سلسلة تمارين شاملة: الحصر والمجالات

الأستاذ: دفواراتي
أساسيات المجالات والقيمة المطلقة
تمرين 1

  1. 1. $I=]-\infty; \pi-1]$ و $J=]\pi; +\infty[$. ما هي قيمة $I \cap J$؟

    هل يوجد عدد حقيقي يمكن أن يكون أصغر من $\pi-1$ وأكبر من $\pi$ في نفس الوقت؟
    1. حلل معنى كل مجال: $I$ يحتوي كل الأعداد حتى $\pi-1$, و $J$ يحتوي كل الأعداد بعد $\pi$.
    2. لاحظ أن $\pi-1$ أصغر من $\pi$. استنتج أنه لا يوجد تداخل.
    بما أن $\pi-1 < \pi$, فإن المجال $I$ ينتهي قبل أن يبدأ المجال $J$. لذلك، لا توجد عناصر مشتركة بينهما. الإجابة الصحيحة هي المجموعة الفارغة $\emptyset$.

  2. 2. $|x+2| \ge 1$. هذا يعني:

    تذكر القاعدة: $|A| \ge r$ تكافئ $A \ge r$ أو $A \le -r$.
    1. طبق القاعدة على $|x+2| \ge 1$ لإنشاء متباينتين.
    2. حل $x+2 \ge 1$ و $x+2 \le -1$.
    3. الحل النهائي هو اتحاد الحلين.
    الحل هو $x+2 \ge 1$ (أي $x \ge -1$) أو $x+2 \le -1$ (أي $x \le -3$). هذا يمثل اتحاد المجالين: $]-\infty; -3] \cup [-1; +\infty[$.
تطبيقات مباشرة
تمرين 2

  1. 1. $|x| \le 1$. هذا يعني:

    القاعدة $|A| \le r$ تكافئ $-r \le A \le r$. بتطبيقها، $|x| \le 1$ تعني مباشرة $-1 \le x \le 1$.

  2. 2. $-2 \le x \le 5$ و $-6 \le y \le -5$. ما هو حصر $xy$؟

    يجب اختبار كل جداءات الأطراف: $(-2)(-6)=12$, $(-2)(-5)=10$, $(5)(-6)=-30$, $(5)(-5)=-25$. أصغر قيمة هي $-30$ وأكبرها $12$. إذن $-30 \le xy \le 12$.

  3. 3. $I=[-3; 1[$ و $J=\{x \in \mathbb{R} / |x| \le 2\}$. ما هي قيمة $I \cap J$؟

    $|x| \le 2$ يعني $J=[-2, 2]$. الجزء المشترك بين $I=[-3; 1[$ و $J=[-2, 2]$ هو $[-2, 1[$.
عمليات متقدمة على الحصر
تمرين 3

  1. 1. إذا كان $-4 \le x \le -2$, فما هو حصر $x^2$؟

    عند تربيع مجال سالب، تنعكس المتباينة. $(-2)^2=4$ و $(-4)^2=16$. إذن $4 \le x^2 \le 16$. الخيار (أ) و (ج) متكافئان رياضياً، لكن (أ) هي الصيغة المعتادة.

  2. 2. إذا كان $2 < x < 5$, فما هو حصر $\frac{1}{x}$؟

    عند أخذ مقلوب مجال موجب، تنعكس المتباينة. إذن من $2 < x < 5$ نحصل على $\frac{1}{5} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$.
المجالات والقيمة المطلقة
تمرين 4

  1. 1. أي علاقة قيمة مطلقة تطابق المجال $x \in [-1, 7]$؟

    المركز $c = \frac{-1+7}{2}=3$. نصف القطر $r = \frac{7-(-1)}{2}=4$. الصيغة هي $|x-c| \le r$, أي $|x-3| \le 4$.

  2. 2. أي مجال يطابق العلاقة $|x+5| > 2$؟

    العلاقة $|A| > r$ تكافئ $A > r$ أو $A < -r$. إذن $x+5 > 2$ (أي $x > -3$) أو $x+5 < -2$ (أي $x < -7$). هذا هو اتحاد المجالين $]-\infty, -7[ \cup ]-3, +\infty[$.
حالات خاصة ومتقدمة
تمرين 5

  1. 1. إذا كان $-5 < x < 3$, فما هو حصر $x^2$؟

    بما أن المجال $[-5, 3]$ يحتوي على الصفر، فإن أصغر قيمة لـ $x^2$ هي $0$. أكبر قيمة هي $\max((-5)^2, 3^2) = \max(25, 9) = 25$. إذن $0 \le x^2 < 25$.

  2. 2. إذا كان $x \in [-2, 3]$, فما هو حصر $\frac{1}{x+4}$؟

    1. نجد حصر المقام: $-2 \le x \le 3 \implies -2+4 \le x+4 \le 3+4 \implies 2 \le x+4 \le 7$.
    2. المقام موجب ولا يحتوي الصفر. نأخذ المقلوب ونعكس المتباينة: $\frac{1}{7} \le \frac{1}{x+4} \le \frac{1}{2}$.