سلسلة تمارين: الحصر والمجالات 2

دفواراتي
المجموعات والحصر المتقدم
تمرين عدد 11

نعتبر المجموعات التالية:

\( I = \{x \in \mathbb{R}; -\frac{5}{2} \le x \le 3\} \)
\( J = \{x \in \mathbb{R}; 3 \le x \le 4\} \)
\( K = \{x \in \mathbb{R}; x < -\frac{1}{2} - \sqrt{2}\} \)

I.

  1. اكتب المجموعات السابقة في صيغة مجال ومثلها على نفس المستقيم العددي.
  2. أوجد \(I \cap K\) ؛ \(I \cup K\) ؛ \(I \cap \mathbb{Z}\).

II. ليكن \(x\) و \(y\) عددان حقيقيان حيث \(x \in I\) و \(y \in J\).

    1. أوجد حصرا لـ \(y-x\) و \(xy\) و \(2y-9\).
    2. استنتج أن \( (4y^2 - 36y + 81) \in [1, 9] \).
  2. ليكن \( E = \frac{y}{x+3} \)
    1. بيّن أن \(x+3 \ne 0\).
    2. أوجد حصرا لـ E.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر المجموعات والحصر

🎯 المفاهيم الأساسية:

  • كتابة المجالات: \(\{x \in \mathbb{R}; a \le x \le b\} = [a, b]\)
  • العمليات على المجموعات:
    • التقاطع \(\cap\): العناصر المشتركة
    • الاتحاد \(\cup\): جمع كل العناصر
  • قواعد الحصر الأساسية:
    • إذا \(a \le x \le b\) و \(c \le y \le d\) فإن \((a+c) \le x+y \le (b+d)\)
    • للضرب: نأخذ جميع النواتج الممكنة ونختار الأصغر والأكبر
    • عند التربيع: نراعي إشارة الأعداد

💡 تلميح: \(\sqrt{2} \approx 1.414\) للحسابات العددية

📝 الطريقة المنهجية

⚙️ الخطوات الأساسية:

الجزء I - المجموعات:

  1. تحويل كل مجموعة إلى صيغة مجال \([a, b]\) أو \(]a, b[\)
  2. رسم المجالات على مستقيم عددي
  3. إيجاد التقاطع والاتحاد بصرياً ومنطقياً

الجزء II - الحصر:

  1. للمجاميع والفروق: طبق قواعد الجمع على المجالات
  2. للضرب: احسب جميع النواتج الممكنة للأطراف
  3. للقسمة: تأكد أولاً من أن المقام لا يساوي صفراً
  4. للمتطابقات: استخدم الأشكال المألوفة مثل \((a-b)^2\)
⚠️ نقاط مهمة: انتبه لإشارات الأعداد عند الضرب والقسمة!

✅ الحل الكامل والتفصيلي

I.1) كتابة المجموعات في صيغة مجال:

  • \( I = [-\frac{5}{2}, 3] = [-2.5, 3] \)
  • \( J = [3, 4] \)
  • بما أن \( \sqrt{2} \approx 1.414 \)، فإن \( -\frac{1}{2} - \sqrt{2} \approx -0.5 - 1.414 = -1.914 \). إذن: \( K = ]-\infty, -0.5-\sqrt{2}[ \).

I.2) العمليات على المجموعات:

  • \(I \cap K\) (التقاطع): نبحث عن العناصر المشتركة بين \(I\) و \(K\).
    \( [-2.5, 3] \cap ]-\infty, -0.5-\sqrt{2}[ = [-2.5, -0.5-\sqrt{2}[ \).
  • \(I \cup K\) (الاتحاد): نجمع كل عناصر \(I\) و \(K\).
    \( [-2.5, 3] \cup ]-\infty, -0.5-\sqrt{2}[ = ]-\infty, 3] \).
  • \(I \cap \mathbb{Z}\): الأعداد الصحيحة في \( [-2.5, 3] \) هي: \( \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} \).

II.1.أ) إيجاد الحصر: (لدينا \( -2.5 \le x \le 3 \) و \( 3 \le y \le 4 \))

  • حصر \(y-x\): أولاً نحصر \(-x\). \( -2.5 \le x \le 3 \implies -3 \le -x \le 2.5 \).
    نجمع الحصرين: \( (3-3) \le y-x \le (4+2.5) \implies 0 \le y-x \le 6.5 \).
  • حصر \(xy\): بما أن \(y\) موجب و \(x\) يمكن أن يكون سالباً، نضرب أطراف مجال \(x\) في أطراف مجال \(y\) ونأخذ أصغر وأكبر ناتج.
    النواتج الممكنة: \( (-2.5 \times 3), (-2.5 \times 4), (3 \times 3), (3 \times 4) \) أي \( -7.5, -10, 9, 12 \).
    إذن: \( -10 \le xy \le 12 \).
  • حصر \(2y-9\): \( 3 \le y \le 4 \implies 6 \le 2y \le 8 \).
    نطرح 9: \( 6-9 \le 2y-9 \le 8-9 \implies -3 \le 2y-9 \le -1 \).

II.1.ب) الاستنتاج:

  • نلاحظ أن \( (4y^2 - 36y + 81) = (2y-9)^2 \).
    من الحصر السابق، لدينا \( -3 \le 2y-9 \le -1 \). بما أن جميع قيم هذا المجال سالبة، عند التربيع:
    \( (-1)^2 \le (2y-9)^2 \le (-3)^2 \implies 1 \le (2y-9)^2 \le 9 \).
    إذن، \( (4y^2 - 36y + 81) \in [1, 9] \) ✓

II.2) دراسة E:

  • أ) نبين أن \(x+3 \ne 0\):
    لدينا \( -2.5 \le x \le 3 \). نضيف 3 لجميع الأطراف:
    \( -2.5 + 3 \le x+3 \le 3+3 \implies 0.5 \le x+3 \le 6 \).
    بما أن الصفر ليس ضمن المجال \( [0.5, 6] \)، فإن \(x+3 \ne 0\) ✓
  • ب) حصر E: \( E = y \times \frac{1}{x+3} \).
    نحصر أولاً \( \frac{1}{x+3} \): \( 0.5 \le x+3 \le 6 \implies \frac{1}{6} \le \frac{1}{x+3} \le \frac{1}{0.5} \implies \frac{1}{6} \le \frac{1}{x+3} \le 2 \).
    لدينا \( 3 \le y \le 4 \). بما أن كل الأعداد موجبة، نضرب الحصرين:
    \( 3 \times \frac{1}{6} \le E \le 4 \times 2 \implies \frac{1}{2} \le E \le 8 \) ✓
الحصر والقيم المطلقة والمتطابقات
تمرين عدد 6

نعتبر العددين الحقيقيين \(x\) و \(y\) حيث \(x \in ]-7; 1]\) و \(y \in [-5; -2]\).

    1. أوجد حصرا لـ \(x-y\) ؛ \(x+y\) ؛ \(y^2\).
    2. جد حصرا لـ \(x-2\) ثم استنتج أن \(x \ne 2\).
    3. بيّن أن \( \frac{x^2-4}{x-2} = x+2 \). أوجد حصرا لـ \( \frac{4-x^2}{2-x} \).
    1. بيّن أن \( |x+3| \le 4 \).
    2. إلى أي مجال تنتمي العبارة \( A = x^2+6x+9 \).
  3. نعتبر العبارة \(B = 4x^2+20x+17\). بيّن أن \(B=(2x+5)^2-8\). استنتج حصرا لـ B.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر الحصر المتقدم

🎯 المفاهيم المفتاحية:

  • قواعد الحصر:
    • لحصر \(a-b\): احصر \(-b\) ثم اجمع مع \(a\)
    • لحصر \(a^2\): راع إشارة \(a\) (سالب، موجب، أم مختلط)
  • القيمة المطلقة: \(|x| \le a \iff -a \le x \le a\)
  • المتطابقات الهامة:
    • \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
    • \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
  • تجنب القسمة على صفر: تأكد دائماً أن المقام \(\ne 0\)

💡 فكرة: عند وجود مجال يحتوي على أعداد سالبة وموجبة، التربيع يعطي مجالاً من 0 إلى مربع أكبر قيمة مطلقة

📝 الطريقة التفصيلية

⚙️ استراتيجية الحل:

السؤال 1 - الحصر الأساسي:

  1. للمجاميع والفروق: طبق قاعدة جمع المجالات
  2. للمربعات: حدد أولاً إشارة العناصر في المجال
  3. للتحقق من عدم انعدام المقام: احصر المقام وتأكد أنه لا يمر بالصفر
  4. للتبسيط: استخدم المتطابقات لتبسيط الكسور

السؤال 2 - القيمة المطلقة:

  1. احصر العبارة داخل القيمة المطلقة
  2. استخدم تعريف القيمة المطلقة
  3. تعرف على المتطابقات مثل \(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\)

السؤال 3 - إكمال المربع:

  1. حوّل العبارة إلى الشكل \((ax+b)^2 + c\)
  2. احصر الجزء \((ax+b)\) أولاً
  3. ربّع ثم أضف الثابت
🔑 مفتاح النجاح: التعامل بعناية مع الأعداد السالبة والموجبة في نفس المجال

✅ الحل الكامل المفصل

1.أ) إيجاد الحصر: (لدينا \( -7 < x \le 1 \) و \( -5 \le y \le -2 \))

  • حصر \(x-y\): أولاً نحصر \(-y\). \( -5 \le y \le -2 \implies 2 \le -y \le 5 \).
    نجمع الحصرين: \( (-7+2) < x-y \le (1+5) \implies -5 < x-y \le 6 \).
  • حصر \(x+y\): نجمع الحصرين مباشرة:
    \( (-7-5) < x+y \le (1-2) \implies -12 < x+y \le -1 \).
  • حصر \(y^2\): لدينا \( -5 \le y \le -2 \). المجال يحتوي أعدادا سالبة فقط. عند التربيع نعكس:
    \( (-2)^2 \le y^2 \le (-5)^2 \implies 4 \le y^2 \le 25 \).

1.ب) حصر \(x-2\) والاستنتاج:

  • لدينا \( -7 < x \le 1 \). نطرح 2 من الأطراف:
    \( -7-2 < x-2 \le 1-2 \implies -9 < x-2 \le -1 \).
    بما أن الصفر ليس ضمن المجال \( ]-9, -1] \)، فإن \(x-2 \ne 0\)، وبالتالي \(x \ne 2\) ✓

1.ج) تبسيط وإيجاد الحصر:

  • البيان: \( \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \). بما أننا أثبتنا أن \(x-2 \ne 0\)، يمكننا الاختزال. إذن \( \frac{x^2-4}{x-2} = x+2 \) ✓
  • حصر \( \frac{4-x^2}{2-x} \): نلاحظ أن \( \frac{4-x^2}{2-x} = \frac{-(x^2-4)}{-(x-2)} = \frac{x^2-4}{x-2} = x+2 \).
    إذن نبحث عن حصر \(x+2\). لدينا \( -7 < x \le 1 \). نضيف 2 للأطراف:
    \( -7+2 < x+2 \le 1+2 \implies -5 < x+2 \le 3 \) ✓

2.أ) القيمة المطلقة:

  • لدينا \( -7 < x \le 1 \). نضيف 3 للأطراف: \( -4 < x+3 \le 4 \).
    هذه المتباينة تعني أن \( |x+3| \le 4 \) ✓

2.ب) مجال العبارة A:

  • نلاحظ أن \( A = x^2+6x+9 = (x+3)^2 \).
    من الحصر السابق، لدينا \( -4 < x+3 \le 4 \). هذا المجال يحتوي على الصفر. لتربيع هذا المجال، نأخذ القيمة الصغرى 0 والحد الأقصى هو مربع أكبر قيمة مطلقة للأطراف.
    \( \max(|-4|, |4|) = 4 \). إذن \( (x+3)^2 \le 4^2 = 16 \).
    إذن \( 0 \le A \le 16 \)، والمجال هو \( [0, 16] \) ✓

3) دراسة B:

  • البيان: ننشر \( (2x+5)^2 - 8 \):
    \( (4x^2 + 2(2x)(5) + 5^2) - 8 = (4x^2+20x+25) - 8 = 4x^2+20x+17 = B \). العبارة صحيحة ✓
  • حصر B: نحصر أولاً \( 2x+5 \).
    \( -7 < x \le 1 \implies -14 < 2x \le 2 \).
    \( -14+5 < 2x+5 \le 2+5 \implies -9 < 2x+5 \le 7 \).
    نحصر الآن \( (2x+5)^2 \). المجال \( ]-9, 7] \) يحتوي الصفر.
    \( 0 \le (2x+5)^2 < \max(|-9|^2, |7|^2) = 81 \).
    إذن \( 0 \le (2x+5)^2 < 81 \).
    أخيرا نطرح 8: \( 0-8 \le B < 81-8 \implies -8 \le B < 73 \) ✓