تمرين رقم 2 (4 نقاط)
نعتبر العددين الحقيقيين \(a\) و \(b\)
\[ a = (1 + \sqrt{3})^2 - 8 \] و \[ b = \dfrac{5}{\sqrt{6} - 1} - 5 \]
1بين أن \[ a = 2\sqrt{3} - 4 \] و \[ b = \sqrt{6} - 4 \]
أ) إثبات أن \( a = 2\sqrt{3} - 4 \):
\[ a = (1 + \sqrt{3})^2 - 8 \]
\[ = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 8 \]
\[ = 4 + 2\sqrt{3} - 8 \]
\[ = 2\sqrt{3} - 4 \]
ب) إثبات أن \( b = \sqrt{6} - 4 \):
\[ b = \dfrac{5}{\sqrt{6} - 1} - 5 \]
نضرب البسط والمقام في \(\sqrt{6} + 1\)
\[ = \dfrac{5(\sqrt{6} + 1)}{6 - 1} - 5 \]
\[ = \dfrac{5(\sqrt{6} + 1)}{5} - 5 \]
\[ = \sqrt{6} + 1 - 5 \]
\[ = \sqrt{6} - 4 \]
2
أ) بين أن \[ a < 0 \]
ب) استنتج مقارنة العددين \[ 1 + \sqrt{3} \] و \[ 2\sqrt{2} \]
أ) إثبات أن \( a < 0 \):
\[ a = 2\sqrt{3} - 4 \]
\[ 2\sqrt{3} < 4 \]
\[ \Leftrightarrow \sqrt{3} < 2 \]
\[ \Leftrightarrow 3 < 4 \] (بتربيع الطرفين)
هذه المتباينة صحيحة، إذن \( a < 0 \).
ب) مقارنة \( 1 + \sqrt{3} \) و \( 2\sqrt{2} \):
\[ (1 + \sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3} \]
\[ (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8 \]
\[ 4 + 2\sqrt{3} < 8 \]
\[ \Leftrightarrow 2\sqrt{3} < 4 \]
\[ \Leftrightarrow \sqrt{3} < 2 \]
\[ \Leftrightarrow 3 < 4 \]
إذن \[ 1 + \sqrt{3} < 2\sqrt{2} \]
3
أ) بين أن \[ a + b + 8 > 0 \]
ب) استنتج أن \[ (a + 8)^2 > b^2 \]
أ) إثبات أن \( a + b + 8 > 0 \):
\[ a + b + 8 = (2\sqrt{3} - 4) + (\sqrt{6} - 4) + 8 = 2\sqrt{3} + \sqrt{6} \]
جميع الحدود موجبة (\( \sqrt{3} > 0 \) و \( \sqrt{6} > 0 \))، إذن المجموع موجب.
ب) إثبات أن \( (a + 8)^2 > b^2 \):
\[ a + 8 = 2\sqrt{3} + 4 \]
\[ b = \sqrt{6} - 4 \]
\[ (a + 8)^2 - b^2 = (2\sqrt{3} + 4 - \sqrt{6} + 4)(2\sqrt{3} + \sqrt{6}) \]
\[ = (2\sqrt{3} - \sqrt{6} + 8)(2\sqrt{3} + \sqrt{6}) \]
كلا العاملين موجبان لأن:
\[ 2\sqrt{3} + \sqrt{6} > 0 \]
و \[ 2\sqrt{3} - \sqrt{6} + 8 > 0 \] لأن \[ 2\sqrt{3} > \sqrt{6} \] (بتربيع: 12 > 6)
إذن \( (a + 8)^2 - b^2 > 0 \) وبالتالي \( (a + 8)^2 > b^2 \)
4ليكن العدد الحقيقي \[ c = \sqrt{a^2} + \sqrt{b^2} \]
اختصر العدد \[ c \]
استنتج مقارنة العددين \[ 2\sqrt{3} \] و \[ \sqrt{6} + 8 \]
تبسيط \( c \):
\[ c = |a| + |b| \]
\[ a = 2\sqrt{3} - 4 < 0 \Rightarrow |a| = 4 - 2\sqrt{3} \]
\[ b = \sqrt{6} - 4 \]
\[ \sqrt{6} < 4 \Rightarrow b < 0 \Rightarrow |b| = 4 - \sqrt{6} \]
إذن:
\[ c = (4 - 2\sqrt{3}) + (4 - \sqrt{6}) = 8 - 2\sqrt{3} - \sqrt{6} \]
مقارنة \( 2\sqrt{3} \) و \( \sqrt{6} + 8 \):
\[ \sqrt{6} + 8 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{6} - 2\sqrt{3}) + 8 \]
\[ \sqrt{6} - 2\sqrt{3} = \sqrt{6} - \sqrt{12} < 0 \]
لكن \[ 8 > |\sqrt{6} - 2\sqrt{3}| \] لأن:
\[ 2\sqrt{3} - \sqrt{6} = \sqrt{12} - \sqrt{6} \approx 3.464 - 2.449 = 1.015 < 8 \]
إذن:
\[ \sqrt{6} + 8 > 2\sqrt{3} \]