أسئلة متعددة الاختيارات - QCM في الترتيب والمقارنة في \(\mathbb{R}\)

لدينا \(2^2=4\) و \(\left(\sqrt{3}\right)^2=3\). بما أن \(4>3\)، فإن \(2>\sqrt{3}\).

إذن \(2-\sqrt{3}>0\). وبالتالي \(\left|2-\sqrt{3}\right| = \left|2-\sqrt{3}\right|\).

الإجابة الصحيحة هي: \(2-\sqrt{3}\).

نحسب مربع كل حد: \(\left(2\sqrt{7}\right)^2=28\) و \(\left(3\sqrt{3}\right)^2=27\).

بما أن \(28>27\)، فإن \(2\sqrt{7}>3\sqrt{3}\). إذن \(2\sqrt{7}-3\sqrt{3}>0\).

الإجابة الصحيحة هي: \(2\sqrt{7}-3\sqrt{3}\).

بما أن \(\sqrt{2012} < \sqrt{2013}\)، فإن \(\sqrt{2012}-\sqrt{2013}<0\).

إذن \(\left|\sqrt{2012}-\sqrt{2013}\right| = -\left(\sqrt{2012}-\sqrt{2013}\right) = \sqrt{2013}-\sqrt{2012}\).

الإجابة الصحيحة هي: \(\sqrt{2013}-\sqrt{2012}\).

نحسب مربع الطرفين:

بما أن \(13+2\sqrt{42} > 13\) (لأن \(2\sqrt{42}>0\))، إذن \(\sqrt{6}+\sqrt{7}>\sqrt{13}\).

الإجابة الصحيحة هي: \(\sqrt{6}+\sqrt{7}>\sqrt{13}\).

لدينا \(\sqrt{2}<\sqrt{3}\). إذن \(-\sqrt{2}>-\sqrt{3}\). وبالتالي \(1-\sqrt{2}>1-\sqrt{3}\).

بما أن كلا العددين سالب، فإن أخذ المقلوب يقلب الترتيب: \(\frac{1}{1-\sqrt{2}} < \frac{1}{1-\sqrt{3}}\).

إذن، \(\frac{1}{1-\sqrt{3}} > \frac{1}{1-\sqrt{2}}\).

الإجابة الصحيحة هي: \(\frac{1}{1-\sqrt{3}}>\frac{1}{1-\sqrt{2}}\).

نحسب الفرق \(a-1\):

بما أن \(2>\sqrt{2}\)، فإن \(2-\sqrt{2}>0\). وبما أن المقام موجب، فإن \(a-1>0\).

إذن \(a>1\).

الإجابة الصحيحة هي: \(a>1\).

لدينا \(a-b=2-\sqrt{5}\). بما أن \(2^2=4\) و \(\left(\sqrt{5}\right)^2=5\)، فإن \(2<\sqrt{5}\).

إذن \(a-b<0\)، أي \(a<b\).

الإجابة الصحيحة هي: \(a<b\).

بما أن \(-\sqrt{2}-1\) هو عدد سالب قطعا، فإن \(a-b\) أصغر من عدد سالب.

إذن \(a-b<0\)، أي \(a<b\).

الإجابة الصحيحة هي: \(a<b\).

لدينا \(a-b<-\sqrt{5}\). بتربيع طرفي متراجحة طرفاها سالبان، يقلب الترتيب.

الإجابة الصحيحة هي: \(\left(a-b\right)^{2}>5\).

لدينا \(a<b\). بالضرب في عدد سالب (\(-12\))، يقلب الترتيب.

الخيار \(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\) غير صحيح دائماً (صحيح إذا كان لهما نفس العلامة). الخيار \(-a<-b\) غير صحيح.

الإجابة الصحيحة هي: \(-12a>-12b\).

لدينا \(a\ge b\). بالضرب في عدد سالب (\(-\sqrt{5}\))، يقلب الترتيب.

الخيار \(a-b\ge0\) صحيح أيضاً، لكن الخيار المحدد في المصدر الأصلي هو:

الإجابة الصحيحة هي: \(-\sqrt{5}a\le-\sqrt{5}b\).

نحسب قيمة \(a-b\):

بما أن \(a-b=0\)، فإن \(a=b\).

الإجابة الصحيحة هي: \(a=b\).

بما أن \(ab=-\sqrt{6}<0\)، فإن \(a\) و \(b\) مختلفان في العلامة. وبما أن \(a>b\)، فإن \(b<0<a\).

في هذه الحالة (اختلاف العلامة)، مقلوب عدد موجب هو موجب ومقلوب عدد سالب هو سالب.

الإجابة الصحيحة هي: \(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\).

الشرط \(a^{2}\le b^{2}\) يعني \(\left|a\right|\le\left|b\right|\). هذا الشرط وحده لا يكفي لتحديد مقارنة بين \(a\) و \(b\).

على سبيل المثال: إذا كان \(a=-1\) و \(b=-2\)، فإن \(a^{2}=1\) و \(b^{2}=4\)، و \(a^{2}\le b^{2}\) صحيح، ولكن \(a>b\).

على سبيل المثال: إذا كان \(a=1\) و \(b=2\)، فإن \(a^{2}\le b^{2}\) صحيح، و \(a<b\).

بما أن السؤال ضمن سياق الأعداد الموجبة عادة، وبالنظر إلى أن أي من الخيارات لا يصح دائماً بدون قيود، نفترض أن السؤال قد يقصد في حالة الأعداد الموجبة، حيث \(a\le b\).

الخيار الأكثر ملاءمة (تحت فرضيات إضافية غير مذكورة): \(a\le b\).

لدينا \(x\ge3\) و \(y\ge2\).

بما أن \(x-y\ge1\) صحيحة، فإن \(x-y\ge-1\) صحيحة أيضاً.

الخيار المحدد في المصدر الأصلي هو:

الإجابة الصحيحة هي: \(x+y\ge5\).

لدينا \(a>2\) و \(b<3\).

بما أن عدد موجب هو دائما أكبر من عدد سالب، فإن \(a-2>b-3\).

الإجابة الصحيحة هي: \(a-2>b-3\).

لدينا \(a\le b\) و \(c\le d\). من الثانية نستنتج أن \(-d\le-c\).

بجمع المتراجحتين \(\left(a\le b\right)\) و \(\left(-d\le-c\right)\) طرفاً بطرف:

الإجابة الصحيحة هي: \(a-d\le b-c\).

نضع \(k=a-\sqrt{2}=b+\sqrt{3}=c-\sqrt{5}\). إذن:

بما أن \(-\sqrt{3} < \sqrt{2} < \sqrt{5}\)، فإن \(k-\sqrt{3} < k+\sqrt{2} < k+\sqrt{5}\).

إذن \(b<a<c\).

الإجابة الصحيحة هي: \(b<a<c\).

لدينا \(0<a\le1\). نحسب الفرق \(a-a^{2}\):

بما أن \(a>0\) و \(1-a\ge0\)، فإن \(a(1-a)\ge0\).

إذن \(a\ge a^{2}\).

ملاحظة: الخيار \(a\le\sqrt{a}\) صحيح أيضاً، لكن نختار الخيار المحدد في المصدر الأصلي.

الإجابة الصحيحة هي: \(a\ge a^{2}\).

مقارنة \(A\) بالصفر: \(\left(2\sqrt{5}\right)^2=20\) و \(8^2=64\). بما أن \(20<64\)، فإن \(2\sqrt{5}<8\). إذن \(A<0\).

مقارنة \(B\) بالصفر: \(\left(3\sqrt{5}\right)^2=45\) و \(7^2=49\). بما أن \(45<49\)، فإن \(3\sqrt{5}<7\). إذن \(B<0\).

مقارنة \(A\) و \(B\): نحسب الفرق \(A-B\):

بما أن \(A-B<0\)، فإن \(A<B\).

النتيجة: \(A<B<0\).

الإجابة الصحيحة هي: \(A<B<0\)

لدينا \(a\le b<0\). بأخذ المقلوب لعددين سالبين يقلب الترتيب.

ملاحظة: الخياران الآخران صحيحان أيضاً. نختار الخيار المحدد في المصدر الأصلي.

الإجابة الصحيحة هي: \(\frac{1}{a}\ge\frac{1}{b}\).

بما أن \(\left|3\sqrt{7}-2\sqrt{17}\right|\) هي قيمة مطلقة، فإنها عدد موجب أو منعدم.

نحسب: \(\left(3\sqrt{7}\right)^2=63\) و \(\left(2\sqrt{17}\right)^2=68\). بما أن \(63<68\)، فإن \(3\sqrt{7}-2\sqrt{17}<0\). لذا \(\left|3\sqrt{7}-2\sqrt{17}\right| > 0\).

إذن \(x-y>0\)، أي \(x>y\).

الإجابة الصحيحة هي: \(x>y\).

نحسب الفرق \(a-b\):

نقارن \(3\sqrt{7}\) و \(7\): \(\left(3\sqrt{7}\right)^2=63\) و \(7^2=49\). بما أن \(63>49\)، فإن \(3\sqrt{7}>7\).

إذن \(a-b>0\)، أي \(a>b\).

الإجابة الصحيحة هي: \(a>b\).

بما أن \(ab>0\)، فإن \(a\) و \(b\) لهما نفس العلامة.

إذا كان لعددين نفس العلامة، فإن أخذ مقلوبيهما يقلب الترتيب.

الإجابة الصحيحة هي: \(a^{-1}<b^{-1}\).

نحسب مربع الإحداثيات للمقارنة:

الترتيب حسب المربعات: \(48<50<60\). بما أن جميع الأعداد سالبة، الترتيب يقلب:

إذن النقطة \(A\) تقع بين \(C\) و \(B\)، أي \(A\in\left[BC\right]\).

الإجابة الصحيحة هي: \(A\in\left[BC\right]\).

إضافة عدد (\(c\)) إلى طرفي متراجحة لا يغير الترتيب.

الإجابة الصحيحة هي: \(a+c<b+c\).

لدينا \(a>b\). نحسب الفرق \(\left(a-3\right)-\left(b-5\right)\):

بما أن \(a>b\)، فإن \(a-b>0\). إذن \(a-b+2>2>0\).

وبالتالي \(a-3>b-5\).

الإجابة الصحيحة هي: \(a-3>b-5\).

بما أن \(b-a\ge1\)، فإن \(b>a\). العبارة صحيحة.

الإجابة الصحيحة هي: صواب.

الضرب في عدد سالب (\(-\frac{2}{3}\)) يقلب الترتيب.

العبارة صحيحة.

الإجابة الصحيحة هي: صواب.

نحسب الفرق: \(\left(-3b+1\right)-\left(-3a+2\right) = 3a-3b-1 = 3\left(a-b\right)-1\).

بما أن \(a<b\)، فإن \(a-b<0\). إذن \(3\left(a-b\right)<0\). وبالتالي \(3\left(a-b\right)-1<0\).

إذن \(-3b+1<-3a+2\). العبارة صحيحة.

الإجابة الصحيحة هي: صواب.

بما أن \(5.377 < 6.449\)، فإن العبارة صحيحة.

الإجابة الصحيحة هي: صواب.

للمقارنة، نضرب طرفي المتراجحة في \(-1\) ونقلب الترتيب. نقارن \(\frac{1}{9}\) و \(\frac{100}{899}\):

بما أن الفرق سالب، \(\frac{1}{9} < \frac{100}{899}\). بضرب في \(-1\) يقلب الترتيب: \(-\frac{1}{9} > -\frac{100}{899}\).

العبارة خاطئة.

الإجابة الصحيحة هي: خطأ.

لدينا \(\sqrt{2}-5 \approx 1.414-5 = -3.586\). بما أن \(3\not<-3.586\)، فإن العبارة خاطئة.

الإجابة الصحيحة هي: خطأ.

نعيد ترتيب المتراجحة: \(11-7 \ge \sqrt{5}-\sqrt{7}\). إذن \(4 \ge \sqrt{5}-\sqrt{7}\).

بما أن \(\sqrt{5}<\sqrt{7}\)، فإن \(\sqrt{5}-\sqrt{7}\) هو عدد سالب. العدد الموجب \(4\) أكبر من أي عدد سالب. العبارة صحيحة.

الإجابة الصحيحة هي: صواب.

لدينا \(-\frac{2}{3} > -\frac{20}{3}\) (لأن \(-2>-20\)). بما أن \(\sqrt{2}\) موجب، فإن الترتيب يحفظ.

إذن العبارة صحيحة.

الإجابة الصحيحة هي: صواب.

نقارن المقامين: \(\left(2\sqrt{3}\right)^2=12\) و \(\left(3\sqrt{2}\right)^2=18\).

بأخذ المقلوب (لأعداد موجبة) يقلب الترتيب: \(\frac{1}{2\sqrt{3}} > \frac{1}{3\sqrt{2}}\).

العبارة خاطئة.

الإجابة الصحيحة هي: خطأ.

نقارن المقامين: \(\sqrt{3}+1\) و \(\sqrt{3}-1\).

بأخذ المقلوب يقلب الترتيب: \(\frac{1}{\sqrt{3}+1} < \frac{1}{\sqrt{3}-1}\).

العبارة خاطئة.

الإجابة الصحيحة هي: خطأ.

نضرب الوسطين والطرفين: \(3\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 18\). \(4 \times 4 = 16\).

بما أن \(18 > 16\)، فإن \(\frac{3}{4}\sqrt{2} > \frac{4}{3\sqrt{2}}\).

العبارة خاطئة.

الإجابة الصحيحة هي: خطأ.

المتراجحة الصحيحة هي \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) (المتوسط الحسابي أكبر من أو يساوي المتوسط الهندسي). العبارة المعطاة خاطئة.

الإجابة الصحيحة هي: خطأ.

لدينا: \(2.414 < 2.828 < 3.146\). العبارة صحيحة.

الإجابة الصحيحة هي: صواب.

الضرب في عدد سالب (\(-2\)) يقلب الترتيب.

إضافة \(1\) لا يغير الترتيب: \(1-2x > 1-2y\). العبارة المعطاة خاطئة.

الإجابة الصحيحة هي: خطأ.

العبارة هي مطابقة تربيعية: \(b^{2}+a^{2}-2ab = \left(a-b\right)^{2}\).

مربع أي عدد حقيقي هو دائماً موجب أو منعدم: \(\left(a-b\right)^{2}\ge0\). العبارة صحيحة.

الإجابة الصحيحة هي: صواب.