سلسلة تمارين: الحصر والمجالات I

تمرين عدد 1

علما أن: \(1,42 > \sqrt{2} > 1,41\), \(2,65 > \sqrt{7} > 2,64\).
أوجد حصرا مداه \(10^{-2}\) لكل من الأعداد التالية: $$ a = \sqrt{2} + \sqrt{7} \quad; \quad b = \sqrt{14} \quad; \quad c = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} $$ $$ d = \sqrt{2} - \sqrt{7} \quad; \quad e = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{7}} $$

تصحيح تمرين عدد 1

لدينا الحصر التالي: \(1,41 < \sqrt{2} < 1,42\) و \(2,64 < \sqrt{7} < 2,65\).

  1. حصر \(a = \sqrt{2} + \sqrt{7}\):
    نجمع المتباينتين طرفا لطرف:
    \(1,41 + 2,64 < \sqrt{2} + \sqrt{7} < 1,42 + 2,65\)
    إذن: \(4,05 < a < 4,07\). مدى هذا الحصر هو \(0,02\).
  2. حصر \(b = \sqrt{14} = \sqrt{2} \times \sqrt{7}\):
    بما أن الأعداد كلها موجبة، نضرب المتباينتين:
    \(1,41 \times 2,64 < \sqrt{2} \times \sqrt{7} < 1,42 \times 2,65\)
    إذن: \(3,7224 < b < 3,763\).
  3. حصر \(c = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\):
    أولا، نجد حصرا لـ \(\frac{1}{\sqrt{7}}\):
    \(2,64 < \sqrt{7} < 2,65 \implies \frac{1}{2,65} < \frac{1}{\sqrt{7}} < \frac{1}{2,64}\)
    \(0,3773 < \frac{1}{\sqrt{7}} < 0,3787\)
    الآن نضرب في حصر \(\sqrt{2}\):
    \(1,41 \times 0,3773 < c < 1,42 \times 0,3787\)
    إذن: \(0,5319 < c < 0,5377\).
  4. حصر \(d = \sqrt{2} - \sqrt{7}\):
    نحتاج حصرا لـ \(-\sqrt{7}\): \(-2,65 < -\sqrt{7} < -2,64\).
    نجمع مع حصر \(\sqrt{2}\):
    \(1,41 - 2,65 < \sqrt{2} - \sqrt{7} < 1,42 - 2,64\)
    إذن: \(-1,24 < d < -1,22\). مدى هذا الحصر هو \(0,02\).
  5. حصر \(e = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{7}}{\sqrt{2} - \sqrt{7}} = \frac{a}{d}\):
    وجدنا \(4,05 < a < 4,07\) و \(-1,24 < d < -1,22\).
    نحصر \(\frac{1}{d}\): \(\frac{1}{-1,22} < \frac{1}{d} < \frac{1}{-1,24}\), أي \(-0,8196 < \frac{1}{d} < -0,8064\).
    نضرب حصر \(a\) (موجب) في حصر \(\frac{1}{d}\) (سالب). النتيجة ستكون سالبة.
    الحدود هي: \(4,05 \times (-0,8196)\), \(4,07 \times (-0,8196)\), \(4,05 \times (-0,8064)\), \(4,07 \times (-0,8064)\).
    بعد الحساب، نجد أن: \(-3,34 < e < -3,26\).

تمرين عدد 2

ABC مثلث قائم الزاوية في A حيث:
\(2,3 < AB < 2,2\) و \(3,5 < AC < 3,4\).
أوجد حصرا للوتر.

تصحيح تمرين عدد 2

ملاحظة: المتباينات في التمرين مكتوبة بشكل غير صحيح. سنفترض أن المقصود هو: \(2,2 < AB < 2,3\) و \(3,4 < AC < 3,5\).

حسب نظرية فيثاغورس في المثلث ABC القائم في A، الوتر BC يحقق العلاقة: \(BC^2 = AB^2 + AC^2\).

  1. حصر \(AB^2\):
    \(2,2^2 < AB^2 < 2,3^2 \implies 4,84 < AB^2 < 5,29\).
  2. حصر \(AC^2\):
    \(3,4^2 < AC^2 < 3,5^2 \implies 11,56 < AC^2 < 12,25\).
  3. حصر \(BC^2 = AB^2 + AC^2\):
    نجمع حصري \(AB^2\) و \(AC^2\):
    \(4,84 + 11,56 < AB^2 + AC^2 < 5,29 + 12,25\)
    \(16,4 < BC^2 < 17,54\).
  4. حصر الوتر \(BC\):
    نأخذ الجذر التربيعي لجميع الأطراف:
    \(\sqrt{16,4} < BC < \sqrt{17,54}\)
    إذن: \(4,049 < BC < 4,188\).

تمرين عدد 3

\(G\) دائرة شعاعها R.
أوجد حصرا لمساحتها S علما أن:
\(3,9 < R < 3,8\) و \(3,15 > \pi > 3,14\).

تصحيح تمرين عدد 3

ملاحظة: المتباينات في التمرين مكتوبة بشكل غير صحيح. سنفترض أن المقصود هو: \(3,8 < R < 3,9\) و \(3,14 < \pi < 3,15\).

مساحة الدائرة (S) تُعطى بالصيغة: \(S = \pi \times R^2\).

  1. حصر \(R^2\):
    بما أن R موجب، نربع أطراف المتباينة:
    \(3,8^2 < R^2 < 3,9^2 \implies 14,44 < R^2 < 15,21\).
  2. حصر \(S = \pi \times R^2\):
    لدينا \(3,14 < \pi < 3,15\). نضرب هذا الحصر في حصر \(R^2\) (جميع الأطراف موجبة):
    \(3,14 \times 14,44 < \pi R^2 < 3,15 \times 15,21\)
    \(45,3416 < S < 47,9115\).
    إذن، حصر المساحة S هو: \(45,3416 < S < 47,9115\).

تمرين عدد 6

$$ A = \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2} - \frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2} $$

  1. اختصر A
  2. أوجد حصرا لـ \(A\) إذا علمت أن \(1,733 > \sqrt{3} > 1,732\).

تصحيح تمرين عدد 6

  1. اختصار A:
    نوحد المقامات. المقام المشترك هو \((\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)\).
    المقام: \((\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1\).
    البسط: \((\sqrt{3}+2)^2 - (\sqrt{3}-2)^2\).
    هذا على شكل \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\).
    مع \(a=\sqrt{3}\) و \(b=2\)، البسط يساوي \(4 \times \sqrt{3} \times 2 = 8\sqrt{3}\).
    إذن: \(A = \frac{8\sqrt{3}}{-1} = -8\sqrt{3}\).
  2. حصر A:
    لدينا \(1,732 < \sqrt{3} < 1,733\).
    نضرب أطراف المتباينة في \(-8\). عند الضرب في عدد سالب، نعكس اتجاه المتباينة:
    \(-8 \times 1,733 < -8\sqrt{3} < -8 \times 1,732\)
    \(-13,864 < A < -13,856\).

تمرين عدد 7

نعتبر العدد الحقيقي \(x\) حيث \(-\frac{1}{9} \leq x \leq \frac{1}{7}\) ولتكن العبارة A التالية: $$ A = 5 - \frac{4}{3x+1} $$

  1. بين أن \(3x+1 \neq 0\).
  2. أوجد حصرا لـ \(\frac{4}{3x+1}\).

تصحيح تمرين عدد 7 (الجزء الأول)

  1. نبين أن \(3x+1 \neq 0\):
    لدينا \(-\frac{1}{9} \leq x \leq \frac{1}{7}\).
    نضرب في 3: \(3 \times (-\frac{1}{9}) \leq 3x \leq 3 \times \frac{1}{7} \implies -\frac{1}{3} \leq 3x \leq \frac{3}{7}\).
    نضيف 1: \(1 - \frac{1}{3} \leq 3x+1 \leq 1 + \frac{3}{7} \implies \frac{2}{3} \leq 3x+1 \leq \frac{10}{7}\).
    بما أن المجال \([\frac{2}{3}, \frac{10}{7}]\) لا يحتوي على الصفر، فإن \(3x+1 \neq 0\).
  2. حصر \(\frac{4}{3x+1}\):
    من الحصر السابق، \(\frac{2}{3} \leq 3x+1 \leq \frac{10}{7}\).
    نأخذ المقلوب ونعكس المتباينة: \(\frac{1}{10/7} \leq \frac{1}{3x+1} \leq \frac{1}{2/3} \implies \frac{7}{10} \leq \frac{1}{3x+1} \leq \frac{3}{2}\).
    نضرب في 4: \(4 \times \frac{7}{10} \leq \frac{4}{3x+1} \leq 4 \times \frac{3}{2} \implies \frac{28}{10} \leq \frac{4}{3x+1} \leq 6\).
    إذن: \(2,8 \leq \frac{4}{3x+1} \leq 6\).

تمرين عدد 4

\(x\) و \(y\) و \(z\) أعداد حقيقية حيث \(3 > x > 2\) و \( -1 < y < \sqrt{2}\) و \( -2 < z < -1\).

  1. أوجد حصرا للعدد \(A = x + \frac{1}{x}\).
  2. أوجد حصرا لكل من:
    1. \(x+z\)
    2. \(xy+z\)
    3. \(2x - z\)
    4. \(-2xyz\)
    5. \(-2x+7\)
    6. \(y^2-1\)
  3. استنتج حصرا لكل من:
    1. \(\frac{x(y+z)}{y^2-1}\)
    2. \(\frac{-2x+7}{(x+z)^2}\)

تصحيح تمرين عدد 4

لدينا: \(2 < x < 3\), \(-1 < y < \sqrt{2}\), \(-2 < z < -1\).

  1. حصر \(A = x + \frac{1}{x}\):
    لدينا \(2 < x < 3\), إذن \(\frac{1}{3} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}\).
    نجمع الحصرين: \(2 + \frac{1}{3} < x + \frac{1}{x} < 3 + \frac{1}{2}\).
    \(\frac{7}{3} < A < \frac{7}{2}\).
  2. حصر العبارات الأخرى:
    أ) \(x+z\): \(2 + (-2) < x+z < 3 + (-1) \implies 0 < x+z < 2\).
    ب) \(xy+z\): أولا نحصر \(xy\). بما أن y يمكن أن يكون سالبا، نستخدم طريقة ضرب الأطراف: \(\min(2(-1), 2\sqrt{2}, 3(-1), 3\sqrt{2}) < xy < \max(...)\). أي \(-3 < xy < 3\sqrt{2}\). نضيف \(z\): \(-3-2 < xy+z < 3\sqrt{2}-1 \implies -5 < xy+z < 3\sqrt{2}-1\).
    ج) \(2x-z\): لدينا \(4 < 2x < 6\) و \(1 < -z < 2\). نجمع: \(4+1 < 2x-z < 6+2 \implies 5 < 2x-z < 8\).
    د) \(-2xyz\): نحصر \(xyz\). لدينا \(-6\sqrt{2} < xyz < 6\). نضرب في -2 ونعكس: \(-12 < -2xyz < 12\sqrt{2}\).
    ه) \(-2x+7\): لدينا \(-6 < -2x < -4\). نضيف 7: \(1 < -2x+7 < 3\).
    و) \(y^2-1\): لدينا \(-1 < y < \sqrt{2}\). بما أن المجال يحتوي الصفر، فإن \(0 \leq y^2 < \max((-1)^2, (\sqrt{2})^2)\), أي \(0 \leq y^2 < 2\). نطرح 1: \(-1 \leq y^2-1 < 1\).
  3. استنتاج الحصر:
    أ) \(\frac{x(y+z)}{y^2-1}\): المقام \(y^2-1\) ينتمي للمجال \([-1, 1)\) الذي يحتوي الصفر. هذا يعني أن المقام يمكن أن يساوي الصفر، وبالتالي فإن الكسر غير معرف دائما ولا يمكن إيجاد حصر له.
    ب) \(\frac{-2x+7}{(x+z)^2}\): البسط محصور في \((1, 3)\). المقام \(x+z\) محصور في \((0, 2)\), إذن \((x+z)^2\) محصور في \((0, 4)\). مقلوب المقام \(\frac{1}{(x+z)^2}\) محصور في \((\frac{1}{4}, +\infty)\). وبالتالي الكسر غير محدود من الأعلى. يمكننا القول فقط أن \(\frac{-2x+7}{(x+z)^2} > 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\).

تمرين عدد 5

ليكن \(a\) و \(b\) عددان حقيقيان حيث \( -1 \leq a \leq -2\) و \( \frac{1}{3} \leq b \leq \frac{1}{2}\).

  1. أوجد حصرا لـ \(a^2\) و \(b^2\) ثم استنتج حصرا لـ \(a^2 - b^2\).
  2. أوجد حصرا لـ \(ab\) ثم استنتج حصرا لـ \(\frac{1}{ab}\).
  3. بين أن \(-\frac{35}{3} \leq \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \leq -3\).

تصحيح تمرين عدد 5

ملاحظة: المتباينة الأولى يجب أن تكون \(-2 \leq a \leq -1\).

  1. حصر \(a^2, b^2, a^2-b^2\):
    - حصر \(a^2\): بما أن a سالب، \(-2 \leq a \leq -1 \implies (-1)^2 \geq a^2 \geq (-2)^2\), أي \(1 \leq a^2 \leq 4\).
    - حصر \(b^2\): بما أن b موجب، \(\frac{1}{3} \leq b \leq \frac{1}{2} \implies (\frac{1}{3})^2 \leq b^2 \leq (\frac{1}{2})^2\), أي \(\frac{1}{9} \leq b^2 \leq \frac{1}{4}\).
    - حصر \(a^2-b^2\): نحصر أولا \(-b^2\): \(-\frac{1}{4} \leq -b^2 \leq -\frac{1}{9}\). ثم نجمع مع حصر \(a^2\):
    \(1 - \frac{1}{4} \leq a^2-b^2 \leq 4 - \frac{1}{9} \implies \frac{3}{4} \leq a^2-b^2 \leq \frac{35}{9}\).
  2. حصر \(ab\) و \(\frac{1}{ab}\):
    - حصر \(ab\): a سالب و b موجب، إذن ab سالب. \( -2 \times \frac{1}{2} \leq ab \leq -1 \times \frac{1}{3} \implies -1 \leq ab \leq -\frac{1}{3}\).
    - حصر \(\frac{1}{ab}\): نأخذ المقلوب ونعكس: \(\frac{1}{-1/3} \leq \frac{1}{ab} \leq \frac{1}{-1} \implies -3 \leq \frac{1}{ab} \leq -1\).
  3. نبين أن \(-\frac{35}{3} \leq \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \leq -3\):
    العبارة تساوي \(\frac{a^2-b^2}{ab} = (a^2-b^2) \times \frac{1}{ab}\).
    لدينا \( \frac{3}{4} \leq a^2-b^2 \leq \frac{35}{9} \) (موجب) و \(-3 \leq \frac{1}{ab} \leq -1\) (سالب).
    لضرب الحصرين، نضرب الأطراف: \( \frac{3}{4}(-3), \frac{3}{4}(-1), \frac{35}{9}(-3), \frac{35}{9}(-1) \).
    القيم هي: \(-\frac{9}{4}, -\frac{3}{4}, -\frac{35}{3}, -\frac{35}{9}\).
    أصغر قيمة هي \(-\frac{35}{3} \approx -11.67\). أكبر قيمة هي \(-\frac{3}{4} = -0.75\).
    إذن الحصر الصحيح هو: \(-\frac{35}{3} \leq \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \leq -\frac{3}{4}\).
    (ملاحظة: الحد العلوي في السؤال \(-3\) يبدو أنه خطأ مطبعي).

(تكملة تمرين 7)

  1. بين أن \(2 \leq 5 - \frac{4}{3x+1} \leq 5\).
  2. أ. بين أن \(1 \leq A^2 \leq 4\).
    ب. استنتج أن: \(-8 \leq (A+3)(A-3) \leq -5\).

تصحيح تمرين عدد 7 (الجزء الثاني)

ملاحظة هامة: هناك تعارض بين نتائج هذا الجزء ونتائج الجزء الأول من التمرين. سنقوم بحل كل سؤال بناءً على الفرضيات المطلوبة في نص السؤال نفسه.

  1. نبين أن \(2 \leq A \leq 5\):
    كما رأينا في تصحيح الجزء الأول، الحصر الصحيح لـ A هو \(-1 \leq A \leq 2,2\). المطلوب في هذا السؤال \((2 \leq A \leq 5)\) يتعارض مع معطيات التمرين الأصلية. لأغراض حل الأسئلة التالية، سنفترض أن هذا الحصر صحيح.
  2. أ. نبين أن \(1 \leq A^2 \leq 4\):
    هذا المطلوب يتعارض أيضا مع الفرضية السابقة \((2 \leq A \leq 5)\) التي تعطي \((4 \leq A^2 \leq 25)\). يبدو أن هناك أخطاء متتالية في نص التمرين. لحل السؤال الفرعي 'ب'، سنفترض أن الحصر \(1 \leq A^2 \leq 4\) صحيح.
    ب. استنتج أن: \(-8 \leq (A+3)(A-3) \leq -5\):
    نعلم أن \((A+3)(A-3) = A^2 - 9\).
    باستخدام الحصر المفترض في السؤال (4.أ): \(1 \leq A^2 \leq 4\).
    نطرح 9 من جميع الأطراف:
    \(1 - 9 \leq A^2 - 9 \leq 4 - 9\)
    \(-8 \leq A^2 - 9 \leq -5\).
    وهو المطلوب.

تمرين عدد 8

ليكن \(x\) عدد حقيقي حيث \(0 \leq x \leq -3\).
اختصر العبارة A التالية: $$ A = |x^2 - x + \frac{1}{4}| + 2|x - \frac{1}{2}| + 1 $$

تصحيح تمرين عدد 8

ملاحظة: المتباينة يجب أن تكون \(-3 \leq x \leq 0\).

نلاحظ أن العبارات داخل القيمة المطلقة هي أشكال معروفة:

  1. تبسيط العبارة الأولى:
    \(x^2 - x + \frac{1}{4}\) هي المتطابقة الهامة \((x - \frac{1}{2})^2\).
    إذن \(|x^2 - x + \frac{1}{4}| = |(x - \frac{1}{2})^2|\). وبما أن المربع دائما موجب، فإن هذا يساوي \((x - \frac{1}{2})^2\).
  2. دراسة إشارة \(x - \frac{1}{2}\):
    لدينا \(-3 \leq x \leq 0\). نطرح \(\frac{1}{2}\) من الأطراف:
    \(-3 - \frac{1}{2} \leq x - \frac{1}{2} \leq 0 - \frac{1}{2}\)
    \(-\frac{7}{2} \leq x - \frac{1}{2} \leq -\frac{1}{2}\).
    إذن، العبارة \(x - \frac{1}{2}\) هي دائما سالبة في هذا المجال. وبالتالي، \(|x - \frac{1}{2}| = -(x - \frac{1}{2}) = -x + \frac{1}{2}\).
  3. تعويض وتبسيط A:
    نعوض النتائج في العبارة الأصلية:
    \(A = (x - \frac{1}{2})^2 + 2(-x + \frac{1}{2}) + 1\)
    نفكك الأقواس:
    \(A = (x^2 - x + \frac{1}{4}) - 2x + 1 + 1\)
    \(A = x^2 - 3x + \frac{1}{4} + 2\)
    \(A = x^2 - 3x + \frac{9}{4}\).
  4. طريقة أخرى (أكثر اختصارا):
    نلاحظ أن \(A\) على الصورة \(y^2 + 2y + 1\) حيث \(y = |x - \frac{1}{2}|\).
    إذن \(A = (y+1)^2 = (|x - \frac{1}{2}| + 1)^2\).
    بما أن \(|x - \frac{1}{2}| = -x + \frac{1}{2}\)، نعوض:
    \(A = (-x + \frac{1}{2} + 1)^2 = (-x + \frac{3}{2})^2\).
    وهذا يساوي \((x - \frac{3}{2})^2\), الذي يعطي عند النشر \(x^2 - 3x + \frac{9}{4}\).