نعتبر المجالات التالية: $I=]-\infty;\Pi-1]$ و $J=]\Pi;+\infty[$. ما هو تقاطعهما؟
لإيجاد التقاطع، يجب أولاً تمثيل المجالين على خط الأعداد. لاحظ أن $\Pi \approx 3.14$ و $\Pi-1 \approx 2.14$.
المجال $I$ يشمل كل الأعداد الأصغر من أو تساوي $\Pi-1$.
المجال $J$ يشمل كل الأعداد الأكبر تماماً من $\Pi$.
التقاطع $I \cap J$ هو مجموعة الأعداد التي تنتمي إلى $I$ و $J$ في نفس الوقت.
بما أن $\Pi-1 < \Pi$، فإن أي عدد في $I$ سيكون أصغر من أي عدد في $J$. لا يوجد أي عدد مشترك بين المجالين.
بما أن المجالين منفصلين تمامًا ولا يتداخلان، فإن تقاطعهما هو المجموعة الفارغة.
$\boldsymbol{I \cap J = \emptyset}$
الخيار الصحيح هو (ج).
أوجد مجموعة حلول المتراجحة $|x+2|\ge1$.
تذكر القاعدة: المتراجحة $|A| \ge B$ (حيث $B>0$) تكافئ $A \ge B$ أو $A \le -B$.
هنا، $A=x+2$ و $B=1$. عليك حل حالتين منفصلتين.
الحالة الأولى: $x+2 \ge 1 \implies x \ge 1-2 \implies x \ge -1$
الحالة الثانية: $x+2 \le -1 \implies x \le -1-2 \implies x \le -3$
مجموعة الحلول هي اتحاد المجالين الناتجين.
الحلول هي كل الأعداد الأكبر من أو تساوي $-1$ أو الأصغر من أو تساوي $-3$.
في صيغة المجالات، هذا يكتب على شكل اتحاد:
$\boldsymbol{x \in ]-\infty, -3] \cup [-1, +\infty[}$
الخيار الصحيح هو (أ).
عددان حقيقيان $x$ و $y$ حيث $-2 \le x \le 5$ و $-6 \le y \le 5$. أوجد حصرًا للجداء $xy$.
عندما تحتوي مجالات الحصر على أعداد موجبة وسالبة، لا يمكن ضرب الأطراف مباشرة. يجب حساب كل التركيبات الممكنة لجداء أطراف المجالين.
نحسب الجداءات الأربعة الممكنة بين أطراف مجالي $x$ و $y$:
الحد الأدنى للجداء $xy$ هو أصغر قيمة من بين هذه النتائج. والحد الأعلى هو أكبر قيمة.
أصغر قيمة ممكنة لـ $xy$ هي $\min(12, -10, -30, 25) = -30$.
أكبر قيمة ممكنة لـ $xy$ هي $\max(12, -10, -30, 25) = 25$.
إذن، الحصر الصحيح هو: $\boldsymbol{-30 \le xy \le 25}$
الخيار الصحيح هو (ج).
ABCD مربع طول ضلعه $1$cm و I منتصف [AB]. الدائرة التي مركزها I وتمر من النقطة D تقطع نصف المستقيم [AB) في نقطة E. ما هي قيمة الطول $AE$؟
ارسم الشكل. المثلث $ADI$ هو مثلث قائم الزاوية في $A$. يمكنك استخدام مبرهنة فيثاغورس لحساب طول الوتر $ID$.
نصف قطر الدائرة هو المسافة $ID$. وبما أن $E$ تقع على الدائرة، فإن $IE = ID$.
1. المعطيات: $AD = 1$, $AI = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}$.
2. في المثلث القائم $ADI$، نطبق فيثاغورس: $ID^2 = AD^2 + AI^2 = 1^2 + (0.5)^2 = 1.25$.
3. إذن، $ID = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
4. بما أن $E$ على الدائرة، فإن نصف القطر $IE = ID = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
5. الطول المطلوب هو $AE$. بما أن النقاط $A, I, E$ على استقامة واحدة، فإن $AE = AI + IE$.
بإكمال الحسابات من الخطوة الأخيرة:
$AE = AI + IE = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \implies \boldsymbol{AE = \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$
هذه القيمة هي "الرقم الذهبي". الخيار الصحيح هو (أ).
أوجد مجموعة حلول المعادلة $x^2-x+\frac{1}{4}=1$ في $\mathbb{R}$.
لاحظ أن الطرف الأيسر من المعادلة، $x^2-x+\frac{1}{4}$، هو مربع كامل (جداء شهير).
تذكر الصيغة: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
1. يمكن كتابة المعادلة على الشكل: $(x-\frac{1}{2})^2 = 1$.
2. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، نحصل على معادلتين: $x-\frac{1}{2} = 1$ أو $x-\frac{1}{2} = -1$.
3. حل كل معادلة على حدة لإيجاد قيم $x$.
الحالة الأولى: $x-\frac{1}{2} = 1 \implies x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
الحالة الثانية: $x-\frac{1}{2} = -1 \implies x = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
إذن، مجموعة الحلول هي: $\boldsymbol{S_{\mathbb{R}}=\{-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\}}$
الخيار الصحيح هو (ب).