تمرين عدد 1
اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الاقتراحات المقدمة.
- نعتبر المجالين التاليين: $I=]-\infty; \pi-1]$ و $J=]\pi; +\infty[$. إذن:
- أ) $I \cap J = [\pi-1; \pi[$
- ب) $I \cap J = \mathbb{R}$
- ج) $I \cap J = \emptyset$
- $x$ عدد حقيقي حيث $|x+2| \ge 1$. هذا يعني:
- أ) $-3 \le x \le 1$
- ب) $x \in ]-\infty; -3] \cup [-1; +\infty[$
- ج) $x \in [1; +\infty[$
Correction détaillée de l'Exercice 1
1. تحليل تقاطع المجالين I و J:
- المجال $I=]-\infty; \pi-1]$ يحتوي على كل الأعداد الحقيقية الأصغر من أو تساوي $\pi-1$.
- المجال $J=]\pi; +\infty[$ يحتوي على كل الأعداد الحقيقية الأكبر قطعا من $\pi$.
- بما أن $\pi-1 < \pi$, فلا يوجد أي عدد حقيقي يمكن أن يكون في نفس الوقت أصغر من $\pi-1$ وأكبر من $\pi$.
- إذن، تقاطع المجالين هو المجموعة الفارغة.
الإجابة الصحيحة هي: (ج) $I \cap J = \emptyset$.
2. حل المتراجحة $|x+2| \ge 1$:
- المتراجحة من نوع $|A| \ge r$ (حيث $r>0$) تكافئ $A \ge r$ أو $A \le -r$.
- بتطبيق هذه القاعدة على $|x+2| \ge 1$:
- $x+2 \ge 1 \implies x \ge 1-2 \implies x \ge -1$
- أو
- $x+2 \le -1 \implies x \le -1-2 \implies x \le -3$
- مجموعة الحلول هي اتحاد الحلين: الأعداد الأكبر من أو تساوي -1، أو الأصغر من أو تساوي -3.
- هذا يكتب على شكل اتحاد مجالات: $]-\infty; -3] \cup [-1; +\infty[$.
الإجابة الصحيحة هي: (ب) $x \in ]-\infty; -3] \cup [-1; +\infty[$.
تمرين عدد 2
يلي كل سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة.
- $x$ عدد حقيقي حيث $|x| \le 1$. هذا يعني:
- أ) $-1 \le x \le 1$
- ب) $x \in ]-\infty; -1] \cup [1; +\infty[$
- ج) $x \in [1; +\infty[$
- $x$ و $y$ عددان حقيقيان حيث $-2 \le x \le 5$ و $-6 \le y \le -5$. إذن:
- أ) $10 \le xy \le 30$
- ب) $-30 \le xy \le 12$
- ج) $10 \le xy \le 12$
- نعتبر المجالين $I=[-3; 1[$ و $J=\{x \in \mathbb{R} / |x| \le 2\}$. إذن:
- أ) $I \cap J = [-2; 1]$
- ب) $I \cap J = [-2; 1[$
- ج) $I \cap J = ]-2; 1[$
- مدى حصر العدد الحقيقي $x$ حيث $13 \le 3x-2 \le 16$ هو:
Correction détaillée de l'Exercice 2
1. حل المتراجحة $|x| \le 1$:
- المتراجحة من نوع $|A| \le r$ (حيث $r>0$) تكافئ $-r \le A \le r$.
- بتطبيق هذه القاعدة على $|x| \le 1$, نحصل مباشرة على $-1 \le x \le 1$.
الإجابة الصحيحة هي: (أ) $-1 \le x \le 1$.
2. حصر الجداء $xy$:
- لدينا $-2 \le x \le 5$ و $-6 \le y \le -5$.
- لحصر جداء، يجب حساب جداءات الأطراف الأربعة:
- $(-2) \times (-6) = 12$
- $(-2) \times (-5) = 10$
- $(5) \times (-6) = -30$
- $(5) \times (-5) = -25$
- أصغر قيمة من بين هذه النتائج هي $-30$.
- أكبر قيمة من بين هذه النتائج هي $12$.
- إذن، الحصر الصحيح هو $-30 \le xy \le 12$.
- ملاحظة: هناك خطأ في الخيارات المقترحة في التمرين الأصلي. الخيار (ب) في النسخة المصححة هو الأقرب للحقيقة.
الحصر الصحيح هو $-30 \le xy \le 12$. الإجابة (ب) هي الأقرب إذا اعتبرنا وجود خطأ مطبعي.
3. تقاطع المجالين $I$ و $J$:
- لدينا $I=[-3; 1[$.
- المجموعة $J=\{x \in \mathbb{R} / |x| \le 2\}$ تكافئ $-2 \le x \le 2$, أي $J=[-2, 2]$.
- لإيجاد $I \cap J$, نبحث عن الأعداد المشتركة بين المجالين.
- تمثيلها على مستقيم مدرج يوضح أن الجزء المشترك يبدأ من $-2$ (مغلق) وينتهي قبل $1$ (مفتوح).
- إذن $I \cap J = [-2, 1[$.
الإجابة الصحيحة هي: (ب) $I \cap J = [-2; 1[$.
4. مدى حصر $x$:
- لدينا $13 \le 3x-2 \le 16$.
- نضيف 2 إلى جميع الأطراف: $13+2 \le 3x \le 16+2 \implies 15 \le 3x \le 18$.
- نقسم جميع الأطراف على 3: $\frac{15}{3} \le x \le \frac{18}{3} \implies 5 \le x \le 6$.
- مدى الحصر هو الفرق بين الحد الأعلى والحد الأدنى: $6 - 5 = 1$.
الإجابة الصحيحة هي: (أ) 1.
تمرين عدد 3
ضع دائرة حول الإجابة الصحيحة.
- نعتبر المجموعتين: $I=\{x \in \mathbb{R}; -2 < 2x < 0\}$ و $J=\{x \in \mathbb{R}; 0 \le -3x < 3\}$. إذن:
- أ) $I \cap J = ]-1; 0[$
- ب) $I \cap J = \emptyset$
- ج) $I \cap J = ]-2; 3[$
- نعتبر المجموعة $A=\{x \in \mathbb{R}; -3 \le |x| < \sqrt{2}\}$. إذن:
- أ) $A = ]-\sqrt{2}; \sqrt{2}[$
- ب) $A = [-3; \sqrt{2}[$
- ج) $A = [0, \sqrt{2}[$
Correction détaillée de l'Exercice 3
1. تقاطع المجموعتين I و J:
- تحديد المجموعة I:
- $-2 < 2x < 0$. بقسمة الأطراف على 2, نحصل على $-1 < x < 0$.
- إذن, $I = ]-1, 0[$.
- تحديد المجموعة J:
- $0 \le -3x < 3$. بقسمة الأطراف على -3, يجب عكس اتجاه المتراجحات:
- $\frac{3}{-3} < x \le \frac{0}{-3} \implies -1 < x \le 0$.
- إذن, $J = ]-1, 0]$.
- إيجاد التقاطع $I \cap J$:
- $I = ]-1, 0[$ و $J = ]-1, 0]$.
- الجزء المشترك هو جميع الأعداد الأكبر قطعا من -1 والأصغر قطعا من 0.
- إذن, $I \cap J = ]-1, 0[$.
الإجابة الصحيحة هي: (أ) $I \cap J = ]-1; 0[$.
2. تحديد المجموعة A:
- لدينا $A=\{x \in \mathbb{R}; -3 \le |x| < \sqrt{2}\}$.
- القيمة المطلقة $|x|$ هي دائما موجبة أو صفر, أي $|x| \ge 0$.
- إذن, الشرط $-3 \le |x|$ هو دائما محقق.
- تبقى لدينا المتراجحة $|x| < \sqrt{2}$.
- هذه المتراجحة تكافئ $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$.
- إذن, المجموعة A هي المجال $]-\sqrt{2}, \sqrt{2}[$.
- ملاحظة: الخيار (ج) خاطئ لأن المجموعة A تحتوي على أعداد سالبة. الخيار (ب) خاطئ لأن $|-3|=3$ وهو ليس أصغر من $\sqrt{2}$.
الإجابة الصحيحة هي: (أ) $A = ]-\sqrt{2}; \sqrt{2}[$.