وفق منهج السنة السابعة أساسي - تونس[span_0](end_span)[span_1](end_span)[span_2](end_span)
[span_3](start_span)
التمرين رقم 5[span_3](end_span)
نعتبر زاوية $[OX, OY)$ ونقطة $M$ من منصفها $[OZ)$. المستقيم المار من $M$ والعمودي على $(OZ)$ يقطع $(OX)$ في $A$ و $(OY)$ في $B$. [span_4](start_span)المستقيم المار من $A$ والعمودي على $(OX)$ والمستقيم المار من $B$ والعمودي على $(OY)$ يتقاطعان في $P$.[span_4](end_span)
(3) [span_5](start_span)بين أن $P$ تنتمي إلى المنصف $[OZ)$ للزاوية $[OX, OY)$.[span_5](end_span)
البرهان:
1. [span_6](start_span)لنقارن المثلثين القائمين $OAP$ و $OBP$:[span_6](end_span)
- [span_7](start_span)لدينا $[OP]$ وتر مشترك.[span_7](end_span)
- [span_8](start_span)لدينا $OA = OB$ (لأن المثلث $OAB$ متقايس الضلعين قمته $O$ كما بُرهن سابقاً).[span_8](end_span)
2. [span_9](start_span)إذن يتقايس المثلثان القائمان $OAP$ و $OBP$ (حسب حالة: وتر وضلع قائم).[span_9](end_span)
3. [span_10](start_span)وينتج عن هذا التقايس أن $\widehat{AOP} = \widehat{BOP}$.[span_10](end_span)
4. [span_11](start_span)بما أن النقطة $P$ تقع داخل الزاوية و $\widehat{AOP} = \widehat{BOP}$، فإن $[OP)$ هو منصف الزاوية $\widehat{XOY}$.[span_11](end_span)
5. [span_12](start_span)وبالتالي النقطة $P$ تنتمي إلى المنصف $[OZ)$.[span_12](end_span)
[span_13](start_span)
التمرين رقم 8[span_13](end_span)
ABC مثلث قائم الزاوية في $A$. منصف الزاوية $[BA, BC]$ يقطع $[AC]$ في $D$. [span_14](start_span)المستقيم المار من $D$ والعمودي على $(BC)$ يقطع $(BC)$ في $E$ و $(AB)$ في $F$.[span_14](end_span)
(3) [span_15](start_span)بين أن $M$ (نقطة تقاطع العمودي من $C$ على $(BC)$ والعمودي من $F$ على $(AB)$) تنتمي إلى المنصف $[BD)$.[span_15](end_span)
البرهان:
1. [span_16](start_span)لنقارن المثلثين القائمين $BCM$ و $BFM$:[span_16](end_span)
- [span_17](start_span)لدينا $[BM]$ وتر مشترك.[span_17](end_span)
- [span_18](start_span)لدينا $BC = BF$ (لأن المثلثين القائمين $ABC$ و $EBF$ متقايسان حسب ضلع زاوية وقائمة مجاورة).[span_18](end_span)
2. [span_19](start_span)إذن يتقايس المثلثان القائمان $BCM$ و $BFM$ (وتر وضلع قائم).[span_19](end_span)
3. [span_20](start_span)ومنه نستنتج أن المسافة من $M$ إلى $(BC)$ (وهي $MC$) تساوي المسافة من $M$ إلى $(BF)$ (وهي $MF$).[span_20](end_span)
4. [span_21](start_span)بما أن $M$ تبعد نفس البعد عن ضلعي الزاوية $\widehat{ABC}$ ($MC = MF$ مع التعامد)، فإنها تنتمي إلى منصفها.[span_21](end_span)
5. [span_22](start_span)إذن $M$ تنتمي إلى المنصف $[BD)$.[span_22](end_span)
[span_23](start_span)
التمرين رقم 9[span_23](end_span)
نعتبر زاوية $[AX, AY)$. منصفا الزاويتين $\widehat{ABC}$ و $\widehat{ACB}$ يتقاطعان في $I$. [span_24](start_span)[span_25](start_span)المسافات العمودية من $I$ إلى $(AX)$ و $(BC)$ و $(AY)$ هي $IH$ و $IK$ و $IL$.[span_24](end_span)[span_25](end_span)
أ) بين أن $IH = IL$. [span_26](start_span)ب) استنتج أن $[AI)$ منصف الزاوية $\widehat{BAC}$.[span_26](end_span)
البرهان:
1. [span_27](start_span)[span_28](start_span)بما أن $I$ تنتمي إلى منصف الزاوية $\widehat{ABC}$، فإن $I$ تبعد نفس البعد عن $(AB)$ و $(BC)$، أي أن $IH = IK$.[span_27](end_span)[span_28](end_span)
2. [span_29](start_span)[span_30](start_span)وبما أن $I$ تنتمي إلى منصف الزاوية $\widehat{ACB}$، فإن $I$ تبعد نفس البعد عن $(AC)$ و $(BC)$، أي أن $IL = IK$.[span_29](end_span)[span_30](end_span)
3. [span_31](start_span)من (1) و (2) نستنتج أن $IH = IL$.[span_31](end_span)
4. [span_32](start_span)بما أن النقطة $I$ تبعد نفس البعد عن ضلعي الزاوية $\widehat{XAY}$ ($IH = IL$ والمسافات عمودية)، فإن $I$ تنتمي إلى منصف هذه الزاوية حسب الخاصية العكسية.[span_32](end_span)
5. [span_33](start_span)إذن $[AI)$ هو منصف الزاوية $\widehat{BAC}$.[span_33](end_span)