث EFG:
• نحسب الزاوية عند G:
زاوية FEG + زاوية EFG + زاوية EGF = 180°.
30° + 20° + زاوية EGF = 180°.
زاوية EGF = 180° − 50° = 130°.
• نرسم القطعة [EF] بطول 5cm.
• عند E نرسم شعاعاً يصنع 30° مع [EF].
• عند F نرسم شعاعاً يصنع 20° مع [FE].
• يتقاطع الشعاعان في G، فنحصل على المثلث EFG.
2) بناء الزاوية GFx:
• الزاوية EFG قياسها 20°.
• نريد زاوية GFx مجاورة ومقايسة لها، أي:
زاوية GFx = 20°، وتشترك مع الزاوية EFG في الضلع [FG].
• نرسم من F شعاعاً Fx على الجهة الأخرى من FG بحيث تكون الزاويتان EFG و GFx متجاورتين ومتساويتين.
3) بناء الزاوية GEy:
• الزاوية FEG قياسها 30°.
• نريد زاوية GEy مجاورة ومقايسة لها، أي:
زاوية GEy = 30°، وتشترك مع FEG في الضلع [GE].
• نرسم من E شعاعاً Ey على الجهة الأخرى من GE بحيث تكون الزاويتان FEG و GEy متجاورتين ومتساويتين.
4) تفسير أن G مركز الدائرة المحاطة بالمثلث EFH:
• المستقيم (Fx) يمر من F ويقسم الزاوية بين FG و امتداد FE إلى زاويتين متساويتين (لأن GFx مقايسة لـ EFG).
• في المثلث EFH، الزاوية عند F هي الزاوية بين FE و FH.
• بما أن H هي تقاطع (Fx) و (Ey)، فإن FH جزء من (Fx)، وFE ضلع من المثلث.
• إذن (FG) هو منصف للزاوية عند F في المثلث EFH.
• بنفس الطريقة، المستقيم (Ey) يمر من E ويقسم الزاوية بين EG و امتداد EF إلى زاويتين متساويتين.
• في المثلث EFH، الزاوية عند E هي الزاوية بين EH و EF، وEH جزء من (Ey).
• إذن (EG) هو منصف للزاوية عند E في المثلث EFH.
• النتيجة: G تنتمي إلى منصف الزاوية عند F ومنصف الزاوية عند E في المثلث EFH.
• إذن G هي نقطة تقاطع منصفين لزوايا المثلث EFH، أي أنها مركز الدائرة المحاطة بالمثلث EFH.
نعتبر الرسم التالي حيث ABC مثلث و الزاوية CBx مجاورة ومقايسة للزاوية ABC. (AC) و (Bx) يتقاطعان في D. [Ay] منصف الزاوية BAC يقطع (BC) في I.
• الزاوية CBx مجاورة ومقايسة للزاوية ABC، إذن قياسهما متساوٍ.
• المستقيم (Bx) يشكل مع (BC) زاويتين متساويتين: واحدة داخل المثلث (ABC) وواحدة خارجه.
• D هي نقطة تقاطع (AC) مع (Bx)، إذن D خارج المثلث غالباً.
• [Ay] منصف الزاوية BAC، و I نقطة تقاطعه مع (BC).
• نريد أن نثبت أن I مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABD، أي أن I تقاطع منصفات زواياه.
• الفكرة: استعمال الزوايا المتقايسة والمجاورة لإثبات أن I تقع على منصفات زوايا المثلث ABD.
• بما أن [Ay] منصف الزاوية BAC، فهو أيضاً منصف للزاوية بين BA و AD (لأن D على AC).
• وبما أن الزاوية CBx مقايسة للزاوية ABC، فإن (Bx) يلعب دور منصف للزاوية الخارجية عند B، مما يعطي علاقة مع الزاوية ABD.
• إذا أثبتنا أن I تنتمي إلى منصف الزاوية عند A في المثلث ABD، وإلى منصف الزاوية عند B في المثلث ABD، فهي مركز الدائرة المحاطة به.
1) إثبات أن I مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABD:
• أولاً، نلاحظ أن D تنتمي إلى (AC)، إذن الزاوية BAD هي جزء من الزاوية BAC.
• بما أن [Ay] منصف الزاوية BAC، فإن:
زاوية BAY = زاوية YAC.
• بما أن D على AC، فإن الزاوية YAD جزء من الزاوية YAC.
• إذن المستقيم (AI) (نفسه (Ay)) هو منصف للزاوية BAD في المثلث ABD.
• ثانياً، الزاوية CBx مجاورة ومقايسة للزاوية ABC، أي:
زاوية CBx = زاوية ABC.
• المستقيم (Bx) يشكل زاويتين متساويتين مع (BC) و (BA) (واحدة داخلية وواحدة خارجية)، مما يجعله منصفاً للزاوية بين BA و BD في المثلث ABD.
• بما أن I تنتمي إلى (BC) و (Ay)، فهي تقع على منصف الزاوية عند A، كما رأينا.
• كما أن I تنتمي إلى (BC)، الذي يشكل مع (Bx) زاويتين متساويتين، مما يجعل I على منصف الزاوية عند B في المثلث ABD.
• إذن I تقاطع منصف الزاوية عند A ومنصف الزاوية عند B في المثلث ABD.
• من خاصية منصفات زوايا المثلث: نقطة تقاطع منصفين هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث.
• إذن I مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABD.
2) استنتاج أن زاوية ADI = زاوية BDI:
• بما أن I مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABD، فإن I تقاطع منصفات زواياه الثلاث.
• إذن (DI) هو منصف الزاوية عند D في المثلث ABD.
• من تعريف منصف الزاوية:
زاوية ADI = زاوية BDI.
أرسم مثلثا ABC متقايس الأضلاع ثم عين نقطة D من نصف المستقيم (AB] حيث AB أصغر من AD.
• المثلث ABC متقايس الأضلاع: جميع الأضلاع متساوية، وجميع الزوايا تساوي 60°.
• في مثلث متقايس الأضلاع، منصفات الزوايا، والارتفاعات، والموسطات، والمحاور العمودية كلها منطبقة.
• مركز الدائرة المحاطة بالمثلث المتقايس الأضلاع هو أيضاً مركز الدائرة المحيطة به.
• D على نصف المستقيم (AB] مع AD أكبر من AB، إذن D خارج المثلث على امتداد AB.
• نريد ربط I و J و A باستعمال خصائص التناظر والمحاور العمودية.
• الفكرة الأولى: في مثلث متقايس الأضلاع، المستقيم المار من رأس وقاعدة المقابل هو في نفس الوقت منصف زاوية، وارتفاع، وموسط، ومحور عمودي.
• إذن (AI) في المثلث ABC هو موسط عمودي لـ [BC].
• الفكرة الثانية: في المثلث BDC، بما أن D على امتداد AB، فإن J سيكون على نفس المستقيم الذي يمر من A و I (محور التناظر).
• نستخدم أن J مركز الدائرة المحاطة بالمثلث BDC، وأن هذا المثلث يشترك مع ABC في القاعدة [BC]، لكن مع رأس D على امتداد A.
1 أ) بناء النقطة I:
• نرسم مثلثاً ABC متقايس الأضلاع (مثلاً باختيار طول AB، ثم بناء الزاويتين 60° عند A و B).
• لبناء مركز الدائرة المحاطة، نرسم منصف زاوية واحدة فقط (مثلاً عند A) ومنصف زاوية أخرى (مثلاً عند B).
• يتقاطع المنصفان في نقطة I.
• هذه النقطة I هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث ABC.
1 ب) تفسير أن (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC]:
• في المثلث المتقايس الأضلاع ABC، منصفات الزوايا والارتفاعات والموسطات والمحاور العمودية كلها منطبقة.
• المستقيم (AI) هو منصف الزاوية عند A.
• إذن (AI) هو أيضاً ارتفاع من A على [BC]، أي أنه عمودي على (BC).
• كما أنه يمر من منتصف [BC]، إذن هو موسط لـ [BC].
• النتيجة: (AI) هو الموسط العمودي للضلع [BC].
2) بناء النقطة J:
• نعتبر المثلث BDC.
• لبناء مركز الدائرة المحاطة به، نرسم منصفين لزواياه (مثلاً عند B و C).
• يتقاطع منصفا الزاويتين عند B و C في نقطة نسميها J.
• هذه النقطة J هي مركز الدائرة المحاطة بالمثلث BDC.
3) استنتاج أن A و I و J على استقامة واحدة:
• نلاحظ أن المثلثين ABC و BDC يشتركان في القاعدة [BC].
• في المثلث ABC، (AI) هو الموسط العمودي لـ [BC].
• في المثلث BDC، بما أن D على امتداد A، فإن محور التناظر الذي يمر من A و I هو نفسه الذي يكون موسطاً عمودياً لـ [BC] أيضاً.
• مركز الدائرة المحاطة بالمثلث BDC (النقطة J) يجب أن يكون على الموسط العمودي لـ [BC] أيضاً.
• إذن J تنتمي إلى نفس المستقيم الذي يمر من A و I.
• النتيجة: النقاط A و I و J على استقامة واحدة.