ملخص درس: الترتيب والمقارنة والحصر

أهم القواعد والخصائص مع أمثلة وشروحات تفاعلية

I - مقارنة عددين حقيقيين

قاعدة ①: المقارنة بالفرق

ليكن \(a\) و \(b\) عددان حقيقيان. \(a \le b\) يكافئ \(a-b \le 0\).

شرح القاعدة▼
شرح مفصل:

لمعرفة أي العددين أكبر، نطرح أحدهما من الآخر:

  • إذا كانت النتيجة موجبة: العدد الأول هو الأكبر. مثال: \(5-3=2\), \(2>0\), إذن \(5>3\).
  • إذا كانت النتيجة سالبة: العدد الأول هو الأصغر. مثال: \(3-5=-2\), \(-2<0\), إذن \(3<5\).

أمثلة

1) لنقارن العددين: \( \sqrt{3}-5 \) و \( 2\sqrt{3}-4 \)

\((2\sqrt{3}-4) - (\sqrt{3}-5) = 2\sqrt{3}-4-\sqrt{3}+5 = \sqrt{3}+1\)

بما أن \( \sqrt{3}+1 > 0 \)، فإن \( 2\sqrt{3}-4 > \sqrt{3}-5 \).

II - الترتيب والعمليات

خاصية ①: الترتيب والجمع

إضافة (أو طرح) نفس العدد إلى طرفي المتراجحة لا يغير اتجاهها. \(a \le b \iff a+c \le b+c\).

خاصية ②: الترتيب والضرب

  • إذا كان \(c > 0\): \(a \le b \iff a \times c \le b \times c\) (لا يتغير الاتجاه)
  • إذا كان \(c < 0\): \(a \le b \iff a \times c \ge b \times c\) (ينعكس اتجاه الترتيب)
شرح الخاصية▼
شرح مفصل:

هنا يكمن الفخ! عندما تضرب طرفي المتراجحة في عدد سالب، يجب عليك أن تعكس اتجاه علامة الترتيب.

مثال: نعلم أن \( 3 \le 5 \). لنضرب في -2 (عدد سالب): \( 3 \times (-2) \ge 5 \times (-2) \). نقوم بالحساب: \( -6 \ge -10 \). وهذا صحيح!

خاصية ③: الترتيب والمقلوب

إذا كان \(a, b\) لهما نفس الإشارة: \(a \le b \iff \frac{1}{a} \ge \frac{1}{b}\).

خاصية ④: الترتيب والمربع

  • إذا كان \(a, b\) موجبين: \(a \le b \iff a^2 \le b^2\)
  • إذا كان \(a, b\) سالبين: \(a \le b \iff a^2 \ge b^2\) (ينعكس الاتجاه)

خاصية ⑤: الترتيب والجذر التربيعي

إذا كان \(a, b\) موجبين: \(a \le b \iff \sqrt{a} \le \sqrt{b}\).

مثال: لنقارن \( \sqrt{10} \) و \( 3\sqrt{3} \)

العددان موجبان. نقارن مربعيهما:

\( (\sqrt{10})^2 = 10 \)

\( (3\sqrt{3})^2 = 9 \times 3 = 27 \)

بما أن \( 10 < 27 \)، فإن \( \sqrt{10} < 3\sqrt{3} \).

III - الحصر

قواعد الحصر الأساسية

إذا كان \(x \le a \le y\) و \(z \le b \le t\):

  • الجمع: \( x+z \le a+b \le y+t \)
  • الطرح: حوّل إلى جمع \(a+(-b)\) بعد حصر \(-b\): \( -t \le -b \le -z \).
  • الضرب (الأعداد موجبة): \( x \cdot z \le a \cdot b \le y \cdot t \).
  • القسمة: حوّل إلى ضرب \(a \times \frac{1}{b}\) بعد حصر \(\frac{1}{b}\): \( \frac{1}{t} \le \frac{1}{b} \le \frac{1}{z} \).
شرح قواعد الحصر▼
شرح مفصل:

الحصر يعني إيجاد أصغر وأكبر قيمة ممكنة لعبارة.

  • للجمع: أصغر قيمة ممكنة للمجموع هي (أصغر + أصغر). وأكبر قيمة هي (أكبر + أكبر).
  • للطرح والضرب والقسمة: لا تقم أبداً بطرح أو قسمة أو ضرب الحصرات مباشرة إذا كانت هناك أعداد سالبة! الطريقة الآمنة هي تحويل العملية إلى جمع أو ضرب وحصر كل جزء على حدة ثم تطبيق قواعد الجمع أو الضرب.

تمرين تطبيقي

ليكن \( 6 \le a \le 8 \) و \( -4 \le b \le -2 \). أحصر \(a^2\), \(b^2\), و \(a-b\).

إظهار الحل المفصل▼

1) حصر \(a^2\): بما أن \(a\) موجب، نحافظ على الترتيب: \( 6^2 \le a^2 \le 8^2 \implies \mathbf{36 \le a^2 \le 64} \)

2) حصر \(b^2\): بما أن \(b\) سالب، نعكس الترتيب: \( (-4)^2 \ge b^2 \ge (-2)^2 \implies 16 \ge b^2 \ge 4 \). أي \( \mathbf{4 \le b^2 \le 16} \).

3) حصر \(a-b\): نحصر \(a\) و \(-b\). لدينا \( -4 \le b \le -2 \implies 2 \le -b \le 4 \). الآن نجمع:
\( \begin{array}{rcccl} 6 & \le & a & \le & 8 \\ 2 & \le & -b & \le & 4 \\ \hline (6+2) & \le & a-b & \le & (8+4) \end{array} \)
\( \mathbf{8 \le a-b \le 12} \)