I- الحصر
1. تعريف
تعريف الحصر:
حصر عدد حقيقي \(x\) يعني إيجاد عددين \(a\) و \(b\) بحيث: \(a \leq x \leq b\)
مدى هذا الحصر هو: \(b - a\)
مثال:
أوجد حصراً للعدد \(\sqrt{5}\) مداه \(10^{-2}\)
نعلم أن: \(2.23 \leq \sqrt{5} \leq 2.24\)
إذن \(\sqrt{5} = 2.23607...\) ومدى هذا الحصر هو: \(2.24 - 2.23 = 0.01 = 10^{-2}\)
2. حصر مجموع أو جداء
لحصر مجموع أو جداء نستعمل قواعد الجمع أو الضرب طرفاً بطرف.
مثال:
\(3 \leq x \leq 8\) و \(-1 \leq y \leq 7\) و \(-2 \leq z \leq -1\)
أحصر كلاً من \(x+y\) و \(xy\) و \(yz\)؟
\(3 + (-1) \leq x + y \leq 8 + 7\)
\(2 \leq x + y \leq 15\)
نحسب كل الإمكانيات: \(3 \times (-1) = -3\)، \(3 \times 7 = 21\)، \(8 \times (-1) = -8\)، \(8 \times 7 = 56\)
إذن: \(-8 \leq xy \leq 56\)
3. حصر فرق وحاصل قسمة
لحصر فرق يعني إضافة المقابل
أما حصر حاصل قسمة فإنه يعني ضرب في المقلوب مع مراعاة اتجاه الحصر
II- المجالات
1. تعريف
\(a\) و \(b\) عددان حقيقيان حيث \(a \leq b\)
نسمي مجالاً مغلقاً طرفاه \(a\) و \(b\) مجموعة الأعداد الحقيقية \(x\) بحيث: \(a \leq x \leq b\)
نرمز إليه بـ: \([a;b]\)
2. أنواع المجالات
أ- المجالات المحدودة:
| الرمز | مجموعة الأعداد | التمثيل | التسمية |
|---|---|---|---|
| \([a;b]\) | \(a \leq x \leq b\) | a [----] b | مجال مغلق |
| \(]a;b[\) | \(a < x < b\) | a ]----[ b | مجال مفتوح |
| \([a;b[\) | \(a \leq x < b\) | a [----[ b | نصف مغلق على اليمين |
| \(]a;b]\) | \(a < x \leq b\) | a ]----] b | نصف مفتوح على اليمين |
ب- المجالات غير المحدودة:
| الرمز | مجموعة الأعداد | التسمية |
|---|---|---|
| \([a;+\infty[\) | \(x \geq a\) | مجال مغلق غير محدود على اليمين |
| \(]a;+\infty[\) | \(x > a\) | مجال مفتوح غير محدود على اليمين |
| \(]-\infty;b]\) | \(x \leq b\) | مجال مغلق غير محدود على اليسار |
| \(]-\infty;b[\) | \(x < b\) | مجال مفتوح غير محدود على اليسار |
3. المجالات والقيمة المطلقة
إذا كان \(|x| \leq a\) فإن \(x \in [-a;a]\)
إذا كان \(|x| < a\) فإن \(x \in ]-a;a[\)
إذا كان \(|x| \geq a\) فإن \(x \in ]-\infty;-a] \cup [a;+\infty[\)
إذا كان \(|x| > a\) فإن \(x \in ]-\infty;-a[ \cup ]a;+\infty[\)
4. عناصر المجال
يتميز المجال \([a;b]\) بالعناصر الآتية:
مركزه: \(c = \frac{a+b}{2}\)
طوله: \(b-a\)
نصف قطره: \(r = \frac{b-a}{2}\)
مثال تطبيقي:
أوجد مركز وطول ونصف قطر المجال \([-1;7]\)
الحل:
\(c = \frac{(-1) + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
\(7 - (-1) = 7 + 1 = 8\)
\(r = \frac{7 - (-1)}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
تمارين التطبيق
التمرين 1:
\(x\) عدد حقيقي بحيث: \(4 \leq x \leq 7\). أعط حصراً للعدد \(A\) حيث: \(A = \frac{1}{x} + x\)
الحل المفصل:
بما أن \(4 \leq x \leq 7\) وكل القيم موجبة، فإن:
\(\frac{1}{7} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{4}\)
تفسير: كلما زاد المقام، قل الكسر
نجمع الحصرين:
\(\frac{1}{7} + 4 \leq \frac{1}{x} + x \leq \frac{1}{4} + 7\)
\(\frac{1}{7} + \frac{28}{7} \leq A \leq \frac{1}{4} + \frac{28}{4}\)
\(\frac{29}{7} \leq A \leq \frac{29}{4}\)
\(4.14 \leq A \leq 7.25\) (تقريباً)
التمرين 2:
إذا علمت أن: \(1 < x < 2\) و \(-2 < z < 3\) و \(-5 < y < -2\)
1- أحصر كلاً من: \(z+x\) و \(xy\) و \(x+y-z\) و \(y^2-1\)
2- استنتج حصراً لكل من: \((z+x)(y+x)\) و \(\frac{(x+z)^2}{y^2-1}\)
الحل المفصل:
\(1 < x < 2\) و \(-2 < z < 3\)
نجمع: \(-2 + 1 < z + x < 3 + 2\)
إذن: \(-1 < z + x < 5\)
\(1 < x < 2\) و \(-5 < y < -2\)
بما أن \(y < 0\)، فعند الضرب تنعكس الإشارات:
\(-5 \times 2 < xy < -2 \times 1\)
إذن: \(-10 < xy < -2\)
\(x + y - z = x + y + (-z)\)
حصر \(-z\): \(-3 < -z < 2\)
إذن: \(1 + (-5) + (-3) < x + y - z < 2 + (-2) + 2\)
\(-7 < x + y - z < 2\)
\(-5 < y < -2\), إذن \(4 < y^2 < 25\)
بالتالي: \(4 - 1 < y^2 - 1 < 25 - 1\)
\(3 < y^2 - 1 < 24\)
التمرين 3:
\(x\) عدد حقيقي بحيث: \(1.2 < x < 1.5\)
1- أحصر كلاً من \(A\) حيث: \(A = 2x-4\) و \(B\) حيث: \(B = 1-\frac{1}{x}\)
2- أوجد حصراً لـ \(\frac{A}{B}\)
3- أوجد حصراً لـ \(C\) حيث: \(C = \left(\frac{x}{2} - 5\right)^2\)
الحل المفصل:
\(1.2 < x < 1.5\)
نضرب في 2: \(2.4 < 2x < 3\)
نطرح 4: \(2.4 - 4 < 2x - 4 < 3 - 4\)
إذن: \(-1.6 < A < -1\)
أولاً نحصر \(\frac{1}{x}\): \(\frac{1}{1.5} < \frac{1}{x} < \frac{1}{1.2}\)
\(\frac{2}{3} < \frac{1}{x} < \frac{5}{6}\)
ثم: \(1 - \frac{5}{6} < 1 - \frac{1}{x} < 1 - \frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{6} < B < \frac{1}{3}\)
بما أن \(B > 0\) و \(A < 0\):
\(\frac{-1.6}{\frac{1}{3}} < \frac{A}{B} < \frac{-1}{\frac{1}{6}}\)
\(-4.8 < \frac{A}{B} < -6\)
إذن: \(-6 < \frac{A}{B} < -4.8\)
أولاً نحصر \(\frac{x}{2} - 5\):
\(\frac{1.2}{2} - 5 < \frac{x}{2} - 5 < \frac{1.5}{2} - 5\)
\(-4.4 < \frac{x}{2} - 5 < -4.25\)
بما أن كل القيم سالبة، فعند التربيع:
\((-4.25)^2 < C < (-4.4)^2\)
\(18.0625 < C < 19.36\)
التمرين 4 - القيمة المطلقة:
مثل على مستقيم مدرج الأعداد الحقيقية \(x\) في كل حالة:
1) \(|x+3|=1\)
2) \(|x-1|=\frac{5}{2}\)
3) \(|x-4|=3\)
الحل المفصل:
المبدأ: \(|A| = a\) يعني \(A = a\) أو \(A = -a\)
\(x + 3 = 1\) أو \(x + 3 = -1\)
\(x = -2\) أو \(x = -4\)
الحلول: \(x \in \{-4, -2\}\)
\(x - 1 = \frac{5}{2}\) أو \(x - 1 = -\frac{5}{2}\)
\(x = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}\) أو \(x = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2}\)
الحلول: \(x \in \left\{-\frac{3}{2}, \frac{7}{2}\right\}\)
\(x - 4 = 3\) أو \(x - 4 = -3\)
\(x = 7\) أو \(x = 1\)
الحلول: \(x \in \{1, 7\}\)
التمرين 5 - متباينات القيمة المطلقة:
مثل على مستقيم مدرج الأعداد الحقيقية \(x\) التي تحقق:
1) \(|x+3| \leq 5\)
2) \(|2x-5| \leq 4\)
3) \(|x-4| \geq 2\)
الحل المفصل:
المبدأ: \(|A| \leq a\) يعني \(-a \leq A \leq a\)
\(-5 \leq x + 3 \leq 5\)
\(-5 - 3 \leq x \leq 5 - 3\)
\(-8 \leq x \leq 2\)
الحل: \(x \in [-8, 2]\)
\(-4 \leq 2x - 5 \leq 4\)
\(-4 + 5 \leq 2x \leq 4 + 5\)
\(1 \leq 2x \leq 9\)
\(\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}\)
الحل: \(x \in \left[\frac{1}{2}, \frac{9}{2}\right]\)
المبدأ: \(|A| \geq a\) يعني \(A \leq -a\) أو \(A \geq a\)
\(x - 4 \leq -2\) أو \(x - 4 \geq 2\)
\(x \leq 2\) أو \(x \geq 6\)
الحل: \(x \in ]-\infty, 2] \cup [6, +\infty[\)