تمارين الترتيب والمقارنة

1) تبسيط العددين a و b

تمرين 1

ليكن العددان \(a = 4 - 3\sqrt{12} + \sqrt{48}\) و \(b = (1 + \sqrt{3})^2\).

بسّط \(a\) و \(b\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتبسيط \(a\), ابدأ بتبسيط الجذور \( \sqrt{12} \) و \( \sqrt{48} \).
لتبسيط \(b\), استخدم المتطابقة الهامة المناسبة.

📝 الطريقة

تبسيط a:

تذكر أن \( \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \) و \( \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \). عوض بهذه القيم في تعبير \(a\) ثم اجمع الحدود المتشابهة.

تبسيط b:

استخدم \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) مع \(x=1\) و \(y=\sqrt{3}\).

✅ الحل الكامل

تبسيط a:

a = 4 - 3(2\sqrt{3}) + 4\sqrt{3} = 4 - 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3}

تبسيط b:

b = 1^2 + 2(1)(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}

2) استنتاج علامة العدد a

تمرين 2

استنتج علامة العدد \(a = 4 - 2\sqrt{3}\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لتحديد علامة الفرق \(4 - 2\sqrt{3}\), قارن بين العددين \(4\) و \(2\sqrt{3}\). أسهل طريقة هي مقارنة مربعيهما.

📝 الطريقة

نحسب مربع كل عدد: \(4^2 = 16\) و \((2\sqrt{3})^2 = 12\).
نقارن النتيجتين \(16\) و \(12\).
نستنتج المقارنة بين \(4\) و \(2\sqrt{3}\).
نستنتج علامة الفرق \(4 - 2\sqrt{3}\).

✅ الحل الكامل

لمقارنة \(4\) و \(2\sqrt{3}\), نقوم بتربيع العددين:

4^2 = 16

(2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12

بما أن \(16 > 12\), فإن \(4 > 2\sqrt{3}\). إذن، الفرق \(a = 4 - 2\sqrt{3}\) هو عدد موجب.

3) حساب الجداء واستنتاج النسبة

تمرين 3

بيّن أن \(a \times b = 4\) واستنتج قيمة \( \sqrt{\frac{a}{b}} \).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

للجداء \(a \times b\), لاحظ أن التعبيرين على شكل \( (x-y)(x+y) \).

لإيجاد \( \sqrt{\frac{a}{b}} \), استخدم الخدعة التالية: \( \frac{a}{b} = \frac{a \times a}{b \times a} = \frac{a^2}{ab} \).

📝 الطريقة

حساب الجداء: استخدم المتطابقة الهامة \( (4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3}) = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 \).

حساب الجذر:

\sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{\frac{a^2}{ab}} = \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{ab}} = \frac{|a|}{\sqrt{4}}
بما أن \(a\) موجب, فإن \(|a|=a\).
النتيجة هي \( \frac{a}{2} \). عوض بقيمة \(a\) وبسّط.

✅ الحل الكامل

حساب الجداء \(a \times b\):

a \times b = (4 - 2\sqrt{3})(4 + 2\sqrt{3}) = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - 12 = 4

حساب \( \sqrt{\frac{a}{b}} \):

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{a}} = \frac{a}{\sqrt{ab}} = \frac{a}{\sqrt{4}} = \frac{a}{2}

\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

4) دراسة العدد c

تمرين 4

ليكن \(c = \sqrt{a} - \sqrt{b}\).

بيّن أن \(c\) سالب ثم احسب \(c^2\) واستنتج قيمة \(c\).

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لمعرفة علامة \(c\), قارن \(a\) و \(b\). لحساب \(c^2\), استخدم \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \). تذكر أن \(c\) سالب عند إيجاد قيمته النهائية.

📝 الطريقة

علامة c:

لدينا \(a=4-2\sqrt{3}\) و \(b=4+2\sqrt{3}\). من الواضح أن \(a < b\). بما أن كلاهما موجب, فإن \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\), وبالتالي \(c\) سالب.

حساب c:

c^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b
احسب \(a+b\) و \(ab\).
عوض بالقيم في تعبير \(c^2\).
بما أن \(c^2=4\) و \(c\) سالب, استنتج قيمة \(c\).

✅ الحل الكامل

علامة \(c\):

لدينا \(a = 4 - 2\sqrt{3}\) و \(b = 4 + 2\sqrt{3}\). من الواضح أن \(a < b\). بما أن \(a\) و \(b\) موجبان, فإن \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\). إذن, \(c = \sqrt{a} - \sqrt{b}\) هو عدد سالب.

حساب \(c\):

c^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b = (a+b) - 2\sqrt{ab}

نحسب \(a+b\) و \(ab\):

a+b = (4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 8

ab = 4 \quad \text{(من التمرين 3)}

نعوض: \(c^2 = 8 - 2\sqrt{4} = 8 - 4 = 4\).

بما أن \(c^2 = 4\) و \(c\) سالب, فإن \( \mathbf{c = -2} \).