علما أن: $1,42 > \sqrt{2} > 1,41$ و $2,65 > \sqrt{7} > 2,64$
أوجد حصرا مداه $10^{-2}$ لكل من الأعداد التالية:
$a = \sqrt{2} + \sqrt{7}$ ؛ $b = \sqrt{14}$ ؛ $c = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$
$d = \sqrt{2} - \sqrt{7}$ ؛ $e = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{7}}$
💡 مؤشر
قواعد الحصر الأساسية:
- الجمع: إذا كان $a_1 < a < a_2$ و $b_1 < b < b_2$ فإن $a_1 + b_1 < a + b < a_2 + b_2$
- الضرب: للأعداد الموجبة، $a_1 \times b_1 < a \times b < a_2 \times b_2$
- القسمة: للمقام الموجب، نأخذ مقلوب الحدود ونعكس الترتيب
ابدأ بـ: $a = \sqrt{2} + \sqrt{7}$ - استخدم قاعدة الجمع مباشرة
📝 الطريقة خطوة بخطوة
الحصر المعطى: $1,41 < \sqrt{2} < 1,42$ و $2,64 < \sqrt{7} < 2,65$
1) حصر $a = \sqrt{2} + \sqrt{7}$:
نجمع المتباينتين طرفاً لطرف:
$1,41 + 2,64 < \sqrt{2} + \sqrt{7} < 1,42 + 2,65$
$4,05 < a < 4,07$
2) حصر $b = \sqrt{14} = \sqrt{2} \times \sqrt{7}$:
نضرب المتباينتين (الأعداد موجبة):
$1,41 \times 2,64 < \sqrt{2} \times \sqrt{7} < 1,42 \times 2,65$
$3,7224 < b < 3,763$
✅ الحل الكامل
حصر جميع العبارات:
3) حصر $c = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$:
أولاً، حصر $\frac{1}{\sqrt{7}}$:
$2,64 < \sqrt{7} < 2,65 \implies \frac{1}{2,65} < \frac{1}{\sqrt{7}} < \frac{1}{2,64}$
$0,3773 < \frac{1}{\sqrt{7}} < 0,3787$
نضرب في حصر $\sqrt{2}$:
$1,41 \times 0,3773 < c < 1,42 \times 0,3787$
$0,5319 < c < 0,5377$
4) حصر $d = \sqrt{2} - \sqrt{7}$:
حصر $-\sqrt{7}$: $-2,65 < -\sqrt{7} < -2,64$
$1,41 - 2,65 < \sqrt{2} - \sqrt{7} < 1,42 - 2,64$
$-1,24 < d < -1,22$
5) حصر $e = \frac{a}{d}$:
نحصر $\frac{1}{d}$: $\frac{1}{-1,22} < \frac{1}{d} < \frac{1}{-1,24}$
أي: $-0,8196 < \frac{1}{d} < -0,8064$
نضرب حصر $a$ الموجب في حصر $\frac{1}{d}$ السالب:
$-3,34 < e < -3,26$
ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث:
$2,2 < AB < 2,3$ و $3,4 < AC < 3,5$
أوجد حصراً للوتر BC.
💡 مؤشر
نظرية فيثاغورس:
في المثلث القائم الزاوية، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
الخطوات:
- احصر $AB^2$ و $AC^2$
- اجمع الحصرين للحصول على حصر $BC^2$
- أخذ الجذر التربيعي للحصول على حصر $BC$
📝 الطريقة
تطبيق نظرية فيثاغورس:
الخطوة 1: حصر $AB^2$
$2,2^2 < AB^2 < 2,3^2$
$4,84 < AB^2 < 5,29$
الخطوة 2: حصر $AC^2$
$3,4^2 < AC^2 < 3,5^2$
$11,56 < AC^2 < 12,25$
الخطوة 3: حصر $BC^2 = AB^2 + AC^2$
نجمع الحصرين:
$4,84 + 11,56 < BC^2 < 5,29 + 12,25$
✅ الحل الكامل
الحل النهائي:
من الخطوة السابقة:
$16,4 < BC^2 < 17,54$
الخطوة 4: حصر الوتر $BC$
نأخذ الجذر التربيعي لجميع الأطراف:
$\sqrt{16,4} < BC < \sqrt{17,54}$
حساب النتيجة النهائية:
$4,049 < BC < 4,188$
إذن الوتر BC محصور بين 4,049 و 4,188 تقريباً.
دائرة شعاعها R. أوجد حصراً لمساحتها S علماً أن:
$3,8 < R < 3,9$ و $3,14 < \pi < 3,15$
💡 مؤشر
صيغة مساحة الدائرة:
$S = \pi \times R^2$
الخطوات المطلوبة:
- احصر $R^2$ باستخدام حصر $R$
- احصر $S = \pi \times R^2$ باستخدام حصري $\pi$ و $R^2$
تذكر: عند تربيع حصر موجب، نربع الحدود مع الحفاظ على الترتيب
📝 الطريقة
الحصر المعطى: $3,8 < R < 3,9$ و $3,14 < \pi < 3,15$
الخطوة 1: حصر $R^2$
بما أن R موجب، نربع أطراف المتباينة:
$3,8^2 < R^2 < 3,9^2$
$14,44 < R^2 < 15,21$
الخطوة 2: حصر $S = \pi \times R^2$
نضرب حصر $\pi$ في حصر $R^2$ (جميع الأطراف موجبة):
$3,14 \times 14,44 < \pi R^2 < 3,15 \times 15,21$
✅ الحل الكامل
الحسابات النهائية:
حساب الحدود:
- الحد الأدنى: $3,14 \times 14,44 = 45,3416$
- الحد الأعلى: $3,15 \times 15,21 = 47,9115$
النتيجة النهائية:
$45,3416 < S < 47,9115$
إذن، حصر مساحة الدائرة S هو:
$45,34 < S < 47,91$ (بتقريب إلى منزلتين عشريتين)
$x$، $y$، $z$ أعداد حقيقية حيث:
$2 < x < 3$ و $-1 < y < \sqrt{2}$ و $-2 < z < -1$
- أوجد حصراً للعدد $A = x + \frac{1}{x}$
- أوجد حصراً لكل من: $x+z$، $xy+z$، $2x-z$
- استنتج حصراً لـ $\frac{x(y+z)}{y^2-1}$
💡 مؤشر
استراتيجيات الحصر:
- للمقلوب: إذا كان $a > 0$، فإن $\frac{1}{a_2} < \frac{1}{a} < \frac{1}{a_1}$
- للضرب بمتغيرات مختلطة الإشارة: احسب جميع الجداءات الممكنة للحدود
- للمقام قد يكون صفراً: تحقق من إمكانية قسمة على صفر
ابدأ بـ: $A = x + \frac{1}{x}$ حيث $x > 0$
📝 الطريقة
1) حصر $A = x + \frac{1}{x}$:
لدينا $2 < x < 3$، إذن:
$\frac{1}{3} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$
نجمع الحصرين:
$2 + \frac{1}{3} < x + \frac{1}{x} < 3 + \frac{1}{2}$
$\frac{7}{3} < A < \frac{7}{2}$
2) حصر العبارات الأساسية:
أ) $x+z$:
$2 + (-2) < x+z < 3 + (-1)$
$0 < x+z < 2$
✅ الحل الكامل
ب) حصر $xy+z$:
أولاً نحصر $xy$. بما أن $y$ يمكن أن يكون سالباً، نحسب:
- $2 \times (-1) = -2$
- $2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \approx 2,83$
- $3 \times (-1) = -3$
- $3 \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \approx 4,24$
$-3 < xy < 3\sqrt{2}$
نضيف $z$:
$-3 + (-2) < xy+z < 3\sqrt{2} + (-1)$
$-5 < xy+z < 3\sqrt{2} - 1$
ج) حصر $2x-z$:
$4 < 2x < 6$ و $1 < -z < 2$
$5 < 2x-z < 8$
3) حصر $\frac{x(y+z)}{y^2-1}$:
المقام $y^2-1$ عند $-1 < y < \sqrt{2}$ يعطي $-1 \leq y^2-1 < 1$
تحذير: المقام يمكن أن يساوي الصفر، لذا الكسر غير معرف دائماً.
ليكن $a$ و $b$ عددان حقيقيان حيث:
$-2 \leq a \leq -1$ و $\frac{1}{3} \leq b \leq \frac{1}{2}$
- أوجد حصراً لـ $a^2$ و $b^2$ ثم استنتج حصراً لـ $a^2 - b^2$
- أوجد حصراً لـ $ab$ ثم استنتج حصراً لـ $\frac{1}{ab}$
- بيّن أن $-\frac{35}{3} \leq \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \leq -\frac{3}{4}$
💡 مؤشر
تذكر هذه القواعد:
- تربيع عدد سالب: إذا كان $a < 0$، فإن $a^2 > 0$ ونعكس الترتيب
- ضرب موجب × سالب: النتيجة سالبة
- العبارة المركبة: $\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2 - b^2}{ab}$
انتبه: $a$ سالب و $b$ موجب في هذا التمرين
📝 الطريقة
1) حصر $a^2$ و $b^2$:
حصر $a^2$: بما أن $a$ سالب، $-2 \leq a \leq -1$
$(-1)^2 \geq a^2 \geq (-2)^2 \implies 1 \leq a^2 \leq 4$
حصر $b^2$: بما أن $b$ موجب
$\left(\frac{1}{3}\right)^2 \leq b^2 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^2 \implies \frac{1}{9} \leq b^2 \leq \frac{1}{4}$
حصر $a^2 - b^2$:
نحصر $-b^2$: $-\frac{1}{4} \leq -b^2 \leq -\frac{1}{9}$
نجمع مع حصر $a^2$:
$1 - \frac{1}{4} \leq a^2-b^2 \leq 4 - \frac{1}{9}$
$\frac{3}{4} \leq a^2-b^2 \leq \frac{35}{9}$
✅ الحل الكامل
2) حصر $ab$ و $\frac{1}{ab}$:
$a$ سالب و $b$ موجب، إذن $ab$ سالب:
$-2 \times \frac{1}{2} \leq ab \leq -1 \times \frac{1}{3}$
$-1 \leq ab \leq -\frac{1}{3}$
حصر $\frac{1}{ab}$ (نأخذ المقلوب ونعكس):
$-3 \leq \frac{1}{ab} \leq -1$
3) نبين أن $-\frac{35}{3} \leq \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \leq -\frac{3}{4}$:
العبارة تساوي $\frac{a^2-b^2}{ab}$
نضرب الحصرين:
- $\frac{3}{4} \times (-3) = -\frac{9}{4}$
- $\frac{3}{4} \times (-1) = -\frac{3}{4}$
- $\frac{35}{9} \times (-3) = -\frac{35}{3}$
- $\frac{35}{9} \times (-1) = -\frac{35}{9}$
أصغر قيمة: $-\frac{35}{3}$، أكبر قيمة: $-\frac{3}{4}$
$-\frac{35}{3} \leq \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \leq -\frac{3}{4}$
$A = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2} - \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}$
- اختصر A
- أوجد حصراً لـ A إذا علمت أن $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$
💡 مؤشر
لاختصار كسور مركبة:
- وحّد المقامات للحصول على كسر واحد
- استخدم المتطابقة: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
- استخدم المتطابقة: $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
المقام المشترك: $(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)$
البسط: $(\sqrt{3}+2)^2 - (\sqrt{3}-2)^2$
📝 الطريقة
1) اختصار A:
المقام المشترك:
$(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$
البسط:
$(\sqrt{3}+2)^2 - (\sqrt{3}-2)^2$
باستخدام المتطابقة $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$:
مع $a=\sqrt{3}$ و $b=2$:
$البسط = 4 \times \sqrt{3} \times 2 = 8\sqrt{3}$
إذن:
$A = \frac{8\sqrt{3}}{-1} = -8\sqrt{3}$
✅ الحل الكامل
2) حصر A:
لدينا $A = -8\sqrt{3}$ و $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$
نضرب أطراف المتباينة في $-8$:
تذكر: عند الضرب في عدد سالب، نعكس اتجاه المتباينة
$-8 \times 1,733 < -8\sqrt{3} < -8 \times 1,732$
الحسابات:
- $-8 \times 1,733 = -13,864$
- $-8 \times 1,732 = -13,856$
النتيجة النهائية:
$-13,864 < A < -13,856$
نعتبر العدد الحقيقي $x$ حيث $-\frac{1}{9} \leq x \leq \frac{1}{7}$ ولتكن:
$A = 5 - \frac{4}{3x+1}$
- بيّن أن $3x+1 \neq 0$
- أوجد حصراً لـ $\frac{4}{3x+1}$
- بيّن أن $-1 \leq A \leq 2,2$
- إذا كان $1 \leq A^2 \leq 4$، استنتج أن $-8 \leq (A+3)(A-3) \leq -5$
💡 مؤشر
للتحقق من عدم انعدام المقام:
- احصر $3x$ من حصر $x$
- احصر $3x+1$ بإضافة 1
- تحقق أن الحصر لا يحتوي على الصفر
للكسر: إذا كان $a_1 < 3x+1 < a_2$ (وكلاهما موجب):
$\frac{1}{a_2} < \frac{1}{3x+1} < \frac{1}{a_1}$
📝 الطريقة
1) نبين أن $3x+1 \neq 0$:
لدينا $-\frac{1}{9} \leq x \leq \frac{1}{7}$
نضرب في 3:
$3 \times \left(-\frac{1}{9}\right) \leq 3x \leq 3 \times \frac{1}{7}$
$-\frac{1}{3} \leq 3x \leq \frac{3}{7}$
نضيف 1:
$1 - \frac{1}{3} \leq 3x+1 \leq 1 + \frac{3}{7}$
$\frac{2}{3} \leq 3x+1 \leq \frac{10}{7}$
بما أن المجال $[\frac{2}{3}, \frac{10}{7}]$ لا يحتوي على الصفر، فإن $3x+1 \neq 0$
✅ الحل الكامل
2) حصر $\frac{4}{3x+1}$:
من الحصر السابق: $\frac{2}{3} \leq 3x+1 \leq \frac{10}{7}$
نأخذ المقلوب ونعكس:
$\frac{7}{10} \leq \frac{1}{3x+1} \leq \frac{3}{2}$
نضرب في 4:
$4 \times \frac{7}{10} \leq \frac{4}{3x+1} \leq 4 \times \frac{3}{2}$
$2,8 \leq \frac{4}{3x+1} \leq 6$
3) حصر $A = 5 - \frac{4}{3x+1}$:
نحصر $-\frac{4}{3x+1}$: $-6 \leq -\frac{4}{3x+1} \leq -2,8$
نضيف 5:
$5 + (-6) \leq A \leq 5 + (-2,8)$
$-1 \leq A \leq 2,2$
4) إذا كان $1 \leq A^2 \leq 4$:
$(A+3)(A-3) = A^2 - 9$
$1 - 9 \leq A^2 - 9 \leq 4 - 9$
$-8 \leq (A+3)(A-3) \leq -5$
ليكن $x$ عدد حقيقي حيث $-3 \leq x \leq 0$
اختصر العبارة A التالية:
$A = |x^2 - x + \frac{1}{4}| + 2|x - \frac{1}{2}| + 1$
💡 مؤشر
تذكر هذه المتطابقات:
- $x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2$
- المربع دائماً موجب: $|a^2| = a^2$
- إذا كان $a < 0$ فإن $|a| = -a$
المجال المعطى: $-3 \leq x \leq 0$
سؤال: ما هي إشارة $x - \frac{1}{2}$ في هذا المجال؟
📝 الطريقة
الخطوة 1: تبسيط العبارة الأولى
$x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2$
إذن:
$|x^2 - x + \frac{1}{4}| = |(x - \frac{1}{2})^2| = (x - \frac{1}{2})^2$
الخطوة 2: دراسة إشارة $x - \frac{1}{2}$
لدينا $-3 \leq x \leq 0$، نطرح $\frac{1}{2}$:
$-3 - \frac{1}{2} \leq x - \frac{1}{2} \leq 0 - \frac{1}{2}$
$-\frac{7}{2} \leq x - \frac{1}{2} \leq -\frac{1}{2}$
إذن، $x - \frac{1}{2}$ دائماً سالب في هذا المجال
$|x - \frac{1}{2}| = -(x - \frac{1}{2}) = -x + \frac{1}{2}$
✅ الحل الكامل
الخطوة 3: تعويض وتبسيط A
نعوض النتائج في العبارة الأصلية:
$A = (x - \frac{1}{2})^2 + 2(-x + \frac{1}{2}) + 1$
نفكك الأقواس:
$A = (x^2 - x + \frac{1}{4}) - 2x + 1 + 1$
$A = x^2 - x + \frac{1}{4} - 2x + 2$
$A = x^2 - 3x + \frac{1}{4} + 2$
$A = x^2 - 3x + \frac{9}{4}$
طريقة أخرى (التحقق):
يمكن كتابة النتيجة على الشكل:
$A = (x - \frac{3}{2})^2$
وهذا يعطي عند النشر نفس النتيجة: $x^2 - 3x + \frac{9}{4}$