بسّط العددين:
a = \dfrac{5 - \sqrt{24}}{\sqrt{6}} - \dfrac{18 - 7\sqrt{6}}{6}
b = \left(1 + 2\sqrt{8}\right)\left(1 - \sqrt{2}\right)
تبسيط a:
تبسيط b:
تبسيط a:
a = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{\sqrt{6}} - \frac{18 - 7\sqrt{6}}{6}
a = \frac{(5 - 2\sqrt{6})\sqrt{6}}{(\sqrt{6})\sqrt{6}} - \frac{18 - 7\sqrt{6}}{6}
a = \frac{5\sqrt{6} - 2(6)}{6} - \frac{18 - 7\sqrt{6}}{6}
a = \frac{5\sqrt{6} - 12 - (18 - 7\sqrt{6})}{6} = \frac{5\sqrt{6} - 12 - 18 + 7\sqrt{6}}{6}
a = \frac{12\sqrt{6} - 30}{6} = 2\sqrt{6} - 5
تبسيط b:
b = (1 + 2\sqrt{8})(1 - \sqrt{2}) = (1 + 2(2\sqrt{2}))(1 - \sqrt{2})
b = (1 + 4\sqrt{2})(1 - \sqrt{2})
b = 1(1) + 1(-\sqrt{2}) + 4\sqrt{2}(1) + 4\sqrt{2}(-\sqrt{2})
b = 1 - \sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 4(2) = 1 + 3\sqrt{2} - 8
b = 3\sqrt{2} - 7
أ) بيّن أن \(a > b\).
ب) ثم بيّن أن \( \frac{b}{a} > 1 \).
أ) لمقارنة \(a\) و \(b\), ادرس إشارة فرقهما \(a - b\). ستحتاج إلى مقارنة عددين يحتويان على جذور، وأفضل طريقة لذلك هي تربيع الطرفين (بعد التأكد من أنهما موجبان).
ب) عند قسمة طرفي متباينة على عدد، ماذا يحدث لاتجاه المتباينة إذا كان هذا العدد سالبًا؟ حدد أولاً إشارة \(a\).
أ) مقارنة a و b:
ب) دراسة النسبة \( \frac{b}{a} \):
أ) إثبات أن \(a > b\):
نحسب الفرق \(a - b\):
a - b = (2\sqrt{6} - 5) - (3\sqrt{2} - 7) = 2\sqrt{6} - 3\sqrt{2} + 2
لتحديد إشارة هذا الفرق، نقارن \(2\sqrt{6} + 2\) بـ \(3\sqrt{2}\). بما أن كلا الطرفين موجب، نربعهما:
(2\sqrt{6} + 2)^2 = (2\sqrt{6})^2 + 2(2\sqrt{6})(2) + 2^2 = 24 + 8\sqrt{6} + 4 = 28 + 8\sqrt{6}
(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18
من الواضح أن \(28 + 8\sqrt{6} > 18\), إذن \(2\sqrt{6} + 2 > 3\sqrt{2}\), مما يعني أن \(a - b > 0\). إذن \( \mathbf{a > b} \).
ب) إثبات أن \( \frac{b}{a} > 1 \):
لدينا المتباينة \( a > b \). قبل القسمة على \(a\), يجب تحديد إشارته. نقارن \(2\sqrt{6}\) بـ \(5\).
(2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24
5^2 = 25
بما أن \(24 < 25\), فإن \(2\sqrt{6} < 5\). إذن \(a = 2\sqrt{6} - 5\) هو عدد سالب.
عندما نقسم طرفي المتباينة \(a > b\) على عدد سالب (\(a\)), يجب أن نعكس اتجاه المتباينة:
\frac{a}{a} < \frac{b}{a}
وبالتالي، \( \mathbf{1 < \frac{b}{a}} \), وهو المطلوب.
إذا كانت فاصلة النقطة M هي \(\dfrac{b}{a}\) وفاصلة النقطة N هي \(\dfrac{b^2}{a^2}\), أحسب البعد MN.
المسافة بين نقطتين على مستقيم هي القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتيهما: \( MN = |x_N - x_M| \). استخدم نتائج التمرين السابق لتحديد إشارة المقدار داخل القيمة المطلقة.
المسافة MN تُعطى بالعلاقة:
MN = |x_N - x_M| = \left| \frac{b^2}{a^2} - \frac{b}{a} \right
لنحلل التعبير داخل القيمة المطلقة بأخذ \( \frac{b}{a} \) كعامل مشترك:
MN = \left| \frac{b}{a} \left( \frac{b}{a} - 1 \right) \right
من التمرين 2، أثبتنا أن \( \frac{b}{a} > 1 \). بناءً على هذه النتيجة، يمكننا تحديد إشارة كل جزء:
بما أن المقدار داخل القيمة المطلقة هو جداء عددين موجبين، فهو موجب.
لذلك، يمكننا إزالة القيمة المطلقة:
MN = \frac{b}{a} \left( \frac{b}{a} - 1 \right) = \frac{b^2}{a^2} - \frac{b}{a}
يمكن أيضًا كتابة النتيجة على الشكل:
\mathbf{MN = \frac{b(b-a)}{a^2}}