نعتبر:
\(b = 6\sqrt{2} + \sqrt{18} - \sqrt{32}\) و \(a = \sqrt{600} - 5\sqrt{6} - \sqrt{24}\)
1) تبسيط a و b:
بسّط كل جذر على حدة: \(\sqrt{18}\), \(\sqrt{32}\), \(\sqrt{600}\), \(\sqrt{24}\). ثم اجمع الحدود المتشابهة لكل من a و b.
2) المقارنة:
احسب \(a^2 - b^2\) باستخدام قيم a و b المبسطة. إذا كانت النتيجة موجبة، فإن \(a>b\). إذا كانت سالبة، فإن \(a
1) التبسيط:
b = 6\sqrt{2} + \sqrt{9 \times 2} - \sqrt{16 \times 2} = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 5\sqrt{2}
a = \sqrt{100 \times 6} - 5\sqrt{6} - \sqrt{4 \times 6} = 10\sqrt{6} - 5\sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 3\sqrt{6}
2) المقارنة:
(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 = (3\sqrt{6})^2 - (5\sqrt{2})^2
= (9 \times 6) - (25 \times 2) = 54 - 50 = 4
بما أن \(a^2 - b^2 = 4 > 0\), فإن \(a^2 > b^2\). وبما أن a و b موجبان، فإن \(a > b\).
ليكن \(a = \frac{5}{\sqrt{3}-1} - \frac{11}{\sqrt{3}+1}\) و \(b = (\sqrt{3}-2)^2 - (\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}-3)\)
1) تبسيط a و b:
لتبسيط a، المقام المشترك هو \((\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = 2\). بسّط البسط بعد ذلك.
لتبسيط b، انشر كل جزء على حدة ثم اطرح النتيجة الثانية من الأولى.
2) المقارنة:
احسب \(a-b = (8-3\sqrt{3}) - (13-4\sqrt{3})\) وبسّط. قارن \(\sqrt{3}\) بالعدد الصحيح الناتج لتحديد إشارة الفرق.
1) التبسيط:
a = \frac{5(\sqrt{3}+1) - 11(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{5\sqrt{3}+5-11\sqrt{3}+11}{3-1} = \frac{16-6\sqrt{3}}{2} = 8 - 3\sqrt{3}
b = (3 - 4\sqrt{3} + 4) - (3 - 9) = (7 - 4\sqrt{3}) - (-6) = 13 - 4\sqrt{3}
2) المقارنة:
a - b = (8 - 3\sqrt{3}) - (13 - 4\sqrt{3}) = 8 - 3\sqrt{3} - 13 + 4\sqrt{3} = \sqrt{3} - 5
بما أن \(5^2=25\) و \((\sqrt{3})^2=3\), فإن \(5 > \sqrt{3}\). إذن \(\sqrt{3}-5\) هو عدد سالب.
بما أن \(a-b < 0\), فإن \(a < b\).
تذكر قواعد الترتيب: عند إضافة نفس العدد لا يتغير اتجاه المتباينة. عند أخذ المقلوب، يتغير الاتجاه. عند الضرب في عدد سالب، يتغير الاتجاه. بالنسبة للسؤال الثاني، اجمع متباينتين تسيران في نفس الاتجاه.
1) المقارنة الأولى:
قارن \((2\sqrt{11})^2\) و \((3\sqrt{6})^2\). بناء على النتيجة، طبق قواعد الترتيب: أضف 7، ثم خذ المقلوب (عكس الاتجاه)، ثم اضرب في -1 (عكس الاتجاه مرة أخرى).
2) المقارنة الثانية:
لديك متباينتان: \(2\sqrt{11} < 3\sqrt{6}\) و \(\frac{-2}{3} < \frac{2}{3}\). بما أنهما في نفس الاتجاه، يمكنك جمعهما طرفًا بطرف.
1) المقارنة الأولى:
(2\sqrt{11})^2 = 4 \times 11 = 44 \quad \text{و} \quad (3\sqrt{6})^2 = 9 \times 6 = 54
\text{بما أن } 44 < 54 \text{ فإن } 2\sqrt{11} < 3\sqrt{6}
\Rightarrow 7+2\sqrt{11} < 7+3\sqrt{6}
\Rightarrow \frac{1}{7+2\sqrt{11}} > \frac{1}{7+3\sqrt{6}} \quad \text{(عكس الاتجاه)}
\Rightarrow \frac{-1}{7+2\sqrt{11}} < \frac{-1}{7+3\sqrt{6}} \quad \text{(عكس الاتجاه مرة أخرى)}
2) المقارنة الثانية:
لدينا \(2\sqrt{11} < 3\sqrt{6}\) و \(\frac{-2}{3} < \frac{2}{3}\). بجمع المتباينتين طرفًا بطرف:
\frac{-2}{3} + 2\sqrt{11} < \frac{2}{3} + 3\sqrt{6}
نعتبر \(B = \sqrt{27} - \sqrt{12}\) و \(A = \sqrt{50} - \sqrt{18} - \sqrt{2}\)
أولاً، بسّط الجذور في A و B. المقارنة بين \(\sqrt{2}\) و \(\sqrt{3}\) ستكون كافية. للاستنتاج، ابدأ من المتباينة التي وجدتها وطبق العمليات خطوة بخطوة: الضرب في -2، إضافة 5، ثم أخذ المقلوب.
1) الاختصار:
بسّط الجذور في كل تعبير ثم اجمع الحدود المتشابهة.
2) المقارنة والاستنتاج:
قارن بين النتائج المبسطة لـ A و B. ثم انطلق من هذه المتباينة وطبق العمليات بالترتيب مع الانتباه لتغيير اتجاه المتباينة عند الضرورة.
1) الاختصار:
B = \sqrt{9 \times 3} - \sqrt{4 \times 3} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}
A = \sqrt{25 \times 2} - \sqrt{9 \times 2} - \sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}
2) المقارنة والاستنتاج:
\text{بما أن } 3 > 2 \text{ فإن } \sqrt{3} > \sqrt{2} \text{, إذن } B > A
\Rightarrow -2B < -2A \quad \text{(ضرب في عدد سالب)}
\Rightarrow -2B+5 < -2A+5 \quad \text{(إضافة 5)}
\Rightarrow \frac{1}{-2B+5} > \frac{1}{-2A+5} \quad \text{(أخذ المقلوب, والطرفان موجبان لأن 5 أكبر من 2B و 2A)}