قارن بين a و b في كل حالة من الحالات التالية:
الطريقة المباشرة لمقارنة عددين هي حساب فرقهما \(a-b\) وتحديد إشارته. إذا كان الفرق موجبًا، فإن \(a>b\). إذا كان سالبًا، فإن \(a
للحالة 1: احسب \(a-b = (6 - \sqrt{5}) - 5\). بسّط الفرق وقارن العدد الناتج بالصفر.
للحالة 2: احسب \(a-b = (\sqrt{7} + \sqrt{3}) - (\sqrt{5} + \sqrt{3})\). بسّط الفرق وقارن الجذور المتبقية.
1) مقارنة \(a\) و \(b\): \(a - b = (6 - \sqrt{5}) - 5 = 1 - \sqrt{5}\). بما أن \(5 > 1\)، فإن \(\sqrt{5} > 1\)، وبالتالي \(1 - \sqrt{5} < 0\). إذن، \(a < b\).
2) مقارنة \(a\) و \(b\): \(a - b = (\sqrt{7} + \sqrt{3}) - (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{7} - \sqrt{5}\). بما أن \(7 > 5\)، فإن \(\sqrt{7} > \sqrt{5}\)، وبالتالي \(\sqrt{7} - \sqrt{5} > 0\). إذن، \(a > b\).
قارن بين a و b في كل حالة (الأعداد موجبة): \(a = \sqrt{13}\) و \(b = 3\sqrt{2}\)
عندما يكون العددان موجبين، يمكننا مقارنة مربعيهما. إذا كان \(a^2 > b^2\)، فإن \(a > b\).
1. احسب \(a^2 = (\sqrt{13})^2\).
2. احسب \(b^2 = (3\sqrt{2})^2\).
3. قارن النتيجتين العدديتين واستنتج المقارنة بين a و b.
\(a^2 = (\sqrt{13})^2 = 13\)
\(b^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18\)
بما أن \(18 > 13\)، فإن \(b^2 > a^2\). وبما أن a و b موجبان، فإن \(b > a\).
1) قارن \(3\sqrt{5}\) و \(5\).
2) ليكن \(a = \sqrt{3} - 1\) و \(b = 4 - 2\sqrt{3}\). قارن a و b.
لمقارنة a و b، ادرس إشارة فرقهما \(a-b\). ستجد أنك بحاجة إلى المقارنة من السؤال الأول لحل السؤال الثاني.
1) قارن مربعي \(3\sqrt{5}\) و \(5\).
2) احسب الفرق \(a-b\). بسّطه لتصل إلى تعبير يتضمن \(3\sqrt{3}-5\). قارن \(3\sqrt{3}\) و \(5\) لتحديد إشارة الفرق.
1) مقارنة \(3\sqrt{5}\) و \(5\): \((3\sqrt{5})^2 = 45\) و \(5^2 = 25\). بما أن \(45 > 25\)، فإن \(3\sqrt{5} > 5\).
2) مقارنة \(a\) و \(b\): \(a - b = (\sqrt{3} - 1) - (4 - 2\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} - 5\). لمقارنة \(3\sqrt{3}\) و \(5\)، نجد أن \((3\sqrt{3})^2 = 27 > 25\). إذن \(3\sqrt{3} > 5\)، وبالتالي \(a-b > 0\)، مما يعني أن \(a > b\).
ليكن \(x = 14 + 2\sqrt{13}\) و \(y = 14 + 6\sqrt{5}\).
1) بين أن \(x = (1 + \sqrt{13})^2\) و \(y = (3 + \sqrt{5})^2\).
2) قارن \(1 + \sqrt{13}\) و \(3 + \sqrt{5}\).
3) بين أن \(\frac{7}{3 + \sqrt{5}} < \frac{7}{1 + \sqrt{13}}\).
لمقارنة \(1 + \sqrt{13}\) و \(3 + \sqrt{5}\)، يمكنك طرح 1 من كلا الطرفين ومقارنة \(\sqrt{13}\) بـ \(2 + \sqrt{5}\) عن طريق تربيع الطرفين. للاستنتاج الأخير، تذكر قاعدة المقلوب.
1) انشر المتطابقات الهامة \((1 + \sqrt{13})^2\) و \((3 + \sqrt{5})^2\) لتتحقق من أنها تساوي x و y.
2) لمقارنة \(1+\sqrt{13}\) و \(3+\sqrt{5}\), قارن مربعيهما أو اطرح 1 من كل طرف وقارن \(\sqrt{13}\) و \(2+\sqrt{5}\).
3) استخدم نتيجة المقارنة من السؤال 2. بما أن \(A > B > 0\), فإن \(\frac{1}{A} < \frac{1}{B}\). اضرب في 7.
1) التحقق: \((1 + \sqrt{13})^2 = 1+2\sqrt{13}+13 = 14+2\sqrt{13}=x\). \((3 + \sqrt{5})^2 = 9+6\sqrt{5}+5 = 14+6\sqrt{5}=y\).
2) المقارنة: نقارن \(\sqrt{13}\) و \(2+\sqrt{5}\). \((\sqrt{13})^2 = 13\). \((2+\sqrt{5})^2 = 4+4\sqrt{5}+5 = 9+4\sqrt{5}\). بما أن \(4\sqrt{5} > 4\), فإن \(9+4\sqrt{5} > 13\). إذن \(2+\sqrt{5} > \sqrt{13}\), وبالتالي \(3+\sqrt{5} > 1+\sqrt{13}\).
3) الاستنتاج: بما أن \(3+\sqrt{5} > 1+\sqrt{13}\), فإن \(\frac{1}{3+\sqrt{5}} < \frac{1}{1+\sqrt{13}}\). بضرب الطرفين في 7، نحصل على \(\frac{7}{3+\sqrt{5}} < \frac{7}{1+\sqrt{13}}\).