مراجعة الترتيب والمقارنة

(2) (أ) مقارنة $4\sqrt{3}$ و $\sqrt{45}$:

[span_1](start_span)

لدينا: $4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \times 3} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48}$[span_1](end_span)

[span_2](start_span)

بما أن $48 > 45$، فإن $\sqrt{48} > \sqrt{45}$[span_2](end_span)

[span_3](start_span)

إذن: $4\sqrt{3} > \sqrt{45}$[span_3](end_span)

(2) (ب) استنتاج أن $a:

لدينا $a = 7-4\sqrt{3}$ و $b = 9-3\sqrt{5}$

نحسب الفرق: $a-b = (7-4\sqrt{3}) - (9-3\sqrt{5}) = -2 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$

نقارن $4\sqrt{3}$ و $3\sqrt{5}$: $(4\sqrt{3})^2=48$ و $(3\sqrt{5})^2=45$. إذن $4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$

فإن $3\sqrt{5} - 4\sqrt{3} < 0$ (عدد سالب).

وبالتالي $a-b = -2 + (\text{عدد سالب})$ هو عدد سالب.

[span_4](start_span)

إذن: $a-b < 0$، ومنه $a < b$[span_4](end_span)

(3) (أ) مقارنة $5a-7b$ و $2a-4b$:

[span_5](start_span)

نحسب الفرق: $(5a-7b) - (2a-4b) = 3a - 3b = 3(a-b)$[span_5](end_span)

بما أن $a < b$، فإن $a-b < 0$.

[span_6](start_span)

إذن: $3(a-b) < 0$، وبالتالي $5a-7b < 2a-4b$[span_6](end_span)

(3) (ب) مقارنة $\frac{3a+4b}{2}$ و $\frac{3b+2a}{2}$:

[span_7](start_span)

نقارن البسطين: $(3a+4b) - (3b+2a) = a + b$[span_7](end_span)

[span_8](start_span)

بما أن $a > 0$ (لأن $7^2=49 > 48$) و $b > 0$ (لأن $9^2=81 > 45$)، فإن $a+b > 0$[span_8](end_span)

[span_9](start_span)

إذن: $3a+4b > 3b+2a$، وبالتالي: $\frac{3a+4b}{2} > \frac{3b+2a}{2}$[span_9](end_span)

(3) (ج) مقارنة $3a-\frac{1}{4\sqrt{3}-1}$ و $3b-\frac{1}{6}$:

[span_10](start_span)

نحسب الفرق $D = (3a-\frac{1}{4\sqrt{3}-1}) - (3b-\frac{1}{6}) = 3(a-b) + \frac{1}{6} - \frac{1}{4\sqrt{3}-1}$[span_10](end_span)

نعلم أن $3(a-b) < 0$.

نقارن المقامين $6$ و $4\sqrt{3}-1$. نقارن $7$ و $4\sqrt{3}$: $7^2=49$ و $(4\sqrt{3})^2=48$. إذن $7 > 4\sqrt{3}$.

فإن $6 > 4\sqrt{3}-1$. [span_11](start_span)وبما أن المقامين موجبان، فإن $\frac{1}{6} < \frac{1}{4\sqrt{3}-1}$[span_11](end_span)

فإن $\frac{1}{6} - \frac{1}{4\sqrt{3}-1} < 0$ (عدد سالب).

الفرق $D$ هو (عدد سالب) + (عدد سالب) < 0.

[span_12](start_span)

إذن: $3a-\frac{1}{4\sqrt{3}-1} < 3b-\frac{1}{6}$[span_12](end_span)

[span_14](start_span)

(1) حساب $A$ إذا كان $m\le1$[span_14](end_span):

بما أن $m\le1$، فإن $3m-4\le-1$ (سالب). إذن $|3m-4| = 4-3m$

وبما أن $m\le1$، فإن $7-5m\ge2$ (موجب). إذن $|7-5m| = 7-5m$

$A = (4-3m) - (7-5m) = 4-3m-7+5m$

[span_15](start_span)

$A = 2m-3$[span_15](end_span)

[span_16](start_span)

(2) (أ) حساب $a^{2}$ و $b^{2}$[span_16](end_span):

لدينا $a = 2-\sqrt{6}$. $a^2 = (2-\sqrt{6})^2 = 4 - 4\sqrt{6} + 6 = 10 - 4\sqrt{6}$

لدينا $b = \sqrt{3}-2\sqrt{2}$. $b^2 = (\sqrt{3}-2\sqrt{2})^2 = 3 - 4\sqrt{6} + 8 = 11 - 4\sqrt{6}$

[span_17](start_span)

(2) (ب) مقارنة $a^{2}$ و $b^{2}$[span_17](end_span):

نحسب الفرق: $a^2 - b^2 = (10 - 4\sqrt{6}) - (11 - 4\sqrt{6}) = -1$

[span_18](start_span)

بما أن $a^2 - b^2 = -1 < 0$، إذن: $a^2 < b^2$[span_18](end_span)

[span_19](start_span)

(2) (ج) استنتاج مقارنة لـ $\frac{2a-5}{-3}$ و $\frac{2b-8}{-3}$[span_19](end_span):

بما أن $a^2 < b^2$ و $a, b$ سالبان (لأن $2^2 < (\sqrt{6})^2$ و $\sqrt{3} < \sqrt{8}$)، فإن $a > b$.

نحسب الفرق: $(2a-5) - (2b-8) = 2(a-b) + 3$. بما أن $a-b > 0$، فالفرق موجب.

إذن: $2a-5 > 2b-8$.

عند القسمة على عدد سالب $-3$، ينعكس الترتيب:

[span_20](start_span)

إذن: $\frac{2a-5}{-3} < \frac{2b-8}{-3}$[span_20](end_span)

[span_21](start_span)

(3) مقارنة $x^{2}-x$ و $xy$ مع $x\le y+1$[span_21](end_span):

نحسب الفرق: $(x^2-x) - xy = x(x-1) - xy = x(x-1-y)$

لدينا $x\le y+1$، أي $x-1\le y$. ومنه $x-1-y\le 0$.

إشارة الفرق $x(x-1-y)$ تعتمد على إشارة $x$:

**الحالة 1:** إذا كان $x\ge 0$: فإن $x(x-1-y)\le 0$. إذن $x^2-x\le xy$.

**الحالة 2:** إذا كان $x< 0$: فإن $x(x-1-y)\ge 0$. إذن $x^2-x\ge xy$.

[span_23](start_span)

(1) (أ) تبيان قيمتي $x$ و $y$[span_23](end_span):

$x = \sqrt{9} - \sqrt{28} = 3 - \sqrt{4\times 7} = 3 - 2\sqrt{7}$

$y = \frac{(2-\sqrt{3}) - 3(2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3} - 6 - 3\sqrt{3}}{4-3} = \frac{-4 - 4\sqrt{3}}{1} = -4 - 4\sqrt{3}$

[span_24](start_span)

(2) (أ) تبيان أن $x$ و $y$ سالبان[span_24](end_span):

بالنسبة لـ $x$: نقارن $3$ و $2\sqrt{7}$. $3^2=9$ و $(2\sqrt{7})^2=28$. بما أن $9 < 28$، فإن $3 < 2\sqrt{7}$، وبالتالي $x < 0$.

بالنسبة لـ $y$: $y = -4 - 4\sqrt{3}$ هو مجموع عددين سالبين، إذن $y < 0$.

[span_25](start_span)

(1) (ب) مقارنة $x$ و $y$[span_25](end_span):

نقارن $-x = 2\sqrt{7}-3$ و $-y = 4+4\sqrt{3}$. من الواضح أن $-y > -x$ (لأن $-y$ أكبر بكثير).

وبما أن $x$ و $y$ سالبان، فإن ترتيبهما معكوس: $y < x$.

[span_26](start_span)

(1) (ت) استنتاج مقارنة للعددين $\frac{-2}{11-3x}$ و $\frac{-2}{15-3y}$[span_26](end_span):

لدينا $x > y$. نضرب في $-3$: $-3x < -3y$.

نحسب الفرق بين المقامين: $(11-3x) - (15-3y) = -4 + 3(y-x)$.

بما أن $y < x$، فإن $y-x < 0$. إذن $-4 + 3(y-x) < 0$.

فإن $11-3x < 15-3y$. (كلا المقامين موجب كما في التمرين 7).

بما أن المقامين موجبان، فإن المقلوب يعكس الترتيب: $\frac{1}{11-3x} > \frac{1}{15-3y}$.

نضرب في $-2$ (سالب)، فنحصل على: \frac{-2}{11-3x} < \frac{-2}{15-3y}

[span_27](start_span)

(2) (ب) مقارنة $3-7x^{2}+2\sqrt{5}$ و $5+6\sqrt{2}-7y^{2}$[span_27](end_span):

نحسب الفرق: $D = (3-7x^{2}+2\sqrt{5}) - (5+6\sqrt{2}-7y^{2}) = 7(y^2-x^2) - 2 + (2\sqrt{5} - 6\sqrt{2})$

بما أن $x = \sqrt{9}-\sqrt{28}$ و $y = -4-4\sqrt{3}$، فإن $y$ أبعد عن الصفر من $x$، وبالتالي $y^2 > x^2$. إذن $7(y^2-x^2) > 0$.

نقارن $2\sqrt{5}$ و $6\sqrt{2}$: $20 < 72$، إذن $2\sqrt{5} < 6\sqrt{2}$، وبالتالي $2\sqrt{5} - 6\sqrt{2} < 0$.

بما أن $y$ أكبر من $x$ بالقيمة المطلقة، فإن $7(y^2-x^2)$

هي القوة المهيمنة الموجبة.

وبالتالي: $D > 0$

. إذن $3-7x^{2}+2\sqrt{5} > 5+6\sqrt{2}-7y^{2}$

[span_29](start_span)

(1) المقارنة[span_29](end_span):

مقارنة $7\sqrt{3}$ و $11$: $(7\sqrt{3})^2 = 147$ و $11^2 = 121$. إذن $7\sqrt{3} > 11$.

مقارنة $\sqrt{11}$ و $5$: $(\sqrt{11})^2 = 11$ و $5^2 = 25$. إذن $\sqrt{11} < 5$.

[span_30](start_span)

(2) مقارنة $a$ و $b$ مع العدد $0$[span_30](end_span):

$a = 7\sqrt{3}-11$. بما أن $7\sqrt{3} > 11$، فإن $a > 0$.

$b = (\sqrt{11}-5)(1-\sqrt{3})$. بما أن $\sqrt{11}-5 < 0$ و $1-\sqrt{3} < 0$، فإن $b > 0$ (سالب × سالب).

[span_31](start_span)

(3) تبيان أن $a=(2\sqrt{3}-5)(1-\sqrt{3})$[span_31](end_span):

نشر العبارة: $(2\sqrt{3}-5)(1-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 6 - 5 + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3} - 11$. إذن $a=(2\sqrt{3}-5)(1-\sqrt{3})$.

[span_32](start_span)

(4) قارن $a$ و $b$[span_32](end_span):

نحسب الفرق $a-b$

(صعبة) أو نستخدم الآلة الحاسبة (غير مرغوب فيها) أو نستخدم خاصية $a > 0$

و $b > 0$

ونقارن.

بما أن $a \approx 1.12$

و $b \approx 1.23$

، فإن $a < b$

. (للتوضيح: مقارنة المربعات تؤدي إلى $a^2 < b^2$

).

إذن $a < b$.

[span_33](start_span)

(5) استنتاج مقارنة للعددين $\frac{\sqrt{2}}{a^{2}}-\sqrt{11}$ و $\frac{\sqrt{2}}{ab}-5$[span_33](end_span):

نحسب الفرق: $D = \sqrt{2} \left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{ab}\right) + 5-\sqrt{11} = \sqrt{2} \frac{b-a}{a^2b} + (5-\sqrt{11})$.

بما أن $a < b$ و $a, b$ موجبان، فإن $\sqrt{2} \frac{b-a}{a^2b} > 0$.

بما أن $5^2=25$ و $(\sqrt{11})^2=11$، فإن $5 > \sqrt{11}$، و $5-\sqrt{11} > 0$.

[span_34](start_span)

إذن $D > 0$، وبالتالي $\frac{\sqrt{2}}{a^{2}}-\sqrt{11} > \frac{\sqrt{2}}{ab}-5$[span_34](end_span)

[span_35](start_span)

(6) ترتيب تصاعديا الأعداد $\frac{a}{b}$ و $\frac{b}{a}$ و $1$[span_35](end_span):

لدينا $a < b$ و $a, b$ موجبان.

بما أن $a < b$، فإن $\frac{a}{b} < 1$.

وبما أن $a < b$، فإن $\frac{b}{a} > 1$.

[span_36](start_span)

الترتيب التصاعدي هو: $\frac{a}{b} < 1 < \frac{b}{a}$[span_36](end_span)

[span_38](start_span)

(1) (أ) المقارنة[span_38](end_span):

مقارنة $3$ و $\sqrt{7}$: $3^2=9$ و $(\sqrt{7})^2=7$. إذن $3 > \sqrt{7}$.

مقارنة $8$ و $3\sqrt{7}$: $8^2=64$ و $(3\sqrt{7})^2=63$. إذن $8 > 3\sqrt{7}$.

[span_39](start_span)

(1) (ب) حساب العبارة $E$[span_39](end_span):

بما أن $3 > \sqrt{7}$، فإن $|3-\sqrt{7}| = 3-\sqrt{7}$.

بما أن $3\sqrt{7} < 8$، فإن $|3\sqrt{7}-8| = 8-3\sqrt{7}$.

$E = (3-\sqrt{7}) - (8-3\sqrt{7}) = -5 + 2\sqrt{7}$.

[span_40](start_span)

(2) (أ) تبيان قيمتي $a$ و $b$[span_40](end_span):

$a = \sqrt{125}+\sqrt{28} = 5\sqrt{5} + 2\sqrt{7}$.

$b = \sqrt{20}+\sqrt{112} = 2\sqrt{5} + 4\sqrt{7}$.

[span_41](start_span)

(2) (ب) مقارنة $a$ و $b$[span_41](end_span):

نحسب الفرق: $a-b = 3\sqrt{5} - 2\sqrt{7}$.

نقارن $3\sqrt{5}$ و $2\sqrt{7}$: $(3\sqrt{5})^2=45$ و $(2\sqrt{7})^2=28$. إذن $3\sqrt{5} > 2\sqrt{7}$.

فإن $a-b > 0$، وبالتالي $a > b$.

[span_42](start_span)

(2) (ج) تبيان أن $(a-b)^{2}=73-12\sqrt{35}$ واستنتاج المقارنة[span_42](end_span):

$(a-b)^2 = (3\sqrt{5} - 2\sqrt{7})^2 = 45 - 12\sqrt{35} + 28 = 73 - 12\sqrt{35}$.

بما أن $(a-b)^2 \ge 0$، فإن $73 - 12\sqrt{35} \ge 0$.

إذن $73 \ge 12\sqrt{35}$.

[span_43](start_span)

(3) (أ) تبيان أن $\frac{\sqrt{5}}{2}a\ge\sqrt{5}$ مع $a\ge2$[span_43](end_span):

نضرب $a\ge2$ في العدد الموجب $\frac{\sqrt{5}}{2}$: $a \times \frac{\sqrt{5}}{2} \ge 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2}$. إذن $\frac{\sqrt{5}}{2}a \ge \sqrt{5}$.

[span_44](start_span)

(3) (ب) مقارنة $\frac{7}{3}-\sqrt{5}$ و $2-\frac{\sqrt{5}}{2}a$[span_44](end_span):

لدينا $2-\frac{\sqrt{5}}{2}a \le 2-\sqrt{5}$ (باستخدام 3.أ).

نقارن $2-\sqrt{5}$ و $\frac{7}{3}-\sqrt{5}$. نقارن $2 = \frac{6}{3}$ و $\frac{7}{3}$. بما أن $2 < \frac{7}{3}$، فإن $2-\sqrt{5} < \frac{7}{3}-\sqrt{5}$.

وبالتعدي: $2-\frac{\sqrt{5}}{2}a < \frac{7}{3}-\sqrt{5}$.

[span_45](start_span)

(3) (ج) استنتاج مقارنة $-\frac{1}{a+3}$ و $-\frac{1}{5}$[span_45](end_span):

لدينا $a\ge2$. إذن $a+3 \ge 5$.

المقلوب يعكس الترتيب: $\frac{1}{a+3} \le \frac{1}{5}$.

الضرب في $-1$ يعكس الترتيب: $-\frac{1}{a+3} \ge -\frac{1}{5}$.

[span_47](start_span)

(1) (أ) الحساب[span_47](end_span):

$\frac{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{2} = \frac{4-2}{2} = 1$.

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 4-3 = 1$.

[span_48](start_span)

(1) (ب) مقارنة $2+\sqrt{2}$ و $2+\sqrt{3}$[span_48](end_span):

بما أن $2 < 3$، فإن $\sqrt{2} < \sqrt{3}$. إذن $2+\sqrt{2} < 2+\sqrt{3}$.

[span_49](start_span)

(1) (ج) استنتاج أن $2-\sqrt{3}<\frac{2-\sqrt{2}}{2}$[span_49](end_span):

المتفاوتة تكافئ: $4-2\sqrt{3} < 2-\sqrt{2}$، أي $2+\sqrt{2} < 2\sqrt{3}$.

نقارن المربعين: $(2+\sqrt{2})^2 = 6+4\sqrt{2} = 6+\sqrt{32}$ و $(2\sqrt{3})^2 = 12$.

بما أن $\sqrt{32} < 6$ ($32 < 36$)، فإن $6+\sqrt{32} < 12$. إذن $2+\sqrt{2} < 2\sqrt{3}$. (صحيح).

[span_50](start_span)

(2) (أ) بيّن أن $b<1$[span_50](end_span):

نضرب المتفاوتة في 1.(ج) في $2+\sqrt{2}$ (موجب): $(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{3}) < \frac{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{2}$.

أي $b < \frac{4-2}{2} = 1$. إذن $b < 1$.

[span_51](start_span)

(2) (ب) استنتاج حساب للعبارة $|a|+2a-1$[span_51](end_span):

نحسب $a$: $a = \frac{1(3+2\sqrt{3})}{-3} + \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{2})}{3} = (-1 - \frac{2\sqrt{3}}{3}) + (\frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{6}}{3})$.

$a = -1 + \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}-3}{3}$.

بما أن $\sqrt{6} < 3$، فإن $a < 0$. إذن $|a| = -a$.

العبارة هي: $|a|+2a-1 = -a+2a-1 = a-1$.

$a-1 = (\frac{\sqrt{6}}{3} - 1) - 1 = \frac{\sqrt{6}}{3} - 2$.

[span_53](start_span)

(1) تبيان قيمة $x$ و $y$[span_53](end_span):

$x = \sqrt{9} - \sqrt{48} = 3 - 4\sqrt{3}$.

$y-7 = \frac{(3-\sqrt{7}) - 3(3+\sqrt{7})}{9-7} = \frac{-6 - 4\sqrt{7}}{2} = -3 - 2\sqrt{7}$.

$y = 7 - 3 - 2\sqrt{7} = 4 - 2\sqrt{7}$.

[span_54](start_span)

(2) تبيان أن $x$ و $y$ لهما نفس العلامة[span_54](end_span):

لـ $x$: نقارن $3$ و $4\sqrt{3}$: $9 < 48$. إذن $x < 0$ (سالب).

لـ $y$: نقارن $4$ و $2\sqrt{7}$: $16 < 28$. إذن $y < 0$ (سالب).

[span_55](start_span)

فلهما نفس العلامة (سالبة)[span_55](end_span).

[span_56](start_span)

(3) مقارنة $x$ و $y$[span_56](end_span):

بما أن $x, y$ سالبان، نقارن $x^2$ و $y^2$. $x^2 > y^2$ (كما تم إثباته في التمرين 3).

بما أن $x^2 > y^2$ و $x, y$ سالبان، فإن $x < y$.

[span_57](start_span)

(4) استنتاج مقارنة $\frac{-2}{1-3x}$ و $\frac{2}{3y-5}$[span_57](end_span):

نلاحظ أن $1-3x = -8+12\sqrt{3} > 0$ و $3y-5 = 7-6\sqrt{7} < 0$.

العدد الأول $\frac{-2}{1-3x}$ سالب. العدد الثاني $\frac{2}{3y-5}$ سالب. (العدد الثاني هو $\frac{-2}{5-3y}$).

نقارن $1-3x$ و $5-3y$ (المقامين الموجبين): $1-3x > 5-3y$ (من خلال التقريب).

المقلوب يعكس الترتيب: $\frac{1}{1-3x} < \frac{1}{5-3y}$.

الضرب في $-2$ يعكس الترتيب: \frac{-2}{1-3x} > \frac{-2}{5-3y} \text{ أي } \frac{-2}{1-3x} > \frac{2}{3y-5}

[span_59](start_span)

(1) مقارنة $\frac{1}{6}$ و $\frac{1}{2\sqrt{11}}$[span_59](end_span):

نقارن المقامين: $6^2=36$ و $(2\sqrt{11})^2=44$. بما أن $36 < 44$، فإن $6 < 2\sqrt{11}$.

المقلوب يعكس الترتيب: $\frac{1}{6} > \frac{1}{2\sqrt{11}}$.

[span_60](start_span)

(2) (أ) مقارنة $2\sqrt{3}$ و $\sqrt{6}$[span_60](end_span):

$(2\sqrt{3})^2=12$ و $(\sqrt{6})^2=6$. إذن $2\sqrt{3} > \sqrt{6}$.

استنتاج مقارنة $4\sqrt{3}$ و $2\sqrt{6}$: $4\sqrt{3} = 2(2\sqrt{3})$. بما أن $2\sqrt{3} > \sqrt{6}$، فإن $4\sqrt{3} > 2\sqrt{6}$.

[span_61](start_span)

(2) (ب) حساب المربعين[span_61](end_span):

$(1+\sqrt{6})^{2} = 1 + 2\sqrt{6} + 6 = 7+2\sqrt{6}$.

$(2+\sqrt{3})^{2} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7+4\sqrt{3}$.

[span_62](start_span)

(2) (ج) مقارنة $7+2\sqrt{6}$ و $7+4\sqrt{3}$[span_62](end_span):

نقارن $2\sqrt{6}$ و $4\sqrt{3}$: $(2\sqrt{6})^2=24$ و $(4\sqrt{3})^2=48$. إذن $2\sqrt{6} < 4\sqrt{3}$.

وبالتالي $7+2\sqrt{6} < 7+4\sqrt{3}$.

استنتاج مقارنة $1+\sqrt{6}$ و $2+\sqrt{3}$: بما أن $(1+\sqrt{6})^{2} < (2+\sqrt{3})^{2}$ وكلاهما موجب، فإن $1+\sqrt{6} < 2+\sqrt{3}$.

[span_63](start_span)

(3) مقارنة $5-3\sqrt{5}$ و $5-2\sqrt{11}$[span_63](end_span):

نقارن $3\sqrt{5}$ و $2\sqrt{11}$: $(3\sqrt{5})^2=45$ و $(2\sqrt{11})^2=44$. إذن $3\sqrt{5} > 2\sqrt{11}$.

الضرب في $-1$

يعكس الترتيب: $-3\sqrt{5} < -2\sqrt{11}$.

إضافة $5$

يحافظ على الترتيب: $5-3\sqrt{5} < 5-2\sqrt{11}$.

[span_65](start_span)

(1) (أ) تبيان أن $x$ و $y$ لهما نفس العلامة[span_65](end_span):

لـ $x$

: نقارن $6$

و $4\sqrt{2}$

. $6^2=36$

و $(4\sqrt{2})^2=32$

. إذن $6 > 4\sqrt{2}$

، ومنه $x > 0$

.

لـ $y$

: نقارن $7$

و $3\sqrt{3}$

. $7^2=49$

و $(3\sqrt{3})^2=27$

. إذن $7 > 3\sqrt{3}$

، ومنه $y > 0$

.

بما أنهما موجبان، فلهما نفس العلامة.

[span_66](start_span)

(1) (ب) مقارنة $3\sqrt{3}$ و $4\sqrt{2}$[span_66](end_span):

$(3\sqrt{3})^2=27$ و $(4\sqrt{2})^2=32$. إذن $3\sqrt{3} < 4\sqrt{2}$.

[span_67](start_span)

(1) (ت) تبيان أن $y>x$[span_67](end_span):

نحسب الفرق: $y-x = (7-3\sqrt{3}) - (6-4\sqrt{2}) = 1 + 4\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$.

بما أن $4\sqrt{2} > 3\sqrt{3}$

، فإن $4\sqrt{2} - 3\sqrt{3} > 0$

.

إذن $y-x = 1 + (\text{عدد موجب}) > 0$

. وبالتالي $y > x$

.

[span_68](start_span)

(2) مقارنة $\frac{-1}{y^{2}}$ و $\frac{-1}{x^{2}}$[span_68](end_span):

لدينا $y > x$

(وكلاهما موجب). إذن $y^2 > x^2$

.

المقلوب يعكس الترتيب: $\frac{1}{y^2} < \frac{1}{x^2}$

.

الضرب في $-1$

يعكس الترتيب: $\frac{-1}{y^{2}} > \frac{-1}{x^{2}}$

.

[span_70](start_span)

(1) تبيان أن $E=(2-x)^{2}$[span_70](end_span):

$(2-x)^2 = 2^2 - 2(2)x + x^2 = 4-4x+x^2$. إذن $E=(2-x)^{2}$.

[span_71](start_span)

(2) تبيان أن $\frac{4}{a}\ge4-a$[span_71](end_span):

نحسب الفرق $\frac{4}{a} - (4-a) = \frac{4 - 4a + a^2}{a} = \frac{(2-a)^2}{a}$.

بما أن $(2-a)^2\ge 0$

و $a>0$

، فإن $\frac{(2-a)^2}{a}\ge 0$

.

إذن $\frac{4}{a} - (4-a) \ge 0$

، وبالتالي $\frac{4}{a}\ge4-a$

.

[span_72](start_span)

(3) مقارنة $3$ و $\frac{4}{2+\sqrt{3}}$[span_72](end_span):

نبسّط الكسر: $\frac{4}{2+\sqrt{3}} = \frac{4(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{8-4\sqrt{3}}{4-3} = 8-4\sqrt{3}$.

نقارن $3$ و $8-4\sqrt{3}$. أي نقارن $4\sqrt{3}$ و $5$.

$(4\sqrt{3})^2=48$ و $5^2=25$. بما أن $4\sqrt{3} > 5$.

إذن $-4\sqrt{3} < -5$

. بإضافة $8$

: $8-4\sqrt{3} < 3$

.

وبالتالي $\frac{4}{2+\sqrt{3}} < 3$

.

[span_74](start_span)

(1) (أ) نشر و اختصار $p$[span_74](end_span):

$p = (3a)^2 - 2(3a)(2) + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$.

[span_75](start_span)

(1) (ب) استنتاج أن $9a^{2}+4\ge12a$[span_75](end_span):

بما أن $p=(3a-2)^2$ هو مربع عدد حقيقي، فإن $p\ge 0$.

إذن $9a^2 - 12a + 4 \ge 0$، ومنه $9a^{2}+4\ge12a$.

[span_76](start_span)

(2) (أ) تبيان أن $3a-2<-1$[span_76](end_span):

لدينا $a<\frac{1}{3}$

. نضرب في $3$

: $3a < 1$

.

نطرح $2$

: $3a-2 < 1-2$

. إذن $3a-2<-1$

.

[span_77](start_span)

(2) (ب) ترتيب $1$ و $p$ و $\frac{1}{p}$[span_77](end_span):

بما أن $3a-2<-1$

، فإن $p = (3a-2)^2 > (-1)^2 = 1$

. إذن $p > 1$

.

بما أن $p > 1$

، فإن المقلوب $\frac{1}{p}$

محصور بين $0$

و $1$

. إذن $\frac{1}{p} < 1$

.

الترتيب التصاعدي هو: $\frac{1}{p} < 1 < p$

.

[span_78](start_span)

(2) (ج) إيجاد $a$ الذي يحقق $\sqrt{p}=2$[span_78](end_span):

$\sqrt{p}=2 \iff \sqrt{(3a-2)^2}=2 \iff |3a-2|=2$.

الحالة 1: $3a-2=2 \iff 3a=4 \iff a=\frac{4}{3}$.

الحالة 2: $3a-2=-2 \iff 3a=0 \iff a=0$.

[span_80](start_span)

(1) (أ) مقارنة $4\sqrt{2}$ و $2\sqrt{5}$[span_80](end_span):

$(4\sqrt{2})^2=32$ و $(2\sqrt{5})^2=20$. إذن $4\sqrt{2} > 2\sqrt{5}$.

[span_81](start_span)

(1) (ب) استنتاج مقارنة[span_81](end_span):

بإضافة $\pi$: $\pi+4\sqrt{2} > \pi+2\sqrt{5}$.

[span_82](start_span)

(2) (أ) حساب $a$ و $b$[span_82](end_span):

$a=(\sqrt{5}+1)^{2} = 5+2\sqrt{5}+1 = 6+2\sqrt{5}$.

$b=(2+\sqrt{2})^{2} = 4+4\sqrt{2}+2 = 6+4\sqrt{2}$.

[span_83](start_span)

(2) (ب) مقارنة $a$ و $b$[span_83](end_span):

نقارن $2\sqrt{5}$ و $4\sqrt{2}$: $(2\sqrt{5})^2=20$ و $(4\sqrt{2})^2=32$. إذن $2\sqrt{5} < 4\sqrt{2}$.

فإن $6+2\sqrt{5} < 6+4\sqrt{2}$. إذن $a < b$.

[span_84](start_span)

(2) (ج) استنتاج مقارنة $\sqrt{5}+1$ و $2+\sqrt{2}$[span_84](end_span):

بما أن $a < b$ و $a, b$

موجبان، فإن $\sqrt{a} < \sqrt{b}$

. إذن $\sqrt{5}+1 < 2+\sqrt{2}$

.

[span_85](start_span)

(3) (أ) مقارنة $x^{2}+2\sqrt{5}$ و $y^{2}+4\sqrt{2}$[span_85](end_span):

لدينا $x, y$ سالبان و $x\ge y$

. تربيع الأعداد السالبة يعكس الترتيب، إذن $x^2 \le y^2$

.

لدينا $2\sqrt{5} < 4\sqrt{2}$

. الفرق هو: $D = (x^2-y^2) + (2\sqrt{5}-4\sqrt{2})$

.

$x^2-y^2 \le 0$

(سالب أو صفر) و $2\sqrt{5}-4\sqrt{2} < 0$

(سالب). إذن $D < 0$

.

وبالتالي $x^{2}+2\sqrt{5} < y^{2}+4\sqrt{2}$

.

[span_86](start_span)

(3) (ب) مقارنة $\frac{1}{x-1}$ و $\frac{1}{y-1}$[span_86](end_span):

لدينا $x\ge y$

. بطرح $1$

: $x-1 \ge y-1$

.

بما أن $x, y$ سالبان، فإن $x-1$

و $y-1$

سالبان.

مقلوب الأعداد السالبة يعكس الترتيب: $\frac{1}{x-1} \le \frac{1}{y-1}$

.

[span_88](start_span)

(1) تبيان أن $a^{2}-b^{2}=2\sqrt{2}-3$[span_88](end_span):

$a^2 = (1+\sqrt{2})^2 = 3+2\sqrt{2}$. $b^2 = (\sqrt{6})^2 = 6$.

$a^{2}-b^{2} = 3+2\sqrt{2} - 6 = 2\sqrt{2}-3$.

[span_89](start_span)

(2) (أ) مقارنة $2\sqrt{2}$ و $3$[span_89](end_span):

$(2\sqrt{2})^2=8$ و $3^2=9$. إذن $2\sqrt{2} < 3$.

[span_90](start_span)

(2) (ب) استنتاج أن $a[span_90](end_span):

بما أن $2\sqrt{2} < 3$، فإن $a^2-b^2 = 2\sqrt{2}-3 < 0$. إذن $a^2 < b^2$.

بما أن $a, b$

موجبان، فإن $a < b$

.

[span_91](start_span)

(3) (أ) تبيان أن $a+c = 2$[span_91](end_span):

$a+c = (1+\sqrt{2}) + (1-\sqrt{2}) = 2$.

[span_92](start_span)

(3) (ب) تبيان أن $ac = -1$[span_92](end_span):

$ac = (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1-2 = -1$.

[span_93](start_span)

(3) (ت) تبيان أن $-bc>1$[span_93](end_span):

$-bc = -\sqrt{6}(1-\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}-\sqrt{6}$.

نقارن $2\sqrt{3}-\sqrt{6}$ و $1$. أي نقارن $2\sqrt{3}$ و $1+\sqrt{6}$.

نقارن المربعين: $(2\sqrt{3})^2=12$ و $(1+\sqrt{6})^2=7+2\sqrt{6}$.

نقارن $5$ و $2\sqrt{6}$

: $25 > 24$

. إذن $5 > 2\sqrt{6}$

.

إذن $12 > 7+2\sqrt{6}$

، وبالتالي $2\sqrt{3} > 1+\sqrt{6}$

. فإن $-bc > 1$

.

[span_94](start_span)

(3) (ج) استنتاج مقارنة بين $2\sqrt{3}$ و $\sqrt{6}+1$[span_94](end_span):

من ت. لدينا $2\sqrt{3} > 1+\sqrt{6}$

.

[span_96](start_span)

(1) (أ) المقارنة[span_96](end_span):

مقارنة $8$

و $5\sqrt{2}$

: $8^2=64$

و $(5\sqrt{2})^2=50$

. إذن $8 > 5\sqrt{2}$

.

مقارنة $2\sqrt{3}$

و $3\sqrt{2}$

: $(2\sqrt{3})^2=12$

و $(3\sqrt{2})^2=18$

. إذن $2\sqrt{3} < 3\sqrt{2}$

.

[span_97](start_span)

(1) (ب) حساب العبارة $E$[span_97](end_span):

بما أن $5\sqrt{2} < 8$

، فإن $|5\sqrt{2}-8| = 8-5\sqrt{2}$

.

بما أن $3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}$

، فإن $|3\sqrt{2}-2\sqrt{3}| = 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$

.

$E = (8-5\sqrt{2}) + (3\sqrt{2}-2\sqrt{3}) = 8 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$

.

[span_98](start_span)

(2) (أ) المقارنة[span_98](end_span):

مقارنة $7\sqrt{2}$

و $5\sqrt{3}$

: $(7\sqrt{2})^2=98$

و $(5\sqrt{3})^2=75$

. إذن $7\sqrt{2} > 5\sqrt{3}$

.

مقارنة المقلوب: بما أن $7\sqrt{2} > 5\sqrt{3}$

، فإن $\frac{1}{7\sqrt{2}} < \frac{1}{5\sqrt{3}}$

.

[span_99](start_span)

(2) (ب) استنتاج مقارنة[span_99](end_span):

نحسب الفرق: $D = (a+\frac{1}{7\sqrt{2}}) - (b+\frac{1}{5\sqrt{3}}) = (a-b) + (\frac{1}{7\sqrt{2}} - \frac{1}{5\sqrt{3}})$

.

لدينا $a\le b$

، إذن $a-b \le 0$

. ولدينا $\frac{1}{7\sqrt{2}} - \frac{1}{5\sqrt{3}} < 0$

.

الفرق $D$

هو مجموع عددين سالبين أو صفريين، إذن $D < 0$

.

وبالتالي $a+\frac{1}{7\sqrt{2}} < b+\frac{1}{5\sqrt{3}}$

.

[span_101](start_span)

(1) مقارنة العددين[span_101](end_span):

(I) $\sqrt{3}+2$ و $\sqrt{5}+2$: بما أن $3 < 5$

، فإن $\sqrt{3} < \sqrt{5}$

. إذن $\sqrt{3}+2 < \sqrt{5}+2$

.

(II) $\frac{1}{2\sqrt{2}}$

و $\frac{1}{2\sqrt{5}}$

: نقارن المقامين: $2\sqrt{2}$

و $2\sqrt{5}$

. بما أن $2 < 5$

، فإن $2\sqrt{2} < 2\sqrt{5}$

. المقلوب يعكس الترتيب: $\frac{1}{2\sqrt{2}} > \frac{1}{2\sqrt{5}}$

.

[span_102](start_span)

(2) (أ) اختصار العبارتين A و B[span_102](end_span):

$A=\sqrt{27}-\sqrt{12} = 3\sqrt{3}-2\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

$B=\sqrt{45}+\sqrt{20}-4\sqrt{5} = 3\sqrt{5}+2\sqrt{5}-4\sqrt{5} = \sqrt{5}$.

[span_103](start_span)

(2) (ب) مقارنة A و B واستنتاج[span_103](end_span):

بما أن $A=\sqrt{3}$

و $B=\sqrt{5}$

، فإن $A < B$

.

استنتاج مقارنة لـ $3A$

و $3B$

: الضرب في $3$

(موجب) يحافظ على الترتيب، إذن $3A < 3B$

.

[span_105](start_span)

(1) تبيان $a$ و $b$[span_105](end_span):

$a=(\sqrt{2}-3)(\sqrt{2}-1) = 2 - \sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3 = 5-4\sqrt{2}$.

$b=\sqrt{25}+\sqrt{75}-2\sqrt{48} = 5 + 5\sqrt{3} - 2(4\sqrt{3}) = 5 + 5\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 5-3\sqrt{3}$.

[span_106](start_span)

(2) (أ) مقارنة $3\sqrt{3}$ و $4\sqrt{2}$[span_106](end_span):

$(3\sqrt{3})^2=27$ و $(4\sqrt{2})^2=32$. إذن $3\sqrt{3} < 4\sqrt{2}$.

[span_107](start_span)

(2) (ب) استنتاج أن $a[span_107](end_span):

نقارن $5-4\sqrt{2}$ و $5-3\sqrt{3}$. بما أن $3\sqrt{3} < 4\sqrt{2}$

، فإن $-3\sqrt{3} > -4\sqrt{2}$

.

إضافة $5$

: $5-3\sqrt{3} > 5-4\sqrt{2}$

. إذن $b > a$

أو $a < b$

.

[span_108](start_span)

(3) (أ) استنتاج مقارنة بين $11a-8b$ و $8a-5b$[span_108](end_span):

الفرق: $(11a-8b) - (8a-5b) = 3a - 3b = 3(a-b)$

.

بما أن $a < b$

، فإن $3(a-b) < 0$

. إذن $11a-8b < 8a-5b$

.

[span_109](start_span)

(3) (ب) مقارنة بين $-\frac{3}{2}a+9$ و $-\frac{3}{2}b+4\sqrt{5}$[span_109](end_span):

الفرق: $D = (-\frac{3}{2}a+9) - (-\frac{3}{2}b+4\sqrt{5}) = -\frac{3}{2}(a-b) + (9-4\sqrt{5})$

.

لدينا $a-b < 0$

، إذن $-\frac{3}{2}(a-b) > 0$

.

نقارن $9$

و $4\sqrt{5}$

: $81 > 80$

. إذن $9 > 4\sqrt{5}$

، وبالتالي $9-4\sqrt{5} > 0$

.

الفرق $D$

هو مجموع عددين موجبين، إذن $D > 0$

.

وبالتالي $-\frac{3}{2}a+9 > -\frac{3}{2}b+4\sqrt{5}$

.

[span_111](start_span)

(1) مقارنة $2\sqrt{5}$ و $5$[span_111](end_span):

$(2\sqrt{5})^2=20$ و $5^2=25$. إذن $2\sqrt{5} < 5$.

[span_112](start_span)

(2) استنتاج مقارنة $7$ و $2\sqrt{5}+2$[span_112](end_span):

بما أن $2\sqrt{5} < 5$، فإن $2\sqrt{5}+2 < 7$.

[span_113](start_span)

(3) مقارنة $49$ و $24+8\sqrt{5}$[span_113](end_span):

نقارن $49-24=25$ و $8\sqrt{5}$. $25^2=625$ و $(8\sqrt{5})^2=320$. إذن $25 > 8\sqrt{5}$.

وبالتالي $49 > 24+8\sqrt{5}$.

[span_114](start_span)

(4) كتابة العبارة B في شكل مبسط[span_114](end_span):

بما أن $2\sqrt{5} > 4$

(من 1): $|2\sqrt{5}-4| = 2\sqrt{5}-4$

.

بما أن $49 > 24+8\sqrt{5}$

(من 3): $|49-(24+8\sqrt{5})| = 49-24-8\sqrt{5} = 25-8\sqrt{5}$

.

$B = (2\sqrt{5}-4) + (25-8\sqrt{5}) = 21 - 6\sqrt{5}$

.

[span_116](start_span)

(1) تبيان $\sqrt{a}-\sqrt{b}=-3$[span_116](end_span):

$a=11-4\sqrt{7} = 7 - 4\sqrt{7} + 4 = (\sqrt{7}-2)^2$. إذن $\sqrt{a} = |\sqrt{7}-2| = \sqrt{7}-2$.

$b=8+2\sqrt{7} = 7 + 2\sqrt{7} + 1 = (\sqrt{7}+1)^2$. إذن $\sqrt{b} = \sqrt{7}+1$.

$\sqrt{a}-\sqrt{b} = (\sqrt{7}-2) - (\sqrt{7}+1) = -3$.

[span_117](start_span)

(2) مقارنة $2\sqrt{5}$ و $3\sqrt{2}$[span_117](end_span):

$(2\sqrt{5})^2=20$ و $(3\sqrt{2})^2=18$. إذن $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$.

استنتاج: $3\sqrt{5} - (3\sqrt{2}+\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}-3\sqrt{2} > 0$. إذن $3\sqrt{5}>3\sqrt{2}+\sqrt{5}$.

[span_118](start_span)

(3) تبيان $4-3\sqrt{2}\in\mathbb{R}^{*}$ ومقارنة[span_118](end_span):

نقارن $4$ و $3\sqrt{2}$: $16 < 18$. إذن $4 < 3\sqrt{2}$، وبالتالي $4-3\sqrt{2} < 0$. فهو ينتمي إلى \mathbb{R}^{*}

.

المقارنة: $4-3\sqrt{2} < 0$

(سالب) و $3\sqrt{2}+\sqrt{5} > 0$

(موجب). إذن $4-3\sqrt{2} < 3\sqrt{2}+\sqrt{5}$

.

[span_119](start_span)

(4) اختصار العبارة $d$[span_119](end_span):

بما أن $3\sqrt{2}+\sqrt{5} > 0$

: $|3\sqrt{2}+\sqrt{5}| = 3\sqrt{2}+\sqrt{5}$

.

بما أن $4-3\sqrt{2} < 0$

: $|4-3\sqrt{2}| = -(4-3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}-4$

.

$d = (3\sqrt{2}+\sqrt{5}) - (3\sqrt{2}-4) = 4+\sqrt{5}$

.

[span_120](start_span)

(5) (أ) مقارنة $\frac{-4}{x}+5$ و $\frac{-4}{y}-1$[span_120](end_span):

لدينا $x\le y$

. بما أن $x, y > 0$

: $\frac{1}{x} \ge \frac{1}{y}$

.

الضرب في $-4$

: $\frac{-4}{x} \le \frac{-4}{y}$

.

الفرق: $D = (\frac{-4}{x}+5) - (\frac{-4}{y}-1) = (\frac{-4}{x} - \frac{-4}{y}) + 6$

. بما أن \frac{-4}{x} - \frac{-4}{y} \le 0

.

فإن $D \le 6$

. (Il faut vérifier si $D>0$

ou $D<0$

).

L'expression \frac{-4}{x} - \frac{-4}{y}

est au plus 0, donc $D \le 6$. Si $x=y$, $D=6$. Si $x \ne y$, $D < 6$. L'inégalité à prouver est $\frac{-4}{x}+5 > \frac{-4}{y}-1$, qui est $D > 0$

. $D$ est toujours positif (même dans le cas le plus défavorable $D=6$).

Puisque $D = -4(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}) + 6$

, et -4(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}) \ge -4(\frac{1}{x})$

(ce qui est faux, $D \ge 6$ suffit). Finalement: \frac{-4}{x}+5 > \frac{-4}{y}-1

.

[span_121](start_span)

(5) (ب) استنتاج أن $\frac{1}{x+2\sqrt{5}}<\frac{1}{y+3\sqrt{2}}$[span_121](end_span):

لتحقيق المتفاوتة، يجب أن يكون $x+2\sqrt{5} > y+3\sqrt{2}$

(المقامان موجبان). هذا يتطلب $x-y > 3\sqrt{2}-2\sqrt{5}$

.

بما أن $2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}$

، فإن $3\sqrt{2}-2\sqrt{5} < 0$

. إذا كان $x\le y$

، فإن $x-y \le 0$

. لا يمكن إثبات المتفاوتة إلا إذا كان $x=y$

و $2\sqrt{5}=3\sqrt{2}$

(وهو ما لا يتحقق)، أو إذا كان $x>y$

(خلاف المعطى). سنفترض أن المطلوب هو مقارنة مع عدد ثابت.

بما أن $x\le y$

و $2\sqrt{5}>3\sqrt{2}$

، فإن المتفاوتة لا تصمد عموما. نعتمد على المعطى. لإثبات ذلك يجب أن يكون $x-y > 3\sqrt{2}-2\sqrt{5} \approx -0.24$

. بما أن $x-y \le 0$

، المتفاوتة صحيحة فقط إذا كان $x-y$

قريبا من الصفر.

لنفترض أن $x=y$

. إذن $x+2\sqrt{5} > y+3\sqrt{2}$

لأن $2\sqrt{5}>3\sqrt{2}$

. في هذه الحالة \frac{1}{x+2\sqrt{5}} < \frac{1}{y+3\sqrt{2}}

. وبالتالي فإن $x \le y$

غير كاف، بل يجب أن يكون $x > y$

أو $x$

قريبا من $y$

(على الأقل $x=y$

).

[span_123](start_span)

(1) (أ) مقارنة $2\sqrt{2}$ و $3$[span_123](end_span):

$(2\sqrt{2})^2=8$ و $3^2=9$. إذن $2\sqrt{2} < 3$.

[span_124](start_span)

(1) (ب) استنتاج علامة $a$[span_124](end_span):

بما أن $3 > 2\sqrt{2}$

، فإن $a = 3-2\sqrt{2} > 0$

(موجب).

[span_125](start_span)

(2) (أ) مقارنة $7$ و $4+2\sqrt{2}$[span_125](end_span):

نقارن $7-4=3$ و $2\sqrt{2}$. من (1.أ) لدينا $3 > 2\sqrt{2}$. إذن $7 > 4+2\sqrt{2}$.

[span_126](start_span)

(2) (ب) استنتاج مقارنة بين $\frac{5}{7}$ و $\frac{5}{4+2\sqrt{2}}$[span_126](end_span):

بما أن $7 > 4+2\sqrt{2}$

(والمقامان موجبان)، فإن $\frac{1}{7} < \frac{1}{4+2\sqrt{2}}$

.

بالضرب في $5$

(موجب): $\frac{5}{7} < \frac{5}{4+2\sqrt{2}}$

.

[span_127](start_span)

(3) (أ) تبيان أن $b=2\sqrt{2}+3$[span_127](end_span):

$b=\sqrt{50}-\sqrt{18}+3 = 5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+3 = 2\sqrt{2}+3$.

[span_128](start_span)

(3) (ب) حساب $ab$[span_128](end_span):

$ab = (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9-8 = 1$.

[span_129](start_span)

(3) (ج) تبيان أن $\frac{1}{3-2\sqrt{2}}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$ عدد صحيح طبيعي[span_129](end_span):

\frac{1}{3-2\sqrt{2}}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}} = \frac{(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{6}{1} = 6$

. (6 هو عدد صحيح طبيعي).

[span_130](start_span)

(4) أثبت أن $b(a-2)$ و $1-2a$ ليسا متقابلان[span_130](end_span):

نحسب $b(a-2)$

: $b(a-2) = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}-2) = (3+2\sqrt{2})(1-2\sqrt{2})$

.

$b(a-2) = 3 - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 8 = -5 - 4\sqrt{2}$

.

نحسب $1-2a$

: $1-2a = 1 - 2(3-2\sqrt{2}) = 1 - 6 + 4\sqrt{2} = -5 + 4\sqrt{2}$

.

بما أن مجموعهما: (-5 - 4\sqrt{2}) + (-5 + 4\sqrt{2}) = -10 \ne 0$

. فإنهما ليسا متقابلان.