نعتبر العددين الحقيقيين a و b الموجبين حيث \(a^2 = 33 - 20\sqrt{2}\) و \(b^2 = 19 + 6\sqrt{2}\)
لإثبات أن \(a = 5 - 2\sqrt{2}\)، يكفي أن تبين أن \((5 - 2\sqrt{2})^2 = a^2\). استخدم المتطابقات الهامة. للمقارنة، ادرس إشارة الفرق \(b-a\).
أ) انشر \((5-2\sqrt{2})^2\) و \((3\sqrt{2}+1)^2\) وتحقق من تطابقهما مع \(a^2\) و \(b^2\).
ب) احسب الطرف الأيسر \(b-a\) واحسب الطرف الأيمن \(a\sqrt{2}\) بشكل منفصل، ثم قارن النتيجتين.
ج) استخدم نتيجة السؤال (ب). بما أن \(a\) موجب (يمكن التحقق من ذلك)، فإن إشارة \(b-a\) هي نفس إشارة \(\sqrt{2}\)، وهي موجبة.
أ) تبسيط a و b:
\((5 - 2\sqrt{2})^2 = 25 - 20\sqrt{2} + 8 = 33 - 20\sqrt{2} = a^2\). بما أن \(a>0\) و \(5-2\sqrt{2}>0\), فإن \(a = 5-2\sqrt{2}\).
\((3\sqrt{2} + 1)^2 = 18 + 6\sqrt{2} + 1 = 19 + 6\sqrt{2} = b^2\). بما أن \(b>0\), فإن \(b = 3\sqrt{2}+1\).
ب) إثبات العلاقة:
\(b - a = (3\sqrt{2} + 1) - (5 - 2\sqrt{2}) = 5\sqrt{2} - 4\).
\(a\sqrt{2} = (5 - 2\sqrt{2})\sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 4\).
إذن \(b - a = a\sqrt{2}\).
ج) مقارنة a و b:
الفرق \(b-a = 5\sqrt{2} - 4\). بما أن \((5\sqrt{2})^2=50 > 16=4^2\), فإن \(5\sqrt{2}-4 > 0\). إذن \(b-a > 0\), وبالتالي \(b > a\).
نعتبر العبارتين: \(a = (1+\sqrt{2})^2\) و \(b = 3-2\sqrt{2}\).
لإثبات أن عددين مقلوبان، يجب أن يكون جداءهما يساوي 1. للاستنتاج الأخير، قارن \(a\) بالعدد 1 ثم استخدم خاصية المقلوب.
أ) انشر \((1+\sqrt{2})^2\) و \((\sqrt{2}-1)^2\). b موجب لأنه مربع عدد حقيقي.
ب) احسب الجداء \(a \times b\). استخدم المتطابقة الهامة \((x-y)(x+y)\).
ج) من الواضح أن \(a = 3+2\sqrt{2} > 1\). بما أن \(b=1/a\) و \(a>1\), فإن \(0
أ) حساب a و b:
\(a = (1+\sqrt{2})^2 = 1+2\sqrt{2}+2 = 3+2\sqrt{2}\).
\((\sqrt{2}-1)^2 = 2-2\sqrt{2}+1 = 3-2\sqrt{2} = b\). b موجب لأنه مربع.
ب) المقلوبان:
\(a \times b = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9-8=1\). إذن a و b مقلوبان.
ج) الترتيب:
بما أن \(a=3+2\sqrt{2}\), من الواضح أن \(a>1\). بما أن \(b=1/a\) و \(a>1\), فإن \(0
نعتبر العددين الحقيقيين \(a = (3+\sqrt{5})^2\) و \(b = 19 + 8\sqrt{3}\).
لمقارنة a و b، ادرس إشارة الفرق \(b-a\). ستحتاج إلى مقارنة \(8\sqrt{3}\) و \(6\sqrt{5}\) لتحديد إشارة الفرق، وهو ما يتطلب مقارنة مربعيهما.
أ) انشر \((3+\sqrt{5})^2\).
ب) قارن مربعي \(3\sqrt{5}\) و \(4\sqrt{3}\).
ج) احسب الفرق \(b-a\). بسّطه. ستحتاج إلى مقارنة \(8\sqrt{3}\) و \(6\sqrt{5}\) لتحديد إشارة الفرق.
أ) حساب a:
\(a = (3+\sqrt{5})^2 = 9+6\sqrt{5}+5 = 14+6\sqrt{5}\).
ب) مقارنة الجذور:
\((3\sqrt{5})^2=45\) و \((4\sqrt{3})^2=48\). بما أن \(45<48\), فإن \(3\sqrt{5}<4\sqrt{3}\).
ج) استنتاج المقارنة:
\(b-a = (19+8\sqrt{3}) - (14+6\sqrt{5}) = 5 + 8\sqrt{3} - 6\sqrt{5}\).
نقارن \(8\sqrt{3}\) و \(6\sqrt{5}\): \((8\sqrt{3})^2 = 192\) و \((6\sqrt{5})^2=180\). إذن \(8\sqrt{3}>6\sqrt{5}\).
وبالتالي \(b-a = 5 + (\text{عدد موجب})\), فهو موجب. إذن \(b > a\).