سلسلة تمارين: الحصر والمجالات

إعداد الأستاذ: دفواراتي

تمرين عدد 1

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الاقتراحات المقدمة.

  1. نعتبر المجالين التاليين: $I=]-\infty; \pi-1]$ و $J=]\pi; +\infty[$. إذن:
    • أ) $I \cap J = [\pi-1; \pi[$
    • ب) $I \cap J = \mathbb{R}$
    • ج) $I \cap J = \emptyset$
  2. $x$ عدد حقيقي حيث $|x+2| \ge 1$. هذا يعني:
    • أ) $-3 \le x \le 1$
    • ب) $x \in ]-\infty; -3] \cup [-1; +\infty[$
    • ج) $x \in [1; +\infty[$

تمرين عدد 2

يلي كل سؤال ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة.

  1. $x$ عدد حقيقي حيث $|x| \le 1$. هذا يعني:
    • أ) $-1 \le x \le 1$
    • ب) $x \in ]-\infty; -1] \cup [1; +\infty[$
    • ج) $x \in [1; +\infty[$
  2. $x$ و $y$ عددان حقيقيان حيث $-2 \le x \le 5$ و $-6 \le y \le -5$. إذن:
    • أ) $10 \le xy \le 30$
    • ب) $-30 \le xy \le -10$
    • ج) $10 \le xy \le 12$
  3. نعتبر المجالين $I=[-3; 1[$ و $J=\{x \in \mathbb{R} / |x| \le 2\}$. إذن:
    • أ) $I \cap J = [-2; 1]$
    • ب) $I \cap J = [-2; 1[$
    • ج) $I \cap J = ]-2; 1[$
  4. مدى حصر العدد الحقيقي $x$ حيث $13 \le 3x-2 \le 16$ هو:
    • أ) 1
    • ب) 3
    • ج) -3

تمرين عدد 3

ضع دائرة حول الإجابة الصحيحة.

  1. نعتبر المجموعتين: $I=\{x \in \mathbb{R}; -2 < 2x < 0\}$ و $J=\{x \in \mathbb{R}; 0 \le -3x < 3\}$. إذن:
    • أ) $I \cap J = ]-1; 0[$
    • ب) $I \cap J = \emptyset$
    • ج) $I \cap J = ]-2; 3[$
  2. نعتبر المجموعة $A=\{x \in \mathbb{R}; -3 \le |x| < \sqrt{2}\}$. إذن:
    • أ) $A = ]-\sqrt{2}; \sqrt{2}[$
    • ب) $A = [-3; \sqrt{2}[$
    • ج) $A = [0, \sqrt{2}[$

تمرين عدد 4

أنقل في كل مرة على ورقة تحريرك رقم السؤال والإجابة الوحيدة الصحيحة الموافقة.

  1. مجموعة حلول المتراجحة $6x-5 < 4x+1$ في $\mathbb{R}$ هي:
    • أ) $]-\infty; -3[$
    • ب) $]-\infty; 3[$
    • ج) $]3; +\infty[$
  2. ABCD مربع بحيث $AB = 1$ و $I$ منتصف $[AB]$. الدائرة التي مركزها $I$ وتمر من النقطة $C$ تقطع نصف المستقيم $[AB)$ في نقطة $E$. إذن البعد $EI$ يساوي:
    • أ) $EI = \frac{3}{2}$
    • ب) $EI = \frac{\sqrt{5}}{2}$
    • ج) $EI = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

تمرين عدد 5

ماهي الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين المقترحات الثلاثة؟

  1. العبارة $A=\{x \in \mathbb{R} / -1 \le x < 1\}$ تعني:
    • أ) $A = ]-1; 1]$
    • ب) $A = ]-1; 1[$
    • ج) $A = [-1; 1[$
  2. العبارة $x \in [-\pi, +\infty[$ تعني:
    • أ) $|x| < \pi$
    • ب) $x \le -\pi$
    • ج) $x \ge -\pi$
  3. العبارة $|x| \ge \sqrt{2}$ تعني:
    • أ) $x \in [\sqrt{2}; +\infty[$
    • ب) $x \in ]-\infty; -\sqrt{2}]$
    • ج) $x \in ]-\infty; -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}; +\infty[$
  4. إذا عامد مستقيمان نفس المستوي فهما:
    • أ) متعامدان
    • ب) متوازيان
    • ج) ليسا في نفس المستوي

تمرين عدد 6

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة.

  1. مجموعة حلول المعادلة $x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$ في المجموعة $\mathbb{R}$ هي:
    • أ) $S_{\mathbb{R}}=\{\frac{3}{2}\}$
    • ب) $S_{\mathbb{R}}=\{-\frac{1}{2}; \frac{3}{2}\}$
    • ج) $S_{\mathbb{R}}=\{\frac{1}{2}\}$
  2. إذا كان $1 < \frac{\sqrt{2}}{1-x\sqrt{2}} < 2$ فإن:
    • أ) $\sqrt{2}-1 < 2x < \sqrt{2}-2$
    • ب) $1-\sqrt{2} < 2x < 2-\sqrt{2}$
    • ج) $\sqrt{2}-2 < 2x < \sqrt{2}-1$
  3. إذا كان ABC مثلثا متقايس الضلعين قمته A بحيث $BC=6$ و $AB=3\sqrt{5}$ و G مركز ثقله، فإن:
    • أ) $BG = \sqrt{13}$
    • ب) $BG = \frac{2}{3}\sqrt{13}$
    • ج) $BG = \frac{\sqrt{13}}{3}$

تمرين عدد 7

أختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الاقتراحات المقدمة.

  1. علما أن $\sqrt{5} \approx 2,23606...$، حصر العدد $\sqrt{5}$ الذي مداه $10^{-3}$ هو:
    • أ) $2,2 < \sqrt{5} < 2,237$
    • ب) $2,236 < \sqrt{5} < 2,237$
    • ج) $2,237 < \sqrt{5} < 2,238$
  2. إذا كانت $E=\{x \in \mathbb{R}; |x| \ge 5\}$ فإن:
    • أ) $E = [0, 5]$
    • ب) $E = [-5, 5]$
    • ج) $E = ]-\infty; -5] \cup [5; +\infty[$
  3. إذا كان مستقيم مواز لمستو، فهو مواز لكل مستقيمات ذلك المستوي:
    • أ) صواب
    • ب) خطأ
  4. كل رباعي محدب قطراه متعامدان هو معين:
    • أ) صواب
    • ب) خطأ

تمرين عدد 8

الجزء الأول

نعتبر المجموعات التالية: $I = ]-\frac{3}{2}; 1[$, $J = \{x \in \mathbb{R}; x < 2\}$, $K = \{x \in \mathbb{R}_{+}; |x| \le 3\}$.

  1. مثل كل من المجموعات $I$, $J$, و $K$ على نفس المستقيم المدرج.
  2. حدد المجموعات التالية: $I \cap J$, $I \cup J$, $I \cap K$, $J \cup K$.

الجزء الثاني

نعتبر في هذا الجزء أن $x \in ]-1, \frac{1}{2}[$.

  1. أوجد حصرا للعبارة $x + \frac{1}{4}$.
  2. استنتج أن $-1 < \frac{9}{16} - (x+\frac{1}{4})^{2} \le \frac{9}{16}$.
  3. أوجد حصرا للعبارتين $1-x$ و $5-4x$.
  4. اختصر العبارة $E = |5-4x| - |1-x|$.

تمرين عدد 9

ليكن $x$ العدد الحقيقي بحيث $-1 < x < 1-\sqrt{2}$.

  1. أوجد حصرا لكل من الأعداد التالية: $\frac{1}{x}$, $x^2+1$, و $(2\sqrt{2}-3)x$.
  2. استنتج أنّ: $\frac{1}{x} < x^3 < (2\sqrt{2}-3)x < x^2+1$.

تمرين عدد 10

الجزء الأول

x و y عددان حقيقيان حيث $-3 \le x \le -2$ و $2 \le y \le 4$.

  1. أوجد حصرا لـ $x-y$, $3x-2y$, و $\frac{x-2}{y}$.
  2. استنتج اختصارا للعبارة $A = |x-y| - |2y| + 2|y| \times |x|$.

الجزء الثاني

نعتبر المجموعات التالية: $E=\{x \in \mathbb{R}; -2 \le x < 2\}$, $F=\{x \in \mathbb{R}; x \le 2\}$, $H=\{x \in \mathbb{R}; |x| < \sqrt{17}\}$.

  1. أكتب كل من $E$, $F$, و $H$ في صيغة مجالات ثم مثلها على نفس المستقيم المدرج.
  2. حدد المجموعات التالية: $E \cap F$, $H \cup \mathbb{R}_{+}$.
  3. بين أن مربع كل عدد ينتمي إلى $E$ هو عدد ينتمي إلى $H$.

تمرين عدد 11

نعتبر العبارة التالية $E=(2x+2)^{2}-9$.

  1. أنشر واختصر العبارة $E$.
  2. بين أن $E=(2x-1)(2x+5)$.
  3. حل في $\mathbb{R}$ ما يلي:
    • $E \le 4x^2+1$
    • $4(x+1)^{2}=9$
    • $|x^2-4|-|x-2|=0$
    • $\sqrt{E+9} \ge 5$
    • $5-2|x-3| \ge 1$
    • $2x^{2}-8+(x-2)(3x-5)=0$

تمرين عدد 12

الجزء الأول: حل في $\mathbb{R}$ المعادلات التالية

  1. $\sqrt{2}x-3 = x-1$
  2. $|x-\sqrt{2}| = |3x-1|$

الجزء الثاني: ليكن $x$ عدد حقيقي

نعتبر العبارتين $A = -x - 3$ بحيث $A > -4$ و $B = \frac{x}{x-3}$.

  1. بين أن $x \in [-2, 1]$.
    1. بين أن $x - 3 < 0$.
    2. بين أن $B = 1 + \frac{3}{x-3}$.
    3. استنتج حصرا لـ $B$.

تمرين عدد 13

الجزء الأول: حل في $\mathbb{R}$ المعادلات التالية

  1. $(\sqrt{2}t - 1)(-t - \sqrt{2}) = -2t^2$
  2. $(t+1)^3 - 4(t+1) = 0$

الجزء الثاني

نعتبر العبارة $A = \frac{2x+5}{x+1}$ بحيث $x \in [-3, -2]$.

    1. بين أن $x+1 < 0$.
    2. أوجد حصرا لـ $\frac{1}{x+1}$.
    1. بين أن $A = 2 + \frac{3}{x+1}$.
    2. استنتج حصرا لـ $A$.

تمرين عدد 14

نعتبر المجالين التاليين $I = [-\frac{3}{2}, 2]$ و $J = [2, \frac{9}{2}[$.

  1. مثّل على نفس المستقيم المدرّج بلونين مختلفين المجالين $I$ و $J$.
  2. حدد المجموعات التالية:
    • $I \cap J$
    • $I \cup J$
    • $I \cap \{\pi, \sqrt{2}, -\frac{\sqrt{5}}{3}, 2\}$
  3. ليكن $x$ و $y$ عددين حقيقيين حيث $x \in I$ و $y \in J$. بين أنّ $y+x$ عدد حقيقي موجب.

تمرين عدد 15

ليكن $x$ عددا حقيقيا والعبارة $A = x^2 - x + \frac{1}{2}$.

  1. بين أن $A = \frac{5}{2} + \sqrt{2}$ في حالة $x = 1 + \sqrt{2}$. ثم قارن في هذه الحالة $A$ و $4$.
  2. إذا علمت أن $x \in ]0; 1[$.
    1. بين أن $A = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$.
    2. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $A = \frac{5}{2}$.
    3. استنتج حصرا لـ $A$.
    4. لتكن العبارة $B = 2x-3$. أوجد حصرا لـ $B$ و $A \times B$ واستنتج أن $-\frac{3}{2} < A \times B < -\frac{1}{4}$.

تمرين عدد 16

نعتبر المجموعتين $I$ و $J$ التاليتين: $I = \{x \in \mathbb{R}; x \le -\frac{1}{2}\}$ و $J = \{x \in \mathbb{R}; |x + 1| < \frac{2}{3}\}$.

  1. أكتب $I$ و $J$ في صيغة مجالات.
  2. حدد $I \cap J$ و $J \cap \mathbb{Z}$.
  3. بين أن $-\frac{2\sqrt{2}}{3} \in I \cap J$.

تمرين عدد 17

نعتبر العبارة $E = 2x - \sqrt{2}$ إذا علمت أن $x \in \mathbb{R}$ حيث $|3x - 1| \le \frac{1}{2}$.

    1. بين أن $x \in [\frac{1}{6}, \frac{1}{2}]$.
    2. استنتج حصرا لـ $E$ ثم استنتج علامة $E$.
    3. بين أن $2x^2 - x\sqrt{2} = xE$. ثم استنتج علامة $2x^2 - x\sqrt{2}$.
    4. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $|2x^2 - x\sqrt{2}| = |\sqrt{2} - 2x|$.
  2. لتكن العبارة $F = 4x^2 - 4\sqrt{2}x + 7$.
    1. بين أن $F = E^2 + 5$.
    2. احسب $F$ إذا علمت أن $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ثم استنتج حسابا لـ $\sqrt{10 - 2\sqrt{6}}$.
    3. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $F=9$.
    4. حل في $\mathbb{Z}$ المتراجحة $\sqrt{F} - 5 > \sqrt{2}$.

تمرين عدد 18

نعتبر العددين الحقيقيين $x$ و $y$ حيث $2 \le -2x + 1 \le 4$ و $3 \le y \le 5$.

    1. بين أن $x \in [-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}]$ محدّدا مدى حصر العدد $x$.
    2. أوجد حصرا لـ $y-x$ و $\frac{x}{y}$.
    1. بيّن أنّ $2y - 11 \le 0$.
    2. استنتج أن $(2y - 11)^2 \in [1, 25]$.
  3. اختصر العبارة $E$ التالية: $E = \sqrt{4y^2 - 44y + 121} + |(-x)^2 - y|$.

تمرين عدد 19

ليكن العدد الحقيقي $x$ بحيث $-4 \le -3x + 2 \le 8$.

  1. بين أنّ: $x \in [-2, 2]$.
  2. أوجد حصرا لـ $x - 4$ ولـ $2x - 5$.
  3. لتكن العبارة: $E = 16 - x^2 + (x - 9)(4 - x)$.
    1. فكك إلى جذاء عوامل العبارة $E$.
    2. استنتج حصرا للعبارة $E$.

تمرين عدد 20

الجزء الأول

لتكن العبارة $A = x^2 - 8x + 12$ حيث $x$ عدد حقيقي.

  1. أحسب القيمة العددية للعبارة $A$ إذا كان $x = 1 - \sqrt{3}$.
    1. بين أنّ $x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16$.
    2. استنتج بالتفكيك أن $A = (x - 2)(x - 6)$.
  3. حلّ في $\mathbb{R}$ المعادلة $x^2 - 8x + 12 = 0$.

الجزء الثاني

في هذا الجزء $x$ عدد حقيقي موجب قطعا. في الشكل التالي: AMEF مربع و MBC مثلث قائم في B حيث M نقطة من $[AB]$ مخالفة للنقطتين A و B و $AB = 6$ و $BC = x$ و $AM = 2BC$.

  1. عبر عن $BM$ بدلالة $x$.
  2. أوجد $x$ حتى تكون مساحة المربع AMEF تساوي ضعف مساحة المثلث MBC.
  3. نفترض في هذا السؤال أن $x=2$. أحسب الطول $MC$.

تمرين عدد 21

نعتبر العددين الحقيقيين $a = \sqrt{5}-2$ و $b = \sqrt{5}+2$.

  1. بيّن أن $a$ هو مقلوب $b$.
  2. استنتج قيمة $a^2(b+1)-b$.
  3. علما وأن $2.236 < \sqrt{5} < 2.237$ أوجد حصرا للعدد $a$ سعته $10^{-3}$.

تمرين عدد 22

ليكن $x$ عدد حقيقي حيث $-1 < x < 0$.

  1. أوجد حصرًا للعدد $\frac{1}{x}$.
  2. رتب تصاعديا الأعداد التالية: $x$, $x^2$, $\frac{1}{x}$.
    1. بين أن $|x-\frac{1}{x}| = \frac{1}{x}-x$.
    2. حل في $\mathbb{R}$ المعادلة $|x-\frac{1}{x}| = x^2+\frac{3}{4}$.

تمرين عدد 23

نعتبر $x = 1+\sqrt{3}$ و $y = 1-2\sqrt{3}$.

  1. قارن $2\sqrt{3}$ و $3\sqrt{2}$.
  2. أحسب $x^2$ و $y^2$.
  3. استنتج مقارنة لـ $x$ و $|y|$.
  4. نعتبر $E = ]1-\sqrt{3}, 1+\sqrt{3}[$ و $F = ]\sqrt{3}-2, 2\sqrt{3}-1[$. بين أن $x \in E$ و $y \in F$.

تمرين عدد 24

نعتبر العدد الحقيقي $a = 2\sqrt{5}-3$.

  1. بين ان $a \in ]1, 2[$.
  2. نعتبر العبارة $E = \frac{2a^2+3a+3}{a^2+1}$.
    1. جد حصرا لكل من $3a+1$ و $a^2+1$.
    2. استنتج أن $\frac{3a+1}{a^2+1} \in [\frac{4}{5}, \frac{7}{2}[$.
    3. بين أن $E = 2 + \frac{3a+1}{a^2+1}$.
    4. استنتج أن $E \in [\frac{14}{5}, \frac{11}{2}[$.
    5. بين أن $|5E-14| + 2|2E-11| - 3\sqrt{(E-2)^2} - 12 = 0$.

تمرين عدد 25

نعتبر العبارة $A = \frac{1}{(x-y)^2} \times (\frac{x^2+y^2}{xy}-2) \times \frac{1}{xy}$

  1. اختصر العبارة $A$.
  2. أعط الكتابة العلمية لـ $A$ إذا كان $x = \frac{1}{20}$ و $y = 0.25 \times 10^{-4}$.
  3. إذا كان $x \in [-4, -1]$ و $y \in [3, 4]$، أوجد حصرا لـ $x^2$ و $y^2$.
  4. استنتج حصرا لـ $\sqrt{A}$ في هذه الحالة.

تمرين عدد 26

ليكن $x$ و $y$ عددان حقيقيان بحيث $x \in [-3, -1]$ و $y \in [1, 2]$.

  1. إختصر العبارة $B = -2|y-x| - y|2x+1| + 2|xy|$.

تمرين عدد 27

ليكن $x$ عدد حقيقي بحيث $-3x+1 \in [1, 4]$.

  1. بين أن $x \in [-1, 0]$ وأن $x-1 \ne 0$.
  2. نعتبر العبارتين $A = \frac{x+7}{x-1}$ و $B = \frac{x^2-2x+3}{x-1}$.
    1. بين أن $A = 1 + \frac{8}{x-1}$ و $B = x-1 + \frac{2}{x-1}$.
    2. استنتج حصرا لـ $A$ و $B$.

تمرين عدد 28

  1. مثل على نفس المستقيم المدرج المجموعات التالية بعد كتابتها على شكل مجالات:
    $A = \{x \in \mathbb{R}; x > 2\}$, $B = \{x \in \mathbb{R}; x \le -1\}$, $C = \{x \in \mathbb{R}; \frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{4}\}$, $D = \{x \in \mathbb{R}; -1 < x < \frac{5}{2}\}$.
  2. أوجد المجموعات التالية: $A \cap C$, $A \cup D$, $C \cap D$, $D \cap \mathbb{Z}$, $D \cap \mathbb{R}_-$, $C \cup B$, $A \cap \{-5; -3; -2; 3; 5\}$.
  3. إذا كان $x \in B$, أوجد كتابة مختصرة لـ $M = |4x-5| - |-8x+4|$.
  4. لتكن العبارة $N = (x+1)(x-5)$ حيث $2 \le x \le 6$.
    1. أوجد حصرا لـ $x+1$ و $x-5$.
    2. هل يمكن استنتاج حصرا لـ $N$? علل جوابك.
    1. بين أن $N = (x-2)^2 - 9$.
    2. استنتج حصرا لـ $N$.