حصر عدد حقيقي \(x\) يعني إيجاد عددين \(a\) و \(b\) بحيث: \(a \leq x \leq b\). مدى هذا الحصر هو: \(b - a\).
\(a\) و \(b\) عددان حقيقيان حيث \(a \leq b\). نسمي مجالاً مغلقاً طرفاه \(a\) و \(b\) مجموعة الأعداد الحقيقية \(x\) بحيث: \(a \leq x \leq b\). نرمز إليه بـ: \([a;b]\).
| الرمز | مجموعة الأعداد | التسمية |
|---|---|---|
| \([a;b]\) | \(a \leq x \leq b\) | مجال مغلق |
| \(]a;b[\) | \(a < x < b\) | مجال مفتوح |
| \([a;+\infty[\) | \(x \geq a\) | مجال مغلق غير محدود على اليمين |
| \(]-\infty;b[\) | \(x < b\) | مجال مفتوح غير محدود على اليسار |
إذا كان \(|x| \leq a\) فإن \(x \in [-a;a]\)
إذا كان \(|x| \geq a\) فإن \(x \in ]-\infty;-a] \cup [a;+\infty[\)
\(x\) عدد حقيقي بحيث: \(4 \leq x \leq 7\). أعط حصراً للعدد \(A\) حيث: \(A = \frac{1}{x} + x\)
لحصر المجموع \(A\)، يجب أولاً أن تجد حصراً لكل جزء من التعبير بشكل منفصل. ما هو حصر \(\frac{1}{x}\)؟ تذكر أنه عند أخذ مقلوب مجال موجب، يتغير اتجاه المتراجحة.
الخطوة 1: حصر \(\frac{1}{x}\)
لدينا \(4 \leq x \leq 7\). بما أن كل الأعداد موجبة، فإن أخذ المقلوب يعكس الترتيب:
\(\frac{1}{7} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{4}\)
الخطوة 2: جمع الحصرين
الآن نجمع الحصر الأصلي لـ \(x\) مع الحصر الجديد لـ \(\frac{1}{x}\) طرفاً بطرف.
لدينا:
1) \(4 \leq x \leq 7\)
2) \(\frac{1}{7} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{4}\)
بجمع المتراجحتين طرفاً بطرف:
\(4 + \frac{1}{7} \leq x + \frac{1}{x} \leq 7 + \frac{1}{4}\)
\(\frac{28+1}{7} \leq A \leq \frac{28+1}{4}\)
إذن، الحصر النهائي هو:
\(\frac{29}{7} \leq A \leq \frac{29}{4}\)
إذا علمت أن: \(1 < x < 2\) و \(-2 < z < 3\) و \(-5 < y < -2\)
أحصر كلاً من: \(z+x\) و \(xy\) و \(x+y-z\)
للجمع، نجمع الأطراف مباشرة. للطرح، نحوّله إلى جمع المقابل (مثلاً \(x-z = x+(-z)\)). للضرب، انتبه لإشارات الأعداد! ضرب عدد موجب في عدد سالب يتطلب عناية خاصة.
حصر \(z+x\):
نجمع المتراجحتين مباشرة: \((1) + (-2) < x+z < (2) + (3)\)
حصر \(xy\):
بما أن \(x\) موجب و \(y\) سالب، فالجداء سيكون سالباً. نختبر كل الحالات الممكنة (\(1\times-5\), \(1\times-2\), \(2\times-5\), \(2\times-2\)) ونأخذ أصغر وأكبر قيمة.
حصر \(x+y-z\):
أولاً، أوجد حصر \(-z\). ثم اجمع الحصص الثلاثة: \(x\), \(y\), و \(-z\).
حصر \(z+x\):
\(-2+1 < z+x < 3+2 \implies -1 < z+x < 5\)
حصر \(xy\):
الحالات: \(1(-5)=-5\), \(1(-2)=-2\), \(2(-5)=-10\), \(2(-2)=-4\). أصغر قيمة هي -10 وأكبرها -2.
\(-10 < xy < -2\)
حصر \(x+y-z\):
لدينا \(-3 < -z < 2\).
نجمع الحصص: \(1 + (-5) + (-3) < x+y-z < 2 + (-2) + 2\)
\(-7 < x+y-z < 2\)
\(x\) عدد حقيقي بحيث: \(1.2 < x < 1.5\). أحصر \(A = 2x-4\) و \(B = 1-\frac{1}{x}\)
لكل تعبير، ابدأ من حصر \(x\) وطبق العمليات خطوة بخطوة. لحصر \(A\)، اضرب أولاً في 2 ثم اطرح 4. لحصر \(B\)، ابدأ بحصر \(\frac{1}{x}\)، ثم \(\frac{-1}{x}\)، وأخيراً أضف 1.
لحصر A:
1. اضرب المتراجحة \(1.2 < x < 1.5\) في 2.
2. اطرح 4 من كل أطراف المتراجحة الجديدة.
لحصر B:
1. ابدأ من \(1.2 < x < 1.5\) وأوجد حصر \(\frac{1}{x}\).
2. اضرب حصر \(\frac{1}{x}\) في -1 (لا تنس عكس اتجاه المتراجحة).
3. أضف 1 إلى كل الأطراف.
حصر \(A = 2x - 4\):
\(1.2 < x < 1.5 \implies 2.4 < 2x < 3\)
\(2.4 - 4 < 2x - 4 < 3 - 4 \implies -1.6 < A < -1\)
حصر \(B = 1 - \frac{1}{x}\):
\(1.2 < x < 1.5 \implies \frac{1}{1.5} < \frac{1}{x} < \frac{1}{1.2} \implies \frac{2}{3} < \frac{1}{x} < \frac{5}{6}\)
\(-\frac{5}{6} < -\frac{1}{x} < -\frac{2}{3}\)
\(1 - \frac{5}{6} < 1 - \frac{1}{x} < 1 - \frac{2}{3} \implies \frac{1}{6} < B < \frac{1}{3}\)
أوجد مجموعة حلول الأعداد الحقيقية \(x\) في كل حالة:
1) \(|x+3|=1\)
2) \(|x-4|=3\)
تذكر القاعدة الأساسية: إذا كان \(|A| = a\) (حيث \(a \ge 0\))، فإن هذا يكافئ حالتين: \(A = a\) أو \(A = -a\). طبق هذه القاعدة على كل معادلة.
لحل \(|x+3|=1\):
نقسم الحل إلى معادلتين:
1. \(x+3 = 1\)
2. \(x+3 = -1\)
ثم نحل كل معادلة على حدة لإيجاد قيم \(x\).
لحل \(|x-4|=3\):
نتبع نفس المبدأ:
1. \(x-4 = 3\)
2. \(x-4 = -3\)
ثم نحل لإيجاد قيم \(x\).
1) حل \(|x+3|=1\):
\(x+3=1 \implies x = -2\)
أو
\(x+3=-1 \implies x = -4\)
مجموعة الحلول: \(\{-4, -2\}\)
2) حل \(|x-4|=3\):
\(x-4=3 \implies x = 7\)
أو
\(x-4=-3 \implies x = 1\)
مجموعة الحلول: \(\{1, 7\}\)
أوجد مجموعة حلول الأعداد الحقيقية \(x\) التي تحقق:
1) \(|x+3| \leq 5\)
2) \(|x-4| \geq 2\)
استخدم القواعد التالية:
• \(|A| \leq a\) يكافئ \(-a \leq A \leq a\). هذا يعطي مجالاً واحداً مغلقاً.
• \(|A| \geq a\) يكافئ \(A \geq a\) أو \(A \leq -a\). هذا يعطي اتحاد مجالين.
لحل \(|x+3| \leq 5\):
نحول المتباينة إلى حصر:
\(-5 \leq x+3 \leq 5\)
ثم نحل هذا الحصر بإضافة -3 إلى كل الأطراف.
لحل \(|x-4| \geq 2\):
نقسم الحل إلى متباينتين:
1. \(x-4 \geq 2\)
2. \(x-4 \leq -2\)
نحل كل واحدة ونأخذ اتحاد الحلين.
1) حل \(|x+3| \leq 5\):
\(-5 \leq x+3 \leq 5\)
\(-5-3 \leq x \leq 5-3\)
\(-8 \leq x \leq 2\)
مجموعة الحلول: \(x \in [-8, 2]\)
2) حل \(|x-4| \geq 2\):
\(x-4 \geq 2 \implies x \geq 6\)
أو
\(x-4 \leq -2 \implies x \leq 2\)
مجموعة الحلول: \(x \in ]-\infty, 2] \cup [6, +\infty[\)