حلول أنيقة للأعداد الجذرية
خطوات رياضية واضحة وجميلة
التمرين الأول: تبسيط التعابير الجذرية المعقدة
\( a = \sqrt{\frac{7}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2}} + \frac{5 - (\sqrt{2}-1)^2}{4} \)
إظهار الخطوات الأنيقة
1
نطور المربع الكامل
\((\sqrt{2}-1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}\)
2
نبسط الكسر الثاني
\(\frac{5 - (3 - 2\sqrt{2})}{4} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\)
3
نتعرف على المربع الكامل تحت الجذر
\(7 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{6} - 1)^2\)
ملاحظة:
للتحقق: \((\sqrt{6} - 1)^2 = 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7 - 2\sqrt{6}\)
4
نبسط التعبير الجذري
\(\sqrt{\frac{7 - 2\sqrt{6}}{4}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{6} - 1)^2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - 1}{2}\)
\(a = \frac{\sqrt{6} - 1}{2} + \frac{1 + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\)
التمرين الثاني: تقنية ترشيد المقامات
\( b = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - 1} \)
إظهار الخطوات الأنيقة
1
نرشد المقام بضرب البسط والمقام في المرافق
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2}\)
2
نبسط التعبير المرشد
\(\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\)
\(b = \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\)
التمرين الثالث: تحليل المقارنة
القيمة a:
\(a = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\)
القيمة b:
\(b = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\)
إثبات أن a > b
إظهار الخطوات الأنيقة
1
نحسب الفرق a - b
\(a - b = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\)
2
نبسط الفرق
\(a - b = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\)
بما أن \(\sqrt{2} > 0\)، نستنتج أن
a > b
التمرين الرابع: التحقق من المتباينة
\(\sqrt{6} + 2 - \sqrt{2} < \frac{4}{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}\)
باستخدام النتائج السابقة للقيمتين a و b
إظهار الخطوات الأنيقة
1
نعبر بدلالة a و b
\(\sqrt{6} + 2 - \sqrt{2} = 2a + 2\)
\(2 + \sqrt{2} - \sqrt{6} = 2 - 2b\)
2
نعيد كتابة المتباينة
\(2a + 2 < \frac{4}{2 - 2b} = \frac{4}{2(1 - b)} = \frac{2}{1 - b}\)
3
نبسط إلى الشكل المعياري
\(a + 1 < \frac{1}{1 - b}\)
ملاحظة:
هذه المتباينة تحقق للشرط: \(0 < b < 1\) و \(a > b\)
المتباينة محققة بما أن \(0 < b < 1\) و \(a > b\)