Fichier étudié : Puissance_9_part1 (1).pdf
Objectif : fournir une page HTML très détaillée recensant les notions,
les types d’expressions et les formes d’exercices visibles dans le document.
Le document est centré sur les propriétés des puissances dans l’ensemble des nombres réels. Il mêle révision de règles, calcul direct, simplification, écriture sous forme d’une seule puissance, écriture sous forme de puissance de 10, et quelques questions de preuve.
| # | Notion | Description | Exemples vus dans le fichier |
|---|---|---|---|
| 1 | Produit de puissances de même base | Utiliser am × an = am+n. | 5² × 5⁴ ; 7⁹ × 7⁻⁸ × 7⁻³ ; (−3)⁻⁷ × (−3)⁻⁴ |
| 2 | Quotient de puissances de même base | Utiliser am / an = am−n avec a ≠ 0. | 5⁷ / 5³ ; 7⁴ / 7³ ; 23⁻¹⁴ / 23⁻²¹ |
| 3 | Puissance d’une puissance | Utiliser (am)n = amn. | (12⁷)³ ; (3⁻²)⁷ ; [((−2)⁴)⁻³] ; [((−5)⁻⁷)⁻¹] |
| 4 | Puissance d’un quotient | Utiliser (a/b)n = an/bn. | (2/√3)⁻⁴ ; (√8 / 9)⁴ ; (7/√3)⁻⁴ |
| 5 | Exposant négatif | Utiliser a−n = 1 / an. | 5⁻³ ; 7⁻² ; (√5)⁻⁷ ; π⁻⁵ ; 10⁻⁶ |
| 6 | Exposant nul | Utiliser a0 = 1 avec a ≠ 0. | (−√17)⁰ ; (√2)⁰ ; 5⁰ |
| 7 | Gestion du signe avec base négative | Étudier l’effet de la parité de l’exposant sur le signe. | (−√7)³²¹ ∈ ℝ⁻ ; (−√11)¹⁹²⁸ ∈ ℝ⁺ ; (−3)⁹ / (−3)⁶ |
| 8 | Appartenance à ℝ⁺ ou ℝ⁻ | Décider si une puissance ou expression est positive ou négative. | (−√7)³²¹ ; (−√3)⁴⁴ ; (−√11)¹⁹²⁸ ; ((−√3)/π)⁰ |
| 9 | Calcul direct d’expressions numériques | Évaluer des expressions composées de puissances, racines et fractions. | A, B, C, D… sur presque toutes les pages |
| 10 | Simplification d’expressions complexes | Réduire une écriture longue en utilisant les règles des puissances. | M, N, O, P, Q… ; E, F, G, H… |
| 11 | Écriture sous forme d’une seule puissance | Transformer un produit/quotient en an. | 7⁻³ × π⁶ ; (√3)⁻⁵ / (√3)⁴ ; (π⁻²)⁻³ × π⁵ |
| 12 | Écriture sous forme d’une puissance de 10 | Ramener les expressions décimales et fractions décimales à 10n. | 0,2364 × 10⁴ ; 5,69 × 10⁻³ ; 53 × 10⁻² ; 24682,54 = … × 10⁶ |
| 13 | Écriture scientifique / décimaux | Manipuler 0,001 ; 0,01 ; 100 ; 1000 ; 10000 sous forme de puissances de 10. | (0,001)⁻⁴ ; (1/100)⁻³ ; 10⁵ ; 10⁻² ; 10⁻⁴ |
| 14 | Puissances avec base radicale | Utiliser les puissances de √2, √3, √5, √7, √11… | (√2)⁶ × (√5)⁶ ; (√7)¹⁷ × (√7)⁻⁹ ; (√3 / √5)⁻⁶ |
| 15 | Puissances mêlant radicaux et rationnels | Écrire ou calculer des expressions où la base est fractionnaire et irrationnelle. | (√5 / 2)⁻⁵ × 5/2 ; (3/√11)¹² × (√3/√11)⁻¹² |
| 16 | Puissances mêlant π | Manipuler des produits et quotients contenant π. | π⁻³ ; π⁵ × (1/√π)⁵ ; π³ / π⁻⁵ ; 25π² |
| 17 | Écriture en puissance d’un entier naturel | Réécrire certaines expressions comme puissance d’un entier naturel. | (√27)⁴ × (√3)⁻⁵ ; 7¹⁰ × (√7)⁻⁴ × (√7)⁻⁸ |
| 18 | Variables non nulles : simplification algébrique | Simplifier des expressions en a, b, x, y sous hypothèse de non-nullité. | E(a,b) ; A(x,y) ; expressions avec a⁻¹, b⁻¹, ab, a+b |
| 19 | Preuves d’identités | Montrer qu’une expression se simplifie vers une autre forme. | Montrer que G et H sont réciproques ; montrer une identité avec (a⁻¹+b⁻¹)⁻¹ |
| 20 | Calcul sous hypothèse numérique | Après simplification littérale, remplacer a, b, x, y par des valeurs données. | Calculer E pour a=20, b=5 ; calculer A pour x=−1, y=−2 |
| 21 | Compléter des égalités | Trouver l’exposant manquant ou le nombre manquant. | (√3)… × 3⁷ = (√3)⁵ ; [ (√2)⁵ ]… = 2²⁵ |
| 22 | Traduction entre racine et puissance | Utiliser √a = a1/2 et ses conséquences. | (√7)⁻² ; (2√2)³ ; (9√11)⁻³ × (3√11)⁵ |
| 23 | Manipulation de fractions imbriquées | Simplifier des expressions où des puissances apparaissent au numérateur et au dénominateur. | ((10⁻²)³ × 10⁵) / ((0,001)² × 1000) |
| 24 | Comparaison implicite de formes équivalentes | Même si le chapitre est sur les puissances, certaines questions obligent à reconnaître des formes équivalentes avant calcul. | 625/16 × (2/5)⁷ ; 4√2 / 3⁵ ; 27/(2√2) |
| 25 | Travail en cascade | Écrire d’abord sous forme d’une puissance, puis calculer, puis conclure. | Plusieurs séries A–B–C–D–E sur les pages 5 à 13 |
| # | Famille d’expression | Exemples représentatifs du fichier | Notion dominante |
|---|---|---|---|
| 1 | Produit simple, même base | 5²×5⁴ ; 4⁻³×4⁸ ; 7⁹×7⁻⁸×7⁻³ | Somme des exposants |
| 2 | Produit de bases négatives identiques | (−3)⁻⁷×(−3)⁻⁴ ; (−6)⁻⁷×(−6)² ; (−8)²×(−8)⁵×(−8)⁻¹ | Somme des exposants + signe |
| 3 | Quotients simples | 5⁷/5³ ; 7⁴/7³ ; 2⁻³/2³ ; 23⁻¹⁴/23⁻²¹ | Différence des exposants |
| 4 | Quotients avec base négative | (−5)⁶/(−5)⁻¹⁶ ; (−6)⁻⁶/(−6)⁻¹ ; (−1)⁻¹²/(−1)⁻⁸ | Quotient de puissances |
| 5 | Puissance d’une puissance, base entière | (12⁷)³ ; (3⁻²)⁷ ; (8⁻⁸)⁸ | Produit des exposants |
| 6 | Puissance d’une puissance, base négative | [(−5)⁻⁷]⁻¹ ; [((−9)⁻⁷)⁻²] ; [((−2)⁴)⁻³] | Produit des exposants + signe |
| 7 | Base fractionnaire | (2/√3)⁻⁴ ; (3/2)⁵ ; (5/√3)³ ; (1/3)⁻² | Puissance d’un quotient |
| 8 | Base radicale simple | (√2)⁻³ ; (√7)¹⁷×(√7)⁻⁹ ; (√3/√5)⁻⁶ | Racine comme puissance 1/2 |
| 9 | Base radicale composée | (2√2)³ ; (3√11)⁵ ; (9√11)⁻³ | Réécriture préalable puis puissances |
| 10 | Expressions avec puissances et radicaux mélangés | (√5)⁻² + [3(√2)⁻¹]⁻² ; (√2)⁶×(√5)⁶ ; 25√5 / 49√7 | Simplification globale |
| 11 | Expressions contenant π | 7⁻³×π⁶ ; (π⁻²)⁻³×π⁵ ; π⁵(1/√π)⁵ ; 25π² | Règles sur même base π |
| 12 | Sommes ou différences de puissances | 3²+2² ; 2⁻³+2² ; (−3)+3(√2)³+(√3)² | Calcul d’expression, pas simple fusion |
| 13 | Produits/quotients à plusieurs niveaux | ((10⁻²)³×10⁵)/((0,001)²×1000) | Réduction globale |
| 14 | Écriture en puissance de 10 à partir de décimaux | 0,2364×10⁴ ; 5,69×10⁻³ ; 53×10⁻² ; 0,0001×10⁻¹ | Puissances de 10 |
| 15 | Équivalences décimales à compléter | 2,85 = 285×… ; −0,00653×10⁷ = −6,53×… | Changement d’écriture décimale |
| 16 | Calcul de constantes exactes | (126−5³)²⁰¹⁰ ; (2008+√π)⁰ | Exposant nul / simplification directe |
| 17 | Expressions littérales en a,b | E = ((a⁻¹b²…)/(a b …)) | Simplification littérale |
| 18 | Expressions littérales en x,y | A(x,y) avec x,y ≠ 0 ; calcul pour x=−1, y=−2 | Simplification puis substitution |
| 19 | Expressions visant la réciprocité | Montrer que G et H sont مقلوبان | Inverse multiplicatif |
| 20 | Produits et quotients de puissances de 10 | 10⁵×(2×10⁻¹)³ ; 10⁻³×(0,001)⁻¹ | Calcul scientifique |
| 21 | Expressions à preuve structurée | (a⁻¹+b⁻¹)⁻¹ = ab/(a+b) | Identité algébrique |
| 22 | Expressions avec numérateur et dénominateur puissances de mêmes bases différentes | (35)⁻⁷×(75)⁻⁴ / ((21)⁻⁵×(25)⁻⁷) | Décomposition factorisée |
| 23 | Expressions de type “écrire en une seule puissance” | (√5)⁻³×(−5)¹³ ; (10/9)²⁰×[(10/9)⁻³]⁵ | Réduction de l’écriture |
| 24 | Expressions menant à un entier naturel | (√27)⁴×(√3)⁻⁵ ; 7¹⁰×(√7)⁻⁴×(√7)⁻⁸ | Base naturelle finale |
| 25 | Expressions mixtes décimales + puissances + racines | 0,0002×10⁶ / (√2×10⁻⁴) ; 0,25×10⁻⁵ / (√5×10⁻⁴) | Simplification complète |
| Forme d’exercice | Ce que l’élève doit faire | Exemples représentatifs |
|---|---|---|
| Compléter par l’exposant manquant | Retrouver l’exposant ou la forme manquante à partir d’une règle. | (√3)…×3⁷=(√3)⁵ ; [(√2)⁵]…=2²⁵ |
| Calculer | Donner la valeur finale d’une expression. | A, B, C, D, E, F… sur plusieurs pages |
| Simplifier | Réduire une expression au maximum. | M, N, O, P, Q… ; e, f, g… |
| Écrire sous forme d’une puissance d’un réel | Transformer une écriture complexe en an. | 7⁻³×π⁶ ; (π⁻²)⁻³×π⁵ ; (√5)⁻³×(−5)¹³ |
| Écrire sous forme de puissance de 10 | Ramener décimaux et fractions décimales à 10n. | 0,2364×10⁴ ; 53×10⁻² ; 0,001 ; 1000 ; 10000 |
| Décider l’appartenance à ℝ⁺ ou ℝ⁻ | Étudier le signe d’une puissance. | (−√7)³²¹ ; (−√11)¹⁹²⁸ ; (−√3)⁴⁴ |
| Montrer / prouver | Établir une identité ou une relation. | Montrer que G et H sont réciproques ; montrer une forme simplifiée |
| Substituer des valeurs | Après simplification, calculer pour des valeurs données. | a=20, b=5 ; x=−1, y=−2 |
| Puissances avec variables non nulles | Simplifier littéralement avec a,b,x,y ≠ 0. | E(a,b), A(x,y), identité (a⁻¹+b⁻¹)⁻¹ |
| Chaînes de transformations | Passer par plusieurs règles de puissances dans la même question. | Produits + quotients + exposants négatifs + racines + puissance de 10 |
| # | Expression ou modèle d’expression | Famille |
|---|---|---|
| 1 | (−3)⁻⁷ × (−3)⁻⁴ | Produit de puissances |
| 2 | (−6)⁻⁷ × (−6)² | Produit de puissances |
| 3 | 5² × 5⁴ | Produit de puissances |
| 4 | 4⁻³ × 4⁸ | Produit de puissances |
| 5 | 9² × 9 × 9⁻⁷ × 9⁴ | Produit de puissances |
| 6 | (−8)² × (−8)⁵ × (−8)⁻¹ | Produit de puissances base négative |
| 7 | 5⁻³ × 5¹ × 5⁸ | Produit de puissances |
| 8 | 7⁹ × 7⁻⁸ × 7⁻³ | Produit de puissances |
| 9 | (−5)⁶ / (−5)⁻¹⁶ | Quotient de puissances |
| 10 | (−6)⁻⁶ / (−6)⁻¹ | Quotient de puissances |
| 11 | 5⁷ / 5³ | Quotient de puissances |
| 12 | 7⁴ / 7³ | Quotient de puissances |
| 13 | 2⁻³ / 2³ | Quotient de puissances |
| 14 | (−3)⁻⁹ / (−3)⁶ | Quotient de puissances |
| 15 | (−1)⁻¹² / (−1)⁻⁸ | Quotient de puissances |
| 16 | 23⁻¹⁴ / 23⁻²¹ | Quotient de puissances |
| 17 | (12⁷)³ | Puissance d’une puissance |
| 18 | [(−2)⁴]⁻³ | Puissance d’une puissance |
| 19 | (3⁻²)⁷ | Puissance d’une puissance |
| 20 | [(−5)⁻⁷]⁻¹ | Puissance d’une puissance |
| 21 | (7⁻⁸)⁰ | Exposant nul |
| 22 | [(−0,6)⁻¹¹]⁻³ | Puissance d’une puissance |
| 23 | (8⁻⁸)⁸ | Puissance d’une puissance |
| 24 | [(−9)⁻⁷]⁻² | Puissance d’une puissance |
| 25 | (√3)… × 3⁷ = (√3)⁵ | Compléter |
| 26 | 1 / (2√2)¹⁸ = 8… | Compléter |
| 27 | 5³(√5)⁵ = 5⁵(√5)… | Compléter |
| 28 | (7⁻²×7³)/7⁵ = (√7)… | Compléter |
| 29 | [(√2)⁵]… = 2²⁵ | Compléter |
| 30 | (3+2√5)⁻² / (3+2√5)… = (3+2√5)⁹ | Compléter |
| 31 | [(√7)³]… = (√2+√5)… | Compléter / puissance |
| 32 | 7⁻²×(−7)⁻² = (√7)… | Compléter / signe |
| 33 | (−√7)³²¹ ∈ ℝ⁻ | Signe / appartenance |
| 34 | (−√3)⁴⁴ ∈ ℝ⁺ | Signe / appartenance |
| 35 | (−√11)¹⁹²⁸ ∈ ℝ⁺ | Signe / appartenance |
| 36 | ((−√3)/π)⁰ ∈ ℝ⁺ | Exposant nul |
| 37 | A = (−√2)⁴ | Calcul direct |
| 38 | B = (√3)³ × (1/√3)² | Calcul direct |
| 39 | C = (√3)² − √(3⁻²) | Calcul direct |
| 40 | D = ((−√5)/2/(1/3))² | Calcul direct |
| 41 | E = 1000 × (1/10)³ | Puissance de 10 |
| 42 | F = (1/√5)⁻⁶ × (√3/√5)⁶ | Simplification |
| 43 | G = (√2)⁻⁶ + (√3)⁴ + (1/3)⁻² × 2⁻³ | Calcul composé |
| 44 | H = (4/13)⁻¹ × √(16/169) + (13/4)⁻¹ | Calcul composé |
| 45 | I = (√3/2)³ × (√3/3)⁻² − 8√3/3 | Calcul composé |
| 46 | J = [1/(√2+3) − 1/(√2−3)]⁻² × 3(√49)⁻² | Calcul composé |
| 47 | K = (√7/3)⁻² × (√3/7)⁻² + (√7/3)² + (√2/3)² − (√3)² | Calcul composé |
| 48 | L = (√2 − √18)⁴ / √(2¹⁰) | Calcul composé |
| 49 | M = (2/√5)⁻¹ × (√5/2)⁻³ + 5⁻¹ − (√2)⁰ | Calcul composé |
| 50 | N = √( ((√3/2)⁻⁴ × 1/4) / ((1/3)²) ) | Calcul composé |